electrodynamics / metodychka2010_
.pdf
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО ПРОВЕДЕННЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ з класичної електродинаміки
Для студентів фізичного факультету
КИЇВ 2010
1
Методичні вказівки до проведення практичних занять з класичної електродинаміки для студентів фізичного факультету /Упорядн. В.Ю. Решетняк. 2010 – 29с.
Рецензенти: І.П. Пінкевич, д-р фіз.-мат. наук, проф., М.В. Макарець, д-р. фіз.-мат. наук, доц.
Затверджено Радою фізичного факультету 20 вересня 2010 року
2
ПЕРЕДМОВА
Дані методичні вказівки призначені для студентів фізичного факультету Київського національного університету, які вивчають класичну електродинаміку. Теми практичних занять відповідають програмі, затвердженій Міністерством освіти та науки України та розраховані на два семестри. Кількість завдань, які винесені на кожне семінарське заняття, в декілька разів перевищує можливості середнього студента і тому достатня для роботи в аудиторії будь-якого рівня. У планах кожного заняття підкреслено особливості даної теми. Завдання, які винесені на кожне аудиторне заняття, охоплюють основні типи задач даної теми. Також наведено основні формули з електродинаміки, які необхідно знати при розв’язуванні задач, та додаток з математичними формулами.
Усі номери завдань зазначені за такими збірниками задач:
1.Л.Г. Гречко, В.И.Сугаков, О.Ф.Томасевич, А.М.Федорченко, Сборник задач по теоретической физике, Москва, Высшая школа,1984.
2.А.И. Алексеев, Сборник задач по классической электродинамике, Москва,
Наука, 1977.
3.В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, Москва,
Наука, 1970.
4.Л.Г. Гречко, В.И.Сугаков, О.Ф.Томасевич, А.М.Федорченко, Сборник задач по теоретической физике, Москва, Высшая школа,1972.
5.М.В. Макарець, В.Ю. Решетняк, О.В. Романенко, Задачі з класичної електродинаміки, Київ, ВПЦ «Київський національний університет», 2006.
3
Заняття 1
Тема: ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ З КУРСУ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
Поняття вектора. Дії з векторами. Скалярний, векторний, подвійний векторний та змішаний добутки векторів. Оператор = ir ∂∂x + rj ∂∂y + kr ∂∂z та дії з ним.
Операції diva, rota, gradφ, ∆φ, ∆a в декартовій, циліндричній та сферичній
системах координат. Дельта-функція Дірака, її властивості. 1. Довести:
|
|
rot rota = grad diva − ∆a |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
grad f |
(r)= |
df |
|
rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
rot(ar0 exp(ik rr))= i[k , ar]exp(ik rr) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
r |
r |
|
|
|
|
r |
rr), |
|
|
|
|
|
|
|
div(ar0 exp(ik rr))= i(k |
ar)exp(ik |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
r |
r |
r |
rr) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
grad exp(ik rr)= ik exp(ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
r |
|
|
r |
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
||
div[ar(rr),b |
(rr)]= [ar(rr),b(rr)]= b rotar − ar rotb, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
div(φ(r)ar(rr))= (φ(rr)ar(rr))= ar(rr)gradφ(rr)+φ(rr)divar(rr) |
|
||||||||||||||
rot(φ(rr)ar(rr))= φ rotar +[ φ, ar] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Розв’язати задачі № 1-3, 5, 6 [1], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Домашнє завдання: |
повторити |
основні |
рівняння електростатики, теорему |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
(x − xs |
|
) |
|
||
Остроградського – Гауса, |
№ 39, |
49, |
55 [3], довести: δ[ϕ(x)]=∑ |
δ |
|
|
, де |
||||||||
|
|
ϕ′(xs ) |
|
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||||||
φ(xs )= 0 . Додатково №11, 13 [5]. |
|
|
|
|
|
s=1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ЕЛЕКТРОСТАТИКА.
Закон Кулона. Напруженість електричного поля
r |
|
|
rr |
|
r |
q |
|
rr |
|
|
F |
= |
1 |
|
|
, |
E = |
|
|
|
. |
4πε0 |
|
r3 |
4πε0 |
|
r3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Принцип суперпозиції F = ∑Fi = q∑Ei .
i |
i |
Напруженість електричного поля системи точкових зарядів та неперервного об’ємного розподілу заряду
r r |
q |
|
|
rr − rr |
|
|
r r |
1 |
r |
|
|
|
rr − rr |
|
|
||
E(r )= ∑i |
i |
|
|
i |
|
, |
E(r )= |
|
∫∫∫ρ(r |
') |
|
|
i |
|
dV . |
||
4πε |
0 |
rr − rr |
|
3 |
4πε0 |
|
|
rr − rr |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
4
Теорема Остроградського – Гауса.
r |
r |
r |
r |
|
∑qi |
|
N = ∫∫E dS |
= ∑∫∫Ei dS |
= |
i |
, |
||
|
|
i |
|
|
ε0 |
|
∫∫Er dSr = ∫∫∫ερdV .
0
Розподіл точкових зарядів може бути описано об’ємною густиною
ρ(rr)= ∑qiδ(rr − rri ).
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
Основні рівняння електростатики |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
divD = ρ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rotEr = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
r |
||
|
|
|
|
|
|
D |
= ε0 E + P = ε0 |
ε E , |
|||
P - вектор поляризації, |
|
|
|
D2n − D1n = σ, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
E1t = E1t . |
|
|||
Вектор нормалі |
nr направлений з першого середовища в друге. Зв’язок між |
||||||||||
потенціалом і напруженістю електростатичного поля E = − φ. |
|||||||||||
Рівняння Пуассона для потенціалу та граничні умови до нього |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆φ = − |
|
ρ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|
∂φ |
|
∂φ |
або φ1 |
=φ2 крімвипадкуподвійногошару, |
||||||
|
|
= |
|
||||||||
|
∂t 1 |
|
∂t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂φ |
|
∂φ |
|
σ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
∂n 1 |
|
∂n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Потенціал об’ємного розподілу заряду φ(rr)= 4πε1 0 ∫∫∫ rrρ(−rr'r)' dV ' .
Потенціал на великій віддалі від системи зарядів φ(rr)= φ(0) + φ(1) + φ(2) +...
де
φ(0) = |
|
∑qi |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4πε0 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
φ(1) = |
|
pr rr |
|
, дипольниймоментсистеми pr = ∑qi rri , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4πε0 r |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
длянеперервногорозподілузарядів pr = ∫ρ(rr)rrdV , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
φ(2) = |
1 |
|
∑ |
D |
xα xβ |
, квадрупольний моментсистеми D |
= |
∑ |
q |
(3xα xβ |
− r 2δ |
αβ |
), |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
αβ |
r |
5 |
|
αβ |
|
i |
i i |
i |
|
||||||
|
|
8πε0 α,β |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||||
длянеперервногорозподілузарідів Dαβ |
= ∫ρ(rr)(3xα xβ − r 2δαβ )dV. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5
Якщо електричне поле змінюється повільно в межах системи зарядів, тоді сила, яка діє на цю систему, наближено дорівнює
r |
|
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
r r |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∂2 E(0) |
||||||||||||||
F = |
∫ρ(r )E(r )dV ≈ qE(0)+ |
(p )E(0)+ |
|
|
|
|
Dαβ |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
∂x |
a |
∂x |
β |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Функція Гріна для задачі Діріхле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
∆φ = − |
|
ρ |
|
,φ |
|
Si |
=φi , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ(rr0 )= |
∫∫∫ |
G(rr, rr0 )ρ(rr)dV −ε0 ∑φi |
∫∫ |
∂GdSi , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ(rr − rr0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
∂n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∆G(rr, rr ) |
= − |
, G(rr, rr |
) |
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
та задачі Неймана |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Si |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∆φ = − |
ρ |
, |
|
∂φ |
|
|
|
= ∂φi |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ε0 |
|
|
∂n |
|
Si |
|
|
|
|
∂n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂φi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ dSi , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
φ(rr0 )= |
∫∫∫ |
G(rr, rr0 )ρ(rr)dV + ∑ |
|
|
|
|
G(rr, rr0 ) |
dSi + ∑ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂n |
|
|
|
|
|
|
|
i |
∫∫S |
|||||||||||
∆G(rr, rr )= − |
δ(rr − rr0 ) |
, |
∂G(rr, rr0 ) |
|
|
|
= − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Si |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Si |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Енергія електростатичного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
W = |
|
|
|
∫∫∫D EdV = |
|
|
∫∫∫ρφdV + |
|
|
∫∫σφdS , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
∑∑ |
|
|
q q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∫∫∫∫∫∫ |
ρ(r )ρ(r |
') |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
W = |
|
|
|
|
rr |
−i rkr |
|
|
, W = |
|
|
|
|
|
|
rr − rr |
' |
|
dVdV ' . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
8πε |
0 |
|
|
|
8πε |
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
k |
|
|
|
i |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Енергія взаємодії |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫∫∫φ1 ρ2 dV + ∫∫φ1σ2 S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Енергія диполя W = −(pr E), |
момент сили |
|
N = [pr× E]. В неоднорідному полі |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F = (pr )E . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заняття 2
Тема: Теорема Остроградського – Гауса та її застосування для знаходження напруженості електричного поля
1.Розв’язати задачі № 10,13 [1], 73, [3] використовуючи симетрію системи та теорему Остроградського – Гауса.
Домашнє завдання: повторити метод дзеркальних зображень, № 11, 12, 19 [2], 77, 79 [3]. Додатково №32 [5].
6
Заняття 3
Тема: Застосування метода дзеркальних зображень для розв’язання задач електростатики
1.Математичні основи метода дзеркальних зображень.
2.Розв’язати задачі № 29-32 [1], 147 [3].
Домашнє завдання: повторити метод відокремлення змінних в різних системах координат №155 [3], 46 (в, д, є) [5].
Заняття 4-6
Тема: Метод відокремлення змінних в задачах електростатики
1.Відокремлення змінних в декартовій системі координат. Розв’язати задачі №
28, 45, 46 [1], 64 [2].
Домашнє завдання: №50, 53, 54, 65 [2].
2.Відокремлення змінних в сферичній системі координат Розв’язати задачі №
37, 39, 41, 42 [1], 55 [2].
Домашнє завдання: №59, 60, 66 [2].
3.Відокремлення змінних в циліндричній системі координат Розв’язати задачі № 56, 58, 73 [2].
Домашнє завдання: повторити основні відомості про аналітичні функції, метод конформних відображень, метод функцій Гріна, №61, 62, 74 [2].
Додатково. Подвійний електричний шар. №132-134 [2].
Заняття 7
Тема: Застосування метода конформних відображень та метода функцій Гріна для розв’язання задач електростатики
1.Побудувати функцію Гріна для сферичного шару, обмеженого поверхнями r = a та r = b (Джексон, гл. 3 §8).
2.Знайти потенціал зарядженого кільця радіуса a з повним зарядом Q , оточеного концентричною до нього заземленою сферою (Джексон, гл. 3 §9).
3.Розв’язати задачу №18 [1].
Домашнє завдання: повторити основні рівняння магнітостатики, побудувати функцію Гріна для точкового заряду в циліндричній системі координат
(Джексон, гл. 3 §10), 19,20 [1]. Додатково №40, 41 [5].
МАГНІТОСТАТИКА
Сила, що діє на елемент струму в магнітному полі dF = I[dl B]= [j × B]dV .
r |
µ0 µI [dl ×(rr − rr)'] |
|
||||||
Закон Біо - Савара dB = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
4π |
|
rr − rr' |
|
3 |
|
|||
|
|
|||||||
7
Закон Ампера dFr12 = 4πµ0r123 [rj2 ×[rj1 ×rr12 ]]dV1dV2
Основні рівняння магнітостатики
divB = 0,
rotHr = rj,
Br = µ0 (Hr + Mr )= µ0 µHr,
M - вектор намагніченості,
B1n = B2n ,
[nr(Hr2 − Hr1 )]= ir,
вектор нормалі nr направлений з першого середовища в друге, rj - густина струму, i - густина поверхневого струму.
|
r |
|
1 |
[I ×rr] |
|
|
Напруженість поля лінійного струму |
H |
= |
|
r 2 |
. |
|
2π |
||||||
|
|
|
|
Векторний потенціал магнітного поля B = rotA . Диференціальне рівняння для векторного потенціалу у вакуумі ∆A = −µ0 j .
Векторний потенціал заданого розподілу струмів у вакуумі
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
rj(rr') |
|
|
|
|
|||
|
|
|
A = |
µ0 |
|
∫∫∫ |
|
|
dV '. |
|||||
|
|
|
4π |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r − r ' |
|
|
|
|
||
Магнітне поле на великих віддалях від системи |
|
|
||||||||||||
|
|
|
r r |
|
|
µ |
|
|
r |
r |
] |
|
||
|
|
|
|
|
0 µ [m, r |
|
||||||||
|
|
|
A(r ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
4π r 3 |
|
|
|||||||||
r |
1 |
r r |
]dV ' магнітний момент. |
|
|
|
||||||||
де m = |
2 |
∫∫∫[r ', j |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j(rr,t)= qvrδ(rr − sr(t)), sr(t) - рівняння |
||||||
Густина |
струму точкового заряду |
|
|
|||||||||||
траєкторії точкового заряду.
Сила і момент сили, які діють на струм у магнітному полі
Fr = ∫∫∫[j, B]dV , |
N = ∫∫∫[rr,[j, B]]dV , |
r |
r |
F = (m B), |
N = [m, B(0)]. |
Сила Лоренца FL = q[vr, B]. |
|
Скалярний магнітний потенціал та напруженість магнітного поля H = ψ.
Диференціальне рівняння для скалярного потенціалу та граничні умови до нього.
∆ψ = −divM ,
∂ψ1 |
+ M1n |
= |
∂ψ2 |
|
+ M 2n , |
|||
∂n |
||||||||
∂n |
|
|
|
|
|
|||
∂ψ1 |
= |
∂ψ2 |
|
абоψ1 |
=ψ2 . |
|||
∂t |
|
|||||||
∂t |
|
|
|
|
|
|
||
8
Розв’язок рівняння для скалярного потенціалу за допомогою функції Гріна
r |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
divM (rr) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
M |
|
− M |
|
|
|||||||||||||
ψ(r0 )= |
|
|
|
∫∫∫ |
|
|
rr |
|
− rr |
|
dV − |
|
|
|
|
|
|
∫∫ |
|
|
1rrn |
− rr |
|
|
2n |
dS . |
||||||||||||
|
4π |
|
|
|
4π |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Енергія магнітного поля для магнітостатичних явищ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
||||||||
|
W = |
|
|
|
|
∫∫∫H BdV = |
|
|
|
|
|
∫∫∫A |
jdV . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Для лінійних струмів |
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W = |
∑Ii Φi , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
∫∫∫∫∫∫ |
j |
(rr)j(rr') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
W = |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
dVdV ', |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
8π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
− r ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
W = |
|
1 |
∑∑Lik Ii Ik , Φi = ∑Lik Ik , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
k |
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
r |
rk |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
|
∫∫∫∫∫∫ |
j(r )j |
(r ') |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Lik = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
dVdV ', |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4πIi Ik |
|
|
|
|
|
r |
− r ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Lij - коефіцієнти взаємної та самоіндукції.
W = LI22 .
Взаємодія системи струмів із зовнішнім магнітним полем
W = ∫∫∫Hr1 Br2 dV = ∫∫∫rj1 (rr) Ar2 (rr)dV ,
W = mr1 Br2 (0).
Заняття 8
Тема: Розв’язання задач магнітостатики за допомогою теореми Стокса
1.Розв’язати задачі № 57, 58, 60-64 [1], 280 [3].
Домашнє завдання: повторити тему скалярний та векторний магнітні потенціали, №138, 195, 196 [2]. Додатково №23 [5].
Заняття 9
Тема: Скалярний та векторний потенціали магнітного поля
1.Розв’язати задачі №68-70,74[1], 139, 219 [2].
Домашнє завдання: повторити мультипольні моменти, магнітний момент струму, №216, 218, 223 [2]. Додатково №90 [5].
9
Заняття 10
Тема: Електричний дипольний та квадрупольний моменти. Магнітний момент струму
1.Розв’язати задачі №34, 39, 67 [1], 126, 276 [3], 98, 154 [2].
Домашнє завдання: повторити тему Електрота Магнітостатика, №95, 101, 115, 117, 155, 156 [2]. Додатково №86 [5].
Заняття 11
Тема: Повторення тем Електрота Магнітостатика
1.Розв’язати задачі № 23, 27, 34, 59, 217 [2].
Домашнє завдання: підготуватися до контрольної роботи, №60, 218[2].
Заняття 12
Тема: Контрольна робота по темах: ЕЛЕКТРОСТАТИКА та МАГНІТОСТАТИКА
Домашнє завдання: повторити тему випромінювання лінійним струмом, розв’язати задачі обох варіантів контрольної роботи.
ТЕОРІЯ ВИПРОМІНЮВАННЯ
Рівняння Максвела та граничні умови до них
|
divD = ρ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
r |
|
∂Br |
|
|
|
|
|
|
|
D2n − D1n |
= σ, |
||
|
rotE |
= − |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
E1t = E1t , |
|
|||
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
divB |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
B1n = B2n , |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 )]= ir. |
|||
|
rotHr |
= rj + ∂D , |
|
|
|
|
[nr(Hr |
2 − Hr |
||||||
|
r |
r r∂t |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|||
|
D = ε0εE, B = µ0 µH , |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вектор нормалі nr направлений з першого середовища в друге, ρ(rr,t) - густина |
||||||||||||||
r |
r |
|
|
|
|
|
|
i - густина поверхневого струму (струму, який |
||||||
заряду, j |
(r,t) - густина струму, |
|||||||||||||
тече по межі розділу середовищ 1 та 2). |
|
|
|
|
|
|||||||||
Закон збереження заряду |
∂ρ + divrj = 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
||
Закон збереження енергії. Густина енергії, вектор Пойнтінга. |
||||||||||||||
|
|
|
r |
r |
|
|
∂w |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
j E |
= − |
∂t |
− divs, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
r |
r |
r |
r |
|
r r |
|
|
|
|
|
w = |
(E |
D |
+ B |
H ), |
sr |
= [E, H ]. |
|
||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10