electrodynamics / zadachi-1

Задача №1

Знайти напруженість електричного поля всередині і зовні рівномірно зарядженої кулі. Об’ємна густина заряду , радіус кулі R.

Задача №2

Всередині рівномірно зарядженої кулі (об’ємна густина заряду ) знаходиться кулеподібна порожнина, центр якої знаходиться на відстані a від центра кулі. Знайти напруженість електричного поля всередині порожнини, всередині кулі та зовні кулі.

Задача №3

Знайти напруженість електричного поля всередині і зовні зарядженої кулі. Об’ємна густина заряду =rⁿ , n>-2, радіус кулі R.

Задача №4

Знайти напруженість електричного поля всередині і зовні рівномірно зарядженого нескінченого циліндра. Заряд, що припадає на одиницю довжини циліндра , радіус циліндра R.

Задача №5

Шар непровідної речовини, обмежений паралельними площинами заряджений до об’ємної густини , товщина шару R. Знайти напруженість поля всередині та зовні шару.

Задача №6

Знайти потенціал та напруженість поля рівномірно зарядженої нитки.

Задача №7

Точковий заряд е розташований на відстані d від провідної заземленої площини. Знайти потенціал, напруженість поля і густину поверхневих зарядів.

Задача №8

Точковий заряд Q знаходиться на відстані d від центра заземленої провідної кулі. Знайти потенціал системи методом зображень. Радіус кулі R.

Задача №9

Знайти потенціал точкового заряду е, який знаходиться поблизу провідної ізольованої кулі. Радіус кулі R.

Задача №10

Знайти потенціал, що утворюється зарядом розподіленим в нескінченому середовищі за законом

Задача №11

Одна грань прямокутного паралелепіпеда знаходиться під потенціалом V, всі інші грані мають нульовий потенціал. Знайти розподіл потенціалу всередині паралелепіпеду.

Задача №12

Знайти потенціал зарядженої сфери радіуса R. Поверхнева густина змінюється за законом

Задача №13

Заземлена провідна сфера поміщена в однорідне поле E. Знайти потенціал системи та поверхневу густину зарядів на сфері.

Задача №14

Знайти напруженість магнітного поля всередині та зовні циліндричного провідника, по якому тече струм, рівномірно розподілений по його перерізу з густиною j. Радіус провідника R.

Задача №15

Знайти напруженість магнітного поля всередині циліндричної порожнини циліндричного провідника, по якому тече струм, рівномірно розподілений по його перерізу з густиною j. Вісі циліндра, утворюючого порожнину, та циліндричного провідника паралельні і знаходяться на відстані а одна від другої.

Задача №16

Знайти напруженість магнітного поля площини, по якій тече струм з поверхневою густиною I, однаковій в будь якій точці площини.

Задача №17

По двом паралельним площинам течуть поверхневі струми з густиною I. Знайти напруженість поля у двох випадках: а) напрямки струмів паралельні, б) струми течуть в різних напрямках.

Задача №18

Сфера радіуса R обертається з кутовою швидкістю  навколо вісі Oz. Поверхнева густина заряду  постійна. Знайти векторний потенціал і напруженість магнітного поля всередині та зовні сфери.

Задача №19

Нескінчений циліндр радіуса R, рівномірно заряджений з об’ємною густиною , обертається навколо своєї вісі з постійною кутовою швидкістю . Знайти векторний потенціал і напруженість магнітного поля всередині та зовні циліндра.

Задача №20

Знайти квадрупольний момент еліпсоїда, рівномірно зарядженого по об’єму з об’ємною густиною .

Задача №21

Знайти магнітний момент кулі, яка рівномірно обертається з кутовою швидкістю . Заряд е рівномірно розподілений по об’єму кулі.

Задача №22

Дзеркало рухається з швидкістю V в напрямку перпендикулярному власній нормалі. На дзеркало падає промінь світла під кутом . Знайти напрям відбитої хвилі та зміну частоти світла при відбитті.

Задача №23

Знайти траєкторію руху зарядженої частики в однорідному електричному полі E.

Задача №24

На вісі рівномірно зарядженого нескінченного циліндра радіуса R з об’ємною густиною заряду знаходиться сферична порожнина радіуса . Знайти напруженість електричного поля всередині порожнини.

Задача №25

Розглянути траєкторію руху зарядженої частинки в однорідному магнітному полі з індукцією В.

Задача №26

Довести, що якщо вектори Е та В перпендикулярні в одній інерціальній системі відліку, то вони будуть перпендикулярні в будь якій іншій інерціальній системі відліку.

Задача №27

Показати, що величина інваріантна відносно перетворень Лоренца.

Задача №28

Частинка, яка рухається з швидкістю V, розпадається на дві частинки, енергії яких в системі центра інерції та . Знайти зв’язок між кутом вильоту та енергіями частинок в лабораторній системі.

Задача №29

Знайти потенціал і напруженість поля рівномірно поляризованої кулі радіуса R. Питомий дипольний момент кулі дорівнює .

Задача №30

Знайти амплітуди хвиль, які відбилися та пройшли крізь плоскопаралельну пластину. Товщина пластини d, діелектрична проникність . Знайти умови, при яких відбиття електромагнітних хвиль від пластинки мінімальне. Падіння на пластинку нормальне.

Задача №31

Знайти напруженість електричного поля всередині анізотропної пластинки, яка поміщена в однорідне електричне поле Е

Задача №32

Вздовж плоскої границі розділу двох середовищ, які мають протилежні по знаку діелектричні проникності та , поширюється поверхнева хвиля, в якої напрямок магнітного поля перпендикулярний до напрямку поширення (ТМ – хвиля). Знайти закон дисперсії такої хвилі.

Задача №33

Нестислива, в’язка, провідна рідина рухається між двома паралельними нескінченими площинами, відстань між якими d. Постійне поле перпендикулярне площинам. Визначити розподіл швидкостей в рідині, якщо течія стаціонарна.

Задача №34

Знайти траєкторію руху релятивістської частинки з зарядом е, маси m в полі нерухомого точкового заряду q.

Задача №35

Провідна, в’язка, нестислива рідина знаходиться між двома провідними площинами . Площина, з координатою рухається з швидкістю V в напрямку вісі Ox. Однорідне магнітне поле направлено вздовж вісі Oz електричне поле Е направлено вздовж вісі Oy. Визначити розподіл швидкостей в рідині.

Задача №36

Розглянути розповсюдження електромагнітних хвиль в просторі між провідними площинами, розділеними діелектриком. Відстань між площинами d, діелектрична проникність середовища .

Задача №37

Знайти напруженість електричного поля і власні частоти в прямокутному резонаторі. Вважати, що стінки резонатора ідеально провідні. Розміри стінок резонатора a,b,c.

Задача №38

Середовище складається з пружно зв’язаних деякими центрами заряджених частинок, коефіцієнти пружності яких різні в трьох взаємно перпендикулярних напрямках. Концентрація частинок N. Знайти тензор діелектричної проникності середовища.

Задача №39

Показати що постійне однорідне магнітне поле, індукція якого В можна описувати векторним потенціалом .

Задача №40

Показати що два послідовних перетворення Лоренца в одному і тому ж напрямку еквівалентні одному перетворенню Лоренца.

Задача №41

В середовищі, яке рухається зі швидкістю V відносно деякої системи К, розповсюджується плоска електромагнітна хвиля. Знайти швидкість розповсюдження хвилі в системі К, якщо показник заломлення середовища дорівнює .

Задача №42

Знайти закон перетворення енергії і компонент імпульсу частинки при переході до системи, яка рухається зі швидкістю відносно лабораторної системи відліку.

Задача №43

Два масштаби, кожен з яких має в своїй системі спокою довжину рухаються назустріч один одному з рівними швидкостями відносно деякої системи відліку. Яка довжина кожного з масштабів, виміряна в системі відліку, пов’язаній з іншим масштабом?

Задача №44

Довжина хвилі світла, яке випромінюється деяким джерелом, в тій системі в якій джерело знаходиться в спокою, дорівнює . Яку довжину хвилі зареєструють: а) спостерігач, який наближається з швидкістю до джерела

б) спостерігач, який віддаляється з такою ж швидкістю від джерела

Задача №45

Заряд е, розташований на відстані від плоскої поверхні нескінченого діелектрика з діелектричною проникністю . Середовище, в якому знаходиться заряд має діелектричну проникність . Визначити потенціал і вектор електричної індукції в обох середовищах.

Задача №46

Визначити потенціал точкового заряду е, який знаходиться в однорідному анізотропному середовищі з заданим тензором діелектричної проникності.

Задача №47

В нескінченому прямому провіднику радіуса тече струм густиною при , де відстані від осі провідника. Знайти векторний потенціал і напруженість магнітного поля всередині і зовні провідника.

Задача №48

Знайти вектори напруженості і магнітної індукції магнітного поля, яке створюється однорідно намагніченим шаром з магнітним моментом одиниці об’єму . Радіус шару

Задача №49

Під дією постійного магнітного поля напруженістю в магнетику встановлюється магнітний момент одиниці об’єму паралельний . До системи крім постійного поля прикладене змінне магнітне поле, яке перпендикулярне і обертається з частотою . Амплітуда вектора напруженості змінного поля задовольняє умові . Визначити магнітний момент створений змінним полем в одиниці об’єму магнетика.

Задача №50

Визначити залежність частоти фотона, розсіяного на електроні, який заходиться в спокою, від кута розсіяння.

Задача №51

Знайти частоту фотона, випроміненого збудженим ядром з масою , яке знаходиться в спокою. Якщо енергія збудження ядра дорівнює . (Релятивістський випадок)

Задача №52

Знайти систему відліку, в якій вектори напруженостей електричного і магнітного полів паралельні.

Задача №53

Нескінчений прямий провід зі струмом І розташований паралельно плоскій границі двох середовищ з магнітними проникностями . Відстань від проводу до границі а. Визначити магнітне поле. Використати метод зображень

Задача №54

Визначити потенціал поблизу заземленого кута, утвореного площинами Х=0, У=0. Використати метод конформних зображень.

Задача №55

Центр провідної сфери радіуса знаходиться на плоскій границі розділу двох діелектриків з діелектричними проникностями . Заряд сфери е. Знайти потенціал системи, вектор електричної індукції і розподіл поверхневого заряду на сфері.

Задача №56

Куля з магнетика знаходиться в постійному магнітному полі, напруженість якого всередині кулі дорівнює . Вважаючи, що розміри кулі набагато менше довжини хвилі власних коливань магнітного моменту, знайти частоту цих коливань.

Задача №57

Плоскополяризована хвиля падає нормально на поверхню магнітного середовища, яке має діелектричну проникність і провідність . Знайти коефіцієнт відбиття . Розглянути граничний випадок гарного провідника.

Задача №58

Електромагнітна хвиля падає під кутом на плоску поверхню напівнескінченного кристалу, оптична вісь якого перпендикулярна поверхні кристалу. Визначити напрямок розповсюдження звичайного і незвичайного променів у кристалі.

Задача №59

Визначити затухання ТН-хвиль в прямокутному хвилеводі з розмірами стінок а і . Провідність стінок хвилеводу , магнітна проникність .

Задача №60

Показати, що число коливань в інтервалі в прямокутному резонаторі з ідеально провідними стінками дорівнює .

Задача №61

Розглянути розповсюдження електромагнітних хвиль вздовж круглого циліндричного діелектричного хвилеводу з діелектричною проникністю . Радіус хвилеводу .

Задача №62

Знайти фазову та групову швидкості в середовищі з діелектричною проникністю . Обмежитись випадком частот малих та великих порівняно з

Задача №63

Ізольована провідна сфера поміщена в однорідне поле E. Знайти потенціал системи та поверхневу густину зарядів на сфері.

Задача №64

Знайти інтенсивність випромінювання частинки маси , яка рухається по круговій орбіті радіуса а під дією кулонівських сил. Відповідь виразити через енергію частинки.

Задача №65

В тонкій лінійній антені довжини збуджується струм, густина якого дорівнює . Вектор направлений вздовж антени. Знайти напруженість електричного і магнітного полів випромінювання антени.

Задача №66

Нескінчений циліндр радіуса заряджений рівномірно по своїй довжині. Об’ємна густина заряду , де - полярний кута вісь циліндричної системи координат співпадає з віссю циліндра. Знайти потенціал і напруженість електричного поля всередині та зовні циліндра.

Задача №67

Об’ємна густина заряду всередині кулі радіуса задана , де - постійний вектор, а - радіус вектор, проведений з центру кулі. Знайти напруженість електричного поля всередині і зовні кулі.

Задача №68

Об’ємна густина заряду в сферичних координатах описується функцією, , де - сталі, а – поліноми Лежандра. Знайти потенціал електричного поля в необмеженому просторі.

Задача №69

Поверхня рівномірно зарядженої напівсфери радіусу має заряд . Використовуючи розклад функції по сферичним функціям, знайти потенціал електричного поля в кожній точці простору.

Задача №70

Розподіл об’ємної густини заряду в просторі має вигляд , де - постійний вектор. Користуючись загальним розв’язком рівняння Пуасона знайти потенціал електричного поля в кожній точці простору.

Задача №71

Чи можна створити в просторі постійний електричний струм з об’ємною густиною , де а – додатна стала, а об’ємна густина заряду не залежить від часу?

Задача №72

Всередині нескінченого циліндра радіусу паралельно його вісі тече струм з об’ємною густиною , де - циліндрична координата, - полярний кут, а вісь співпадає з віссю циліндра, ціле, додатне число і стала задовольняють умові . Знайти векторний потенціал магнітного поля всередині і зовні циліндра.

Задача №73

Заряд q рівномірно розподілений по тонкому кільцю з радіусом R. Знайти напруженість електричного поля на вісі кільця як функцію відстані z від його центра

I11

Задача №74

Заряд q рівномірно розподілений по кільцю радіуса R. Знайти роботу сил поля по переміщенню точкового заряду q’ із центра кільця на нескінченість.

I29

Задача №75

Напруженість електричного поля залежить тільки від координат x та y як

. Знайти заряд всередині кулі радіуса R з центром у початку координат.

I36

Задача №76

Система складається із рівномірно зарядженої кулі радіуса R та оточуючого середовища заповненого зарядом з об’ємною густиною , де – додатня величина, r- відстань від центра кулі. Знайти заряд сфери, при якому напруженість поля E електричного поля зовні сфери не буде залежати від r. Чому дорівнює E

I37

Задача №77

Знайти напруженість E електричного поля в області перетину двох куль, рівномірно заряджених різнойменними зарядами з об’ємною густиною та , якщо відстань між ц центрами куль дається вектором l.

I37

Задача №78

Потенціал поля всередині зарядженої кулі залежить тільки від відстані r до її центра по закону , де a,b - сталі. Знайти розподіл об’ємного заряду всередині кулі.

I39

Задача №79

Знайти силу, що діє на одиницю поверхні провідника, який знаходиться в електричному полі E.

I44-45

Задача №80

Знайти ємність сферичного конденсатора. Радіуси внутрішньої та зовнішньої оболонок a та b відповідно.

I54

Задача №81

Точковий заряд q знаходиться на відстані від центру незарядженого провідного сферичного шару, внутрішній та зовнішній радіуси якого a та b відповідно. Знайти потенціал.

I55

Задача №82

Система складається з двох провідних концентричних сфер, на внутрішній сфері радіуса знаходиться заряд , зовнішня сфера має радіус і несе заряд . Знайти потенціал системи

I55

Задача №83

Точковий заряд q знаходиться на відстані b від поверхні провідної площини. Знайти поверхневу густину заряду, індукованого на поверхні.

I57

Задача №84

Точковий заряд q знаходиться на відстані b від поверхні провідної площини. Знайти роботу по переміщенню заряду на дуже велику відстань від поверхні.

I57

Задача №85

Тонке провідне кільце радіуса має заряд q і розташоване на відстані b від поверхні провідної площини. Знайти потенціал електричного поля в центрі кільця.