Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

electrodynamics / maina5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

1.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

á)

çìiííèõ,

πc

1/2;

записанеористовуючиT E-х ормiилi. iвняння разом з граничною

умовоюзнайдемо:же бути

m, n

> 1. Îòæå, ω

> ωmin = √ε 1/a

+ 1/b

1 ∂

∂bz

1 ∂2bz

∂bz

Âèê

∂ϕ2

+ κ

= 0

∂r

(R, ϕ) = 0 .

r ∂r

∂r

метод вiäîê

емлення

bz,mn(r, ϕ) = Jn(κnmr)(anm cos nϕ + bnm sin nϕ) ,

ä Jn(x)

ункцi¨ Бесселя першого роду

-го порядку,

anm

òà

bnm

îâiëüíi ñòàëi,

= j nm′

/R j nm′

J n′ (x) =

κnm

Отже, для хвильвого вектора,

отрима¹мо:-й корiнь рiвняння

óíêöiék = ±r

íóëÿ

c2 ε −

R2 .

корiньЗ теорi¨ бесселевих

ω2

j nm′

âiäîìî, ùî íàéменший вiдмiнний

′

= j ′

= 1.84118, ò

ìó ω > ωmin

j ′

1.184118 c .

R√ε

√εR

T M -х илi. Аналогiчно до п перед

ьо¨ задачi

äå

ez,mn = Jm(κnmr)(anm cos nϕ + bnm sin nϕ) ,

âiäìiííèé jnm

корiнь -йункцорi¨ньБесселярiвняннябуде

. Найменший

κnm = íóëÿ, jnm

Jn(x) = 0

òîìó

jnm = j01 2.40482,

2.40482 c

Спочатку¹вищоюiншау випгрàадкунична. Видно,прямокутногочастотащо т

круглогочастотiншихäеальнихля-

õâèëåâîäiâüω > ωmin

√εR

гранична

T M

152.

розглянемо

T M -хвиль за

óìîâ.

ãëÿä

T E-хвилi. Тодi рiвняння мають ви-

1 ∂

∂bz1

1 ∂2bz1

ω2ε

+ κ12bz1

= 0 ,

κ12 =

ïðè r < R

r ∂r

∂r

∂ϕ

1 ∂

∂bz2

1 ∂2bz2

121

ω2

òr ∂r

+ r2

+ κ1 bz1 = 0 ,

κ2 =

r > R .

∂r

∂ϕ

Íàòîìмуежi дiелектрèка з вакуумоммаютьангенцiйнi ïîля принеперервнi,

ма¹ виглядb (R) = b

(R), B

ϕ1

= B

, E

ϕ1

= E

. îçâ'ÿçîê ïðè r > R

ϕ2

àê,

. Ïðè

повинно спадати

потiк через

по рiбно врахувати,

õâèëi

поширюватись уздовж осi

bz1(r,

ϕ) ùî= Jn

(κ1r) an cos nϕ + bn sin nϕ

r > R

ïðè

ïîëå

r → ∞

ùîá

замкн

ц лiндричну

ерхню стрижня прямував до нулÿ. Ôóí

кцi¨онионуваласьБесселядаватимутьκпоширювалосьскiнченнийт κ потiк,маютьякщоасимптотику

√

î,òîìó-

Jn( 2r)

Yn(

2r)

1/ r

âОтже,ик щоб полеумова

уздовж стрижня2 дiйснанеобхiдвеличинащоб.

æíÿ

ω2

. Ò äi ïîëå çîâ

i ñòðè

= c2

− k

= −η

< 0

κ2

. Îñêiëüêè

iω ∂bz

i(ωt kz)

ik 1 ∂bz

i(ωt kz)

bz2(r, ϕ) = Kn(ηr) cn cos nϕ + dn sin nϕ

Eϕ = −

e− −

, Bϕ =

e− −

κ2

∂r

κ2

∂ϕ

óìîâcos nвипливаютьϕ sin nϕ утворюютьшiстьрiвняньортогональнчотирèéñòáàлiзис, то з граничних

an, bn, cn ò dn:

anJn(κ1R) = cnKn(ηR) , bnJn(κ1R) = dnKn(ηR) ,

nan

Jn(κ1R) = −

ncn

Kn(ηR) ,

nbn

Jn(κ1R) = −

ndn

Kn(ηR) ,

κ12

η2

κ12

η2

Òàêà ñJистема′(κ R¹) =ñóì

îþK ′ëèøå(ηR) , ó âèïJàäêó′(κ

R) =

K ′(ηR) .

− η

κ1

n 1

− η

κ1

n 1

рiвнянь для кое iцi¹íтiв отрима¹мо таке дисперсiйнеn = 0. Тодi рiвняння:зчотирьох

àáî,

1óþ÷è

′(ηR) +

J0′(κ1R)K0

(ηR) = 0 ,

врахоâ J0(κ1R)K0

κ1

(ε − 1) − x210i

x = κ1R, òî ηR = h c2

J0′

(x) = −J1

(x) òà K0′(x) = −K1

(x):

ãðà iê

= .

äå

f1(ω) =

J1(κ1R)

K1(ηR)

≡ f2(ω) ,

κ1RJ0(κ1R)

ηR K0(ηR)

Якщо ввести 1/2,

1/2.

ω2

ω2R2

./2 i ãðà iê

κ1 =

− k2

η = k2 −

лiво¨Оскiлькитаправо¨причастин рiвняння приведений на рис.

ωR

√

ωR √

, à ïðè

x = 0

ηR =

122

− 1

x = x0 =

ε − 1

ìó

, òî

лежатиме

межах

ηR = 0

f2(x)

x0, причо-

f2(x) < 0,

ln(ηR) ηR 0

−∞

x→x0

(ηR)

Îòæå, ÿêùî lim f (x) =

→

x > j

, то кривi перетнуться хоча б один раз i хвилi

(x)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

-2

-4

-6

-8

будуть

óíêöiÿ f1(x) =

J1(x)

óíêöiÿ f2(x) = K1(x)

уздовжис. 10. Дохвилеводу,задачi 152а тому

xK0(x)

поширюватись xJ0(x)

j01c

2.40482 c

Äëÿ

ω >

ωmin =

R√ε − 1 R√ε − 1 .

що граничнiT M -хвильумовихiдмаютьрозв'язкувигляд аналогiчний, за винятком того,

òà

ez1(R) = ez2(R), Eϕ1(R) = Eϕ2(R)

Bϕ1(R) = Bϕ2(R). Öå äà¹

ez1(r, ϕ) = Jn(κr) an cos nϕ + bn sin nϕ ,

r < R ,

à îñêiëüêè

+ dn sin nϕ

r > R ,

ez2

(r,

ϕ) = Kn(ηr) cn cos nϕ

ïðè

ik ∂ez

i(ωt kz)

iωε ∂ez

(ωt

kz)

то граничнi умовè íабуватимуть того саìîãî âèãëÿäó, ùî é äëÿ

Eϕ =

κ2 ∂ϕ e− −

Bϕ = κ2c2

∂r e− −

хвиль,множникза винятком двох ост

äå â ëiâié

частинi

ç'ÿâëÿ¹òüñT E-

àííiõ,

Системаε. ¹ ñóìiñ îþ òiëüêè äëÿ

пiсля перетворень íабува¹ виглядуn = 0,

дисперсiйне рiвняннÿ

J1(κ1R) 123

K1(ηR)

εf1(ω) =

κ1RJ0(κ1R)

ηRK1(ηR)

≡ f2(ω) ,


Наявнiсть множникмiнiмально¨ε не змiнить положення асимп		óíêöi¨
fданого(x), значитьдiелектричному	частоти, хоча самапоширюватисьчастотдля за-

кимальнуОтже,цилiндричноk матимеу симетричнiiнше значення,середовищiхвилiнiжз частдляможутьвипадкуами, бiльшимиT E-хвильза.мiнiтiль-

Òîäi ç

cj01

T M -хвиль, кîëè, наприклад, Bx = 0.

153.

iвняння

Ìàêñ

велла, де

дляпершийполiву крезонаторiрiнь рiвняннямають вигляд.

ωmin =

√

ε−1

j01

J0(x) = 0

ε ∂E

∂B

óìî

âè на поверхнi iдеàëü

, îãîdivрезонатораE = 0

будуть

граничнirot B = c2 ∂t

rot E

= −

∂t

div B = 0 ,

u(x, y, z) використдеякадо

ðiâняння rot B = − c2 E

òà

а) озглянемо

äèí ç

äêiâ

ωt.

B ·n = 0

E ·

= 0. Усi поля пропорцiйнi до e−

rot E = iωB âèïëèâà¹, ùî

äå

∂Ez

∂Ey

àáî

∂u

Ez =

∂u

∂y

∂z

∂y

∂z

отрима¹мо,

авшиiльнавиразиункцiядля. З

iεω

в ллаv(x,отрима¹моy, z) новатепер,íåâiäîìвикориставшиа ункцiя. З першого ж рiвняння Макс-

òà Ez :

iωε ∂u

∂Bz

iωε ∂u

∂By

Якщо покласти−

∂y

= −

∂x

−

∂z

∂x

∂

u(x, y, z) =

∂x

v(x, y, z), то тодi можна взяти

âiäìiíí

èõ

óíêöiþ,

ωε ∂v

äå

Bz =

c2 ∂y

By = − c2 ∂z

124

x-комп ненту,

∂2v ∂2v

лпТакимляДеб

Ex =

∂Bz

∂By

= −

∂y − ∂z

ωε

∂y2

∂z2

компонентпотенцiа-

черезчином,ая. Моднумижнаскалярнвиразиперевëèiðèòó п'ятьщои,

яка називвiдà¹òнуляяьс

âîвiльних

div E = 0

div B = 0 äëÿ

рiвн нь,v(x,щоy, zзалишились:). iвняння для ункцi¨ v(x, y, z) отрима¹мо з

ðàíè÷íi

ω2

ε ∂v ∂Ex

∂Ez

∂3v

v(x, y, z) набувають вигляду

ωBy =

∂z

−

∂x

= −

∂y2∂z

−

∂z3

−

∂x2∂z

ω2

ε ∂v ∂Ey

∂Ex

∂3v

ùî ïåðø

ðiâíÿííÿ îòðèìàíî

äè

еренцiюваííÿì ïî

Видно,ωBz = c2

∂y

∂x −

∂y

∂x2∂y

+ ∂y3 +

∂z2∂y .

друге по

z, à

y такого виразу:

умови для

v +

ω ε

v = 0 .

(3.69)

∂v

∂z (x, 0, z) =

(x, b, z) =

(x, y, 0) =

(x, y, d) = 0 ,

∂z

∂y

∂2v

(0, y, z) =

∂2v

(a, y, z) =

∂2v

(0, y, z) =

∂2v

(a, y, z) = 0 ,

∂z∂x

∂y∂x

∂z∂x

∂y∂x

∂2v

(x, 0, z) +

∂2v

(x, 0, z) =

∂2v

(x, b, z) +

∂2v

(x, b, z) =

∂y2

∂z2

∂y2

∂z2

∂2v

(x, 0, z) =

(x, b, z) = 0 ,

∂x∂z

∂2v

(x, y, 0) +

∂2v

(x, y, 0) =

∂2v

(x, y, d) +

∂2v

(x, y, d) =

∂x2

∂z2

∂x2

∂z2

∂2v

(всьогоункцiй=

16). (îçâ'ÿçîêx, y, 0) = øóêà¹ìî(x, y,ód)виглядi= 0

добутку гармонiчних

∂x∂y

∂x∂z

вибрати

раничнiv(x,умовиy, z) =виконуються,A cos(αx + ϕxÿêùî) cos(βy + ϕy ) cos(γz + ϕz ) .

ωlmn = √ε a1252 + b2

+ c2

ϕx = 0, α = πl/a,

ϕy = π/2, β = πm/b, ϕz = π/2, γ = πn/c, тобто

πlx

πmy

πnz

òà v(x, y, z) = A cos

cos

m 6= 0 ,

n 6= 0

πc

1/2

поля отрима¹моπc

i хвилi будуть стоячими. Тепер для

îòæå, ωmin

√

Ex = A

π2 cos

πlx

πmy

πnz

sin

e−iωt ,

πlx

πmy

πnz

õâèëi;

á) âiñü

T M -хвиль

T E-

Ez = 0

= −Aπ2 ab

sin

rot B = − c2 E

öèëiíдричних

ëè

cos

e−iωt

z направимо уздовж цèлiндра i розглянемо T E-õâèëi,

πlx

πmy

πnz

Ez = −Aπ2

ac sin

cos

e−iωt ,

Bx = 0

By = −iA

r a2 +

+ c2

cos

sin

cos

e− ωt ,

√ε π2n l2

πlx

πmy

πnz

= iA c

r a2 +

c2 cos

cos

sin

e−

√ε π2m l2

πlx

πmy

πnz

ωt

Аналогiчно розглядàþðiâòüñíÿíiíøiíÿ â ïàäêè

ординатах виплива¹.Тдiз

iωε

äå

∂rBϕ

∂Br

àáî

Bϕ =

1 ∂u

∂u ,

∂ϕ

r ∂ϕ

∂r

÷i à)u .вибравшиТомудеякз невiдома ункцiя. Далi розв'язок аналогiчний зада-

1 ∂u

∂Er

∂u

∂Eϕ

àáî,

iωB = rot E знайдемо iω r ∂ϕ

= ∂z

, iω ∂r = −

∂z

u(r, z, ϕ) = ∂v (r, ϕ, z), отрима¹мо

∂z

óíê

∂v

iω ∂v

вигляд

öiþ

v(r, ϕ, z)

(потенцiал Дебая) ма¹

Äàëi

Eϕ = − ω ∂r ,

Er =

∂ϕ .

= −ω

−r ∂r iωr

∂r − r ∂ϕ

r ∂r =

1 ∂

∂v

1 ∂

iω

∂v

1 ∂2v

та одне з рiвнянь на

= −

1 ∂

∂v

∂r

∂ϕ2

iωε

ω2ε 1 ∂v

1 ∂

∂2v

1 ∂3v

r ∂3v

− c2

Er =

c2 r ∂ϕ

= r

−r ∂r r ∂r∂ϕ

− r2 ∂ϕ2

− r ∂z2∂ϕ

126

Звiдси отрим ¹мо

ω2ε

ти методом вiдокрем-

ленняозв'яçокмiннихостаннього рiвнянняv + ìîævíà=отрим0

ють вигляду

v(r, ϕ, z) = R(r)Φ(ϕ)Z(z). раничнi умови набува-

âèðàç,

озв'язок ма¹ виглядZ(0) = Z(d) = 0

∂R(r0)

= 0 .

∂r

vумовузвiдки(r,Äëÿϕ, z)=Jn

− d

Anm cos nϕ+Bnm s n nϕ sin

ω2

πm

πmz

знайдемо,частототðèìщо а¹мохвилiòàáкийудуть стоячимивикористовуючи.

граничну

äå

ωnml

√ε " r0

′

+ d

1/2

jnl

πm

jnl

′

Jn′(x) = 0

нуля корiнь-й корiньбуде рiвняння

. Найменший вiдмiнний вiд

jnl′

= j11′ 1.84118, òîìó

ωmin = √ε "

+ d #

1/2

Для поля знайдемо:

1.84118

Er=

Jn jnl ′ r0

Ez = 0,

e−iωt ,

−Anml sin nϕ + Bnml cos nϕ sin

iωn

πmz

Eϕ=−i

r0nl′ Jn′ jnl

′ r0

Anml cos nϕ + Bnml sin nϕ sin

e−iωt ,

ωj

πmz

Br=

πmjnl′

πmz

e−iωt ,

r0d

Jn′ jnl′ r0

Anml cos nϕ + Bnml sin nϕ cos

Bϕ=

r0d

Jn′

jnl′ r0

−Anml sin nϕ + Bnml cos nϕ cos

e−iωt ,

πmn

πmz

jnl′

πmz

e−iωt .

Bz= r0

Jn′ jnl

′ r0

Anml cos127nϕ + Bnml sin nϕ sin

Аналогiчнохви розглянеможна розглянути випадки T E-хвиль, де Er = 0 i T M -

â) Bz = 0 àáî Br = 0;

= 0. З рiвняння rot E = iωB

виплива¹

T E-õâèëi ç Er

∂u

iω ∂u

1 ∂

або, взявшиiω

ïîòåíöiàëó

v(r, θ, ϕ) ма¹ вигляд:

∂t = −r

(rEϕ) ,

sin

∂ϕ

= r ∂r (rEθ) ,

u(r, θ, ϕ) = 1 ∂v(r,θ,ϕ)

, отрима¹ìî

∂r

ω ∂v

iω

∂v

òîìó

Eϕ = − r

∂θ

Eθ =

sin θ

∂ϕ

∂

sin

∂v

∂2v

Br = −r2

sin θ ∂θ

∂θ

+ sin2 θ ∂ϕ2 .

iвняння для

Äåáàÿ

ω2

âèé

ãзв'язоклядiрозв'язок будемо шукатиv + ìåòодом= 0 ,вiдокремлення змiнних у

ðî

v(r,ма¹θ, ϕвигляд) = R(r)T (θ)Φ(ϕ). раничнi умови дають R(r0) = 0,

ω√

(cos θ) Anm cos mϕ+Bnm sin mϕ ,

v(r, θ, ϕ) = √r Jn+1/2

r Pn

а з граничнèõ

óìîâ âèïëèâà¹ вираз для власних частот

jn+1/2,l

äå

ωnl =

√

Îñêiëüêè

-é

корiнь рiвняння Jn+1/2 (x) = 0.

jn+1/2,l l

òî

min j

= j

= π ,

ωmin = πc√

n,l

{

n+1/2,l }

1/2,l

/r0

мулами. Аналогiчно. Полярозгляда¹тьсяможназнайтивипадокзаот

иманими вище ор-

оливаньЗ ц х рiвняньзчастчастотувидно,ами що поле

резонаторах-хвиль¹суперпз

çèöi¹þ.

велик

T M

Br = 0

наторi154. Кожнема¹своювлас

ωlmn

оливання.

електромагнiтного по

â ðåçî

îþ, òî ¨¨

ямокутномунаближеноiдеальномуполяризацiюописатичаст. Якщоми частотзадано¨

ìîæ

ωlmn

ìè

ωlmn

ðiç -

l, m ò n. Ó ïð

128

ðåç

òîði äëÿ

частоти ω для вибрано¨ поляризацi¨ справедливо

ω2ε	l2		m2	n2
		+		+ d2
π2c2	a2	+	b2	+ d2

äå l, m тзада¹n деякийцiлi додатнiелiпсо¨дчислаз пiвосями. У просторi всiх чисел (l, m, n)

	ωa√			ωb√		,	D =	ωd√		.
Тому на частотiA =		ε	, B =		ε				ε
	πc
				πc				πc
них трiйок чиселω ìîæå áóòè ñòiëüêè ê ëèâàíü, ñêiëüêè iñíó¹ ðiç-
	(l, m, n), якi задовольняють рiвняння
l2	m2		n2		óìîâ l, m, n > 0 .
задаютьсУ акому шàði+÷àñòîò+ ìiæ= 1 ,
A2	B2		D2

деня дорiвнюявкатиазанимирiзницiчастотоб'¹мiвωàìè.åëiïñî¨äiâωÎòæå,+ ω урахуваннямкiлькiстьпросторiколиваньчисел,обмеженякiбу-

l, m, n > 0:

(ω + ω)3−

N = 8 (V (ω + ω) − V (ω)) = 3 · 8

c3π3

4π

ε3/2abd

u швидкiсть звуку), отрима¹мо

2π2 c3

Ç−ð c3π3

2c3 π2

ε3/2abd

abdω2 ω 3/2

ω2

ω 3/2

155.

iвнянь ìàãíiòíî¨

гiдродинамiки, вважаю÷è

äå ρ = ρ0 + ρ′ , p = p(ρ = p(ρ0) +

∂p(ρ0)

ρ′ , B = B0 + B′ ,

∂ρ

ρ′

ρ0, B′

p(ρ0) ρ′

= p(ρ0) i v u =

p(ρ0)

| |

õâèëü,

ρ′, v, B′

(òóò

| |

div B′ = 0 ,

∂t′

+ ρ0 div v = 0

∂ρ

тобто

.Óñi âåличини шука¹мо у âèглядi плоских

156

0] ,

= −u

+ µ0

′,

0 .

0 ∂t

∂t = rot [

rot

∂B′

∂v

129

дисперсiйне

õââажаютьсяильвого векторапр порцiйними. Т дi до e− (ωt−рiвнянняk·r), а вiсьнабува¹z виберемовиглядувз овж

ω = kB0 cos θ = k · B0

àëü

õâèëi, äëÿ ÿêèõ

k2B02 cos2

ω2k2B02 sin2 θ

(ω

− k

)

ω −

µ0ρ0

−

µ0ρ0

k2B02 cos2 θ

äå

× ω

−

µ0ρ0

= 0 ,

кут мiж векторами

òà

B0. Це рiвняння третього поряд-

ку вiдносно

ω2 i тому опису¹ три типи електромагнiтних хвиль:

√

µ0ρ0

âåíiâñüêi

vãð =

, v =

B0 cos θ

;

√

µ0ρ0

1/2

Ïðè = k "

2 (k

+ v0 ) ± r

4 (k

+ v0 )

+ k v0 cos

θ#

= µ0

ρ0

2 2

äå 2

родинамiкихвиляθ = 0зотрима¹мо двi хвилiназиваютьсω = ku, тобто звичайна попереч

рiвняньелектричногохвилi,другмагнiтно¨якiальполягiдровенiвськма¹динамiкиявиглядгнiтозвуковимихвилядля.магнiтно¨При. гiд

двi157аль. Системавенiвськiωäëÿ= kv0

iîíiâ, v

θ 6= 0

∂n

∂t

+ n div v = 0 ,

∂v

+ (v

)v =

∂t

äå

(n − n0) ,

div E =

електронiв,густина електронiв,

густина

øâ äêiñòü

130

рiвнянняхтуючи

e < 0

заряд електрона. У наближеннi

n = n − n0 n0

квадратичними за швидкiстю доданками, отрима¹мо ,

n(t) i ðîçâ'ÿçîê

n(t) = (Δn)0 exp(−iωpt), äå

158частота. Вiсь власнихточкуоливань.

1/2

ωp = (e n /ε0m)

ра швидкостi,z направля¹мо вздовж поля B0, âiñü y уздовж векто- 0 всерединi мiж пластинами. Стацiонарнi

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке electrodynamics

#
19.03.2015707.19 Кб26Classical Electrodynamics for Undergraduates - H. Norbury.pdf
#
19.03.20151.02 Mб101Companion to J.D. Jackson's Classical Electrodynamics 3rd ed. - R. Magyar.pdf
#
19.03.2015965.11 Кб47Electromagnetic Field Theory - Bo Thide.pdf
#
19.03.20151.02 Mб32maina5.pdf
#
19.03.2015439.45 Кб53metodychka2010_.pdf
#
19.03.2015265.22 Кб39zadachi-1.doc
#
19.03.201519.05 Mб34Иродов - Основные законы электромагнетизма.pdf