Geom / AnGeom_2_2
.pdf
Приведение к каноническому виду |
Теорема |
Доказательство
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
λ1λ2 |
|
В случае c0 = 0, разделим обе части равенства на |
|
c0 |
, |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
( ) |
|
(x00)2 |
|
(y00)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
−c0 |
−c0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
λ1 |
|
λ2 |
|
|
|
|
3) |
c0 |
|
c0 |
> 0, то уравнение ( ) задает эллипс. |
|||||||
Если −λ1 |
> 0 |
и −λ2 |
|||||||||
4) |
c0 |
|
c0 |
< 0, то уравнение ( ) задает мнимый |
|||||||
Если −λ1 |
< 0 |
и −λ2 |
|||||||||
|
эллипс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
Если −c0 |
и −c0 разных знаков (λ1λ2 < 0), то уравнение |
|||||||||
|
λ1 |
λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) задает гиперболу.
Аналитическая геометрия. Лекция 17
Приведение к каноническому виду |
Теорема |
Доказательство
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
λ1λ2 |
|
В случае c0 = 0, разделим обе части равенства на |
|
c0 |
, |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
( ) |
|
(x00)2 |
|
(y00)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
−c0 |
−c0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
λ1 |
|
λ2 |
|
|
|
|
3) |
c0 |
|
c0 |
> 0, то уравнение ( ) задает эллипс. |
|||||||
Если −λ1 |
> 0 |
и −λ2 |
|||||||||
4) |
c0 |
|
c0 |
< 0, то уравнение ( ) задает мнимый |
|||||||
Если −λ1 |
< 0 |
и −λ2 |
|||||||||
|
эллипс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
Если −c0 |
и −c0 разных знаков (λ1λ2 < 0), то уравнение |
|||||||||
|
λ1 |
λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) задает гиперболу.
Аналитическая геометрия. Лекция 17
Приведение к каноническому виду |
Теорема |
Доказательство
2. Предположим, что одно из собственных значений, предположим λ1, равно 0,
λ2y02 + 2b01x0 + b02y0 + c = 0.
Выделим полные квадраты
λ2 y0 |
+ 2λ2 y0 |
+ λ2 |
|
! |
+ 2b10 |
x0 + c − |
λ2 |
|
= 0. |
||||||
2 |
|
b0 |
|
|
b0 |
|
|
2 |
|
|
b02 |
|
|||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
b20 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
λ2 y0 + |
+ 2b10 x0 |
+ c0 = 0. |
|
|
|
|||||||||
|
λ2 |
|
|
|
|||||||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 17
Приведение к каноническому виду |
Теорема |
Доказательство
y00 = y + |
b0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Выполним сдвиг системы координат ( x00 = x00 |
λ2 , |
|
λ2 y00 2 + 2b01x00 + c0 = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 17
Приведение к каноническому виду |
Теорема |
Доказательство
Если b01 6= 0, то преобразуем последнее уравнение
|
|
λ2 y00 2 + 2b10 |
x00 + 2b010 |
|
= 0. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
6) y00 |
|
2 = −λ2 b10 |
x00 + 2b010 |
. |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
c |
|
|
|
|
Последнее уравнение задает параболу.
Аналитическая геометрия. Лекция 17
Приведение к каноническому виду |
Теорема |
Доказательство
Предположим, что b01 = 0. Имеем уравнение
λ2 y00 2 + c0 = 0.
7) Если c0 = 0, то y00 2 = 0. Данное уравнение задает пару совпадающих прямых.
8) Если c0 > 0, то уравнение (y000)2 = −1 задает пару
c
λ2
мнимых параллельных прямых.
9) Если c0 < 0, то уравнение (y00)0 2 = 1 задает пару
−c
λ2
параллельных прямых.
Аналитическая геометрия. Лекция 17
Приведение к каноническому виду |
Теорема |
Доказательство
Предположим, что b01 = 0. Имеем уравнение
λ2 y00 2 + c0 = 0.
7) Если c0 = 0, то y00 2 = 0. Данное уравнение задает пару совпадающих прямых.
8) Если c0 > 0, то уравнение (y000)2 = −1 задает пару
c
λ2
мнимых параллельных прямых.
9) Если c0 < 0, то уравнение (y00)0 2 = 1 задает пару
−c
λ2
параллельных прямых.
Аналитическая геометрия. Лекция 17
Приведение к каноническому виду |
Теорема |
Доказательство
Предположим, что b01 = 0. Имеем уравнение
λ2 y00 2 + c0 = 0.
7) Если c0 = 0, то y00 2 = 0. Данное уравнение задает пару совпадающих прямых.
8) Если c0 > 0, то уравнение (y000)2 = −1 задает пару
c
λ2
мнимых параллельных прямых.
9) Если c0 < 0, то уравнение (y00)0 2 = 1 задает пару
−c
λ2
параллельных прямых.
Аналитическая геометрия. Лекция 17
Приведение к каноническому виду |
Теорема |
Доказательство
Предположим, что b01 = 0. Имеем уравнение
λ2 y00 2 + c0 = 0.
7) Если c0 = 0, то y00 2 = 0. Данное уравнение задает пару совпадающих прямых.
8) Если c0 > 0, то уравнение (y000)2 = −1 задает пару
c
λ2
мнимых параллельных прямых.
9) Если c0 < 0, то уравнение (y00)0 2 = 1 задает пару
−c
λ2
параллельных прямых.
Аналитическая геометрия. Лекция 17
Приведение к каноническому виду |
Теорема |
Пример
Определить тип кривой 5x2 + 4xy + 8y2 − 32x − 56y + 80 = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 17