Часть 2. Разработка и отладка программ с помощью современных инструментальных средств

2.1 Форматы представления чисел

2.1.1 Основные коды представления целых чисел

В памяти вычислительной машины информация представлена в двоичной форме. Диапазон хранимых в памяти чисел определяется разрядностью , то есть числом двоичных разрядов (битов), отводимых для записи числа. Часто разрядность бывает кратной 8 битам, то есть 8, 16, 32 или 64 двоичных разряда.

Как и в привычной десятичной системе счисления, разряды нумеруются справа налево, с нуля до . Вес каждого разряда определяется его номером, как число два, возведенное в степень номера разряда. Правый нулевой разряд называют младшим, так как его вес , левый ()-ый разряд называют старшим, так как он имеет наибольший вес . Значение числа в двоичном коде можно рассчитать по формуле:

. (2.1.1)

Способы представления целых чисел различаются в зависимости от кодирования знака («+» или «–»).

Прямой код. Для хранения знака выделяют старший разряд, называемый знаковым. Остальные разряды называют значащими. Знаковый разряд положительного числа всегда равен нулю, отрицательного — единице. Количество значащих разрядов при этом сокращается на 1, а наибольшее число, которое можно записать в разрядной сетке, оказывается примерно вдвое меньше и составляет . Формула меняется:

. (2.1.2)

Несмотря на простоту для понимания, реализация вычислений в прямом коде затруднена, поэтому такой код практически никогда не применяется. Вычислительные машины используют для представления отрицательных чисел дополнительный код.

В дополнительном коде, как и в прямом, старший разряд используется для хранения знака, но знак кодируется иначе:

. (2.1.3)

Число состоит из двух частей: отрицательной, кодируемой всего одним разрядом (), и положительной, кодируемой всеми остальными разрядами. Если знаковый разряд равен нулю, отрицательная часть отсутствует и число становится положительным. Для положительных чисел прямой и обратный код совпадают. По модулю отрицательная часть, по крайней мере, на единицу больше положительного, так как, очевидно,

.

Поэтому если знаковый разряд равен единице, то число отрицательно. Дополнительный код имеет несколько преимуществ перед прямым: 1) Только в дополнительном коде выполняется очевидное равенство

96

,

что позволяет применять общие правила для сложения положительных и отрицательных чисел.

2) В дополнительном коде существует единственное представление нуля. Для сравнения, в прямом коде можно записать как , так и . Однозначность нуля освобождает одну кодовую комбинацию, которая по формуле (2.1.3) относится к области отрицательных чисел. Поэтому в дополнительном коде всегда диапазон представления отрицательных чисел на единицу больше, чем положительных. Наибольшее по модулю отрицательное число всегда четное и равно . Наибольшее положительное число всегда нечетное и равно .

Смена знака числа в дополнительном коде производится по формуле

. (2.1.4)

То есть инвертируются все разряды числа и к результату прибавляется единица. Эту формулу можно считать правилом перевода в прямой код и обратно.

Отметим, что правила машинной арифметики для положительных и отрицательных чисел в дополнительном коде абсолютно одинаковы. По одним и тем же правилам вычисления выполняются верно, независимо от того, служит ли старший разряд для хранения знака (знаковый разряд) или это значащий разряд, расширяющий вдвое диапазон представления только положительных чисел.

Программист субъективно интерпретирует старший разряд как знаковый или значащий в зависимости от того интересуют ли его в данной задаче отрицательные числа.

Процессор, как правило, информирует программиста о принадлежности результата двум диапазонам: и . Выход за пределы первого диапазона говорит о переполнении при работе с положительными числами, выход за пределы второго — о переполнении при обработке чисел со знаком. О реализации контроля переполнения в архитектуре ARM7 см. раздел 1.2.3 (биты С и V слова состояния программы CPSR).

Смещенный код очень распространен для кодирования чисел в таких устройствах как аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи. Для смещенного кода можно использовать декодирующее выражение

. (1.2.5)

В таком коде 0 — наименьшее отрицательное число, все единицы — наибольшее положительное число, а ноль находится в середине между ними.

Удобство применения именно такого кодирования связано с тем, что в ЦАП и АЦП диапазон напряжения зависит от схемы включения. Возможность работы с двуполярным напряжением и сама полярность напряжения задаются схемотехнически. Поэтому практически удобно независимо от знака наименьшее напряжения представлять наименьшим кодом (все нули), а наибольшее — наибольшим кодом (все единицы).

Код Грея применяется для кодирования угла поворота ротора или фазового угла несущего колебания модулированного сигнала. Любые два

97

смежных числа, записанные в коде Грея, отличаются только одним какимлибо разрядом. Код Грея в отличие от рассмотренных выше является непозиционным, можно сказать, подобно римской системе записи чисел.

Преобразование из обычного позиционного двоичного кода в код Грея и обратно выполняется с помощью операций сдвига и сложения по модулю два. Для наглядности введем обозначение для операции сдвига вправо двоичного кода на разрядов (младший разряд при сдвиге теряется, старший заменяется нулем)

.

Будем применять традиционное обозначение «» не только к разряду, но и к коду, подразумевая при этом, что операция «сложение по модулю два» (она же «исключающее ИЛИ», она же «неравнозначность») выполняется поразрядно. Тогда код Грея получается из позиционного двоичного кода по формуле

Обратное преобразование требует циклического повторения:

или короче

2.1.2 Форматы представление целых чисел, приятные в языке Си

Некоторые весьма существенные моменты, касающиеся целочисленных типов данных, могут отличаться в разных компиляторах. Здесь рассматривается компилятор RealView 4.

Целые положительные числа представляются в памяти в прямом двоичном коде. Числа, занимающие более одного байта, размещаются в памяти в нескольких последовательных байтах. Младший байт получает меньший адрес, старший — больший. Отрицательные числа записываются в дополнительном коде. В таблице 2.1.1 приведены доступные форматы представления целых чисел.

Обратим внимание на то, что тип char без приставки unsigned считается беззнаковым. Восьмиразрядным числам со знаком соответствует тип signed char. В то время как все остальные типы без приставки unsigned хранят знак.

Поскольку ядро ARM7 32-х разрядное, основным типом целочисленных данных является int или long. Причем по той же причине они являются синонимами. Использование 8- или 16-разрядных чисел (соответственно char и short) сократит объем расходуемой оперативной памяти, однако может потребовать большего кода и снизить производительность. Это объясняется тем, что в код программы будут внедрены команды, искусственно ограничивающие разрядность. Использование 64-разрядных чисел (long long) тоже снизит производительность, но уже из-за необходимости «наращивания» разрядности.

98

Таблица 2.1.1 – Форматы представления целых чисел

Программисту полезно запомнить двоичные и шестнадцатеричные представления всех чисел от 0 до 15, а также некоторых других положительных и отрицательных чисел (см. таблицу 2.1.2).

Таблица 2.1.2 – 2-чные и 16-ричные представления некоторых целых чисел

2.1.3 Форматы чисел c плавающей точкой стандарта IEEE754

Компилятор RealView 4 поддерживает два формата — одинарной (float) и двойной (double) точности (см. таблицу 2.1.3).

Схемы, иллюстрирующие представления чисел в формате float и double, показаны на рисунке 2.1.1.

Таблица 2.1.3 – Форматы представления чисел с плавающей точкой

99

Рисунок 2.1.1 – Схемы предоставления чисел с плавающей запятой согласно стандарту IEEE754: одинарной (вверху) и двойной (внизу) точности

23-разрядная (для float) и 52-разрядная (для double) мантисса представлена в прямом коде и хранит дробную часть числа. Числа считаются нормализованными кроме исключений, которое будет рассмотрено ниже. Это значит, что целая часть принимается равной единице. Иными словами, децимальная точка находится слева от мантиссы, а еще левее подразумевается единица. Знаковый разряд отделен от мантиссы и помещен в старший разряд всего кода. Для отрицательных чисел .

8-разрядный (для float) и 11-разрядный (для double) порядок записан в смещенном коде, то есть коду «все нули» соответствует максимальное по модулю отрицательное число, «все единицы» — максимальное положительное.

Общее выражение для расчета числа одинарной точности, представленного в формате IEEE754:

;

.

Второе выражение используется для так называемых денормализованных чисел (обозначаемых нулевым порядком ). Мантисса денормализованного числа не имеет единичной целой части. Введение денормализации позволяет расширить динамический диапазон представления чисел.

Общее выражение для расчета числа двойной точности, представленного в формате IEEE754:

;

.

Очевидно, что с помощью приведенных формул невозможно записать ноль. Для нуля потребовалось исключительное обозначение. Еще несколько исключений предназначены для обозначения бесконечности и неопределенности (см. таблицу 2.1.4).

Бесконечность (Infinity) возникает при делении на ноль и в результате выполнения некоторых функций, например, логарифм нуля. Неопределенность (Not a Number) возникает при делении нуля на ноль, бесконечности на бесконечность и в результате таких функций, как корень из отрицательного числа и логарифм отрицательного числа.

100