electrodynamics / maina5

Передмова

другимя протягоунда

ентдвох семестрiвкур

сомКурстеоркласично¨тично¨електродинамiкии, який чит

äëÿ ñòó

ентiв iзичних

спецiальностей. За ñâî¨ìè

ìательниматичн ¨

ìè

етодами вiн

частково перекрива¹тьс

з курсом

äíþ¹

êóð ó

öiëîìó,

ÿ

цi поняття ви

деякимиають в

i

який часто

. Òàê

побудова прî

äiëàìè

матем тично¨ iзики (зпаралельнокрема, з методоì роздiлення

çìiííèõпотребувластивовиклада¹тьсями спецiальних ун цiй), але це не ускла-

граики,

¹ попереднього ознай мл ння студент

динамiцi аб олютно при оскiлькинь .

електробагато iчногорi¹нтованийдосвiду клнадання цi¹¨ дисциплiниуклузагедрою тео-

посiбнику, ¹ стандкласично¨ртними i певною мiрою можуть розглядатись

з прог амоюзумiння

електродинамiки.

Âií

¹

альнен ям

Ï ñiáíèê

студентiвiз кiв,

äå

èé çãiäíî

ретично¨ iзики на iз

чному а

уль етi. Усi задачi,

наведенi у

ÿê

-ìiíiìóì, ÿêó ìà¹

виконати

студент для успiшного

засво¹нпрограманого

роздiлуячотирь х

içèêè.

íàâå

Çáið

. Ó ïåðøié

¨

÷èò

теоретично¨ж знайти в лiтературi (див. список лi

икладенняятьс ч стовживанi

âå

торнi тотожностi, ормули для ди ерен

ä íî îñ

îâíi

֒i

частиннеобхiднi ормули. Детальне

тератури). склада¹тьсУтеорет час

инi наведенi

÷,

â

åòié

âiäïîâiäi

повнi розв'язкивiдомостiбiльшостiумовизх. У до

частинiтках приво

öiéíèõ

операцiй угiйкриволiнiйних коор

ахзададеякi

рмули

теорi¨нь ознайомлений

з основними властивосдинатÿ

Лежан-

Автори вдячнiБесселяво¨м к легам з

а едриiнтеграламиретично¨ iзики за

ñò

ункцiй. Передбача¹тьс , що студент попере

дарспецiальнихтних кур iв.

а елiптичними

полiномiводному з

äðà, ó êöiÿìè

äîâó çà

допомогу в

пiдготовцi рукопису.

öií

i

уваження та проп зицi¨,

ÿêi áóëè âðàõîванi при уклад ннi

аного

посiбника, а

ак ж студенту другого курсу Денису Дàâè-

4

Електромагнiтненапруженостiпоеëåктривто÷öiíîãîr уполямомент часу t зада¹ться векто-

iндукцi¨;

динамiки,

iтного поля

E(r, t) i вектором iндукцi¨

äi¹

лектричнийB(rзаряд, t). Цi величини визначаються

силою, яка

q:

на елемент провiдника довжиноюF = qE(r, t)

1)

dl зi струмом I:

законЕкспериментзбелАмпКулон.режкт а;омагнiтно¨альнiуеннявиглядiзарядузаконирiвняньелектроМаксвелла дляа векторiвсаме: напруже(1.2) -

ностей4321)вiдповiдноормулюються

dF =

dl, B(r t)

âiäïîâiäíî,

жаються вiдомими

r

момент5

t

óíêöiÿìè,

div B(r t) = 0 , (1.3)

E(r, t) i B(r t):

,

rot B(r, t) = µ0

j(r, t) + ε0 ∂

∂t

E(r, t)

∂B(r, t)

1

äå rot E(r, t) = −

∂t

,

div E(r, t) =

ε0

ρ(r, t) ,

12

Ô/

,

7

í/ì,

2

швидкiстьма iвняннясвiтлаМаксвеллау вакуумiiнтегральнiй.

ормi мають вигляд,

c

ε0

= 8.85 · 10−

µ0 = 4 · 10−

ε0µ0

= c

B(r, t) · τ (r) dl = µ0

j(r, t) · n dS +

1

∂E(r, t)

· n dS 4),

c2

∂t

L

S(L)

S(L)

B(r, t)·n dS = 0 ,

E(r, t)·τ dl = −

∂

B(r, t)·n dS ,

5

∂t

S

L

S(L)

1

äå

S E(r, t) ·

n dS =

V (S)

ρ(r, t) dV,

ε0

(1.6)

i описПершеють,рi

div E =

,

div B = 0

(1.7)

rot E = 0 ,

rot B = µ0j ,

ε0

ρ

вiдповiдно,няннясистеявìèща(1.4)електрозадовольня¹ться,- i магнiтостатикиколи .

розклад):

ϕ(r):

виглядЙого розв'язок у

ϕ0(r) =

ρ(r)

(1.11)

ñóòнi граничнi поверхнi,(1ма¹.8)

випадку,ϕколи(r =âiä− ε0 .

1

ρ(r)

Якщо вiдстань

ϕ(r) =

dV ′.

(1.9)

4πε0

|r − r ′|

де введенi позначення:ϕ(r) = ϕ0(r) + ϕ1(r) + ϕ2(r) + . . .

0)

де введене позначення:

A1(r) =

µ0[m, r]

21)

мидляструмiввекторного потенцiалу магнiтного 3дипольного моменту систе(1. -

4πr

1

Енергiя магнiтостатичногоm =

ïîëÿ[r′ó, jвакуумi(r′)] dV ′.

22)

2

V

а енергiя вза¹модi¨ двох

1

струмiв2

(1.23)

Wm ñèñ= òåì

B(r′) dV ′ ,

2µ0 V

енергi¨:електромагнiтного поля

µ0

j1

(r1)

j2(r2) dV1dV2

збережåííÿ:. (1.24)

1)ÄëÿW12m

=

j(r′)A2

(r′)dV ′

= справедливi закони·

V

4π

V

|r1 − r2|

äå

d

w dV

= −

Π · n dS −

jçE dV

(1.25)

dt

Pf

12

V

S(V )

V

=

Π густина напружльсуiì

електромагнiтного поля, а

ε0

2

2

2

ó âàê óìi,

густина енергi¨ електромагнiтного поля

Π = µï0 [E, B]

w =

2

E + c B

iìïó¹ густину

1

отоку енергi¨,вектор Умова Пойтинга, який харак-

териз

2)який нельсу:входить до

струмiв;зовн шнь

струму,

дано¨ системиjз зарядiвгустина

äå

d

Pf dV = −

Tij nj dS ,

(1.26)

dt

V

S(V )

c

максвелловихiмпульсу:

−

åíü;

2

3)тензормоменту

Tij

=

ωδij

ε0(EiEj + c BiBj )

d

Lf x dV = −

∂

(yTzj − zT8 yj ) dV +

(Tzy − Tyz ) dV , (1.27)

dt

V

∂xj

V

V

òåíöiàëiâ,

r, Pf dV

A(перетвореннir, t) скалярний

äå ÓLf = V

випадку змiнних у моментчасi полiвiмпульсувекторнийполя.

ЛоренцаA′ ϕ′ункцiяновi. Привекторнийнакладеннiскалярнийнапотенцiалипотенцiали,умовиаfкалiбровки(r, t) äî-

ϕ(r

t) потенцiали електромагнiтного поля вводяться

àê, ùî ïîëÿ

∂A(r, t)

(1.28)ïî-

залишаютьсяE(r, t) =ÿêå−незмiннимима¹ϕ(вигляд:r, t) −

ïðè

калiбрувальному

∂t

,

B(r, t) = rot A(r, t)

äåA(r, t) = A′(r, t) + f (r, t) ,

ϕ(r, t) = ϕ′(r t)

∂f (r, t)

,

(1.29)

−

∂t

âiëüíà

1 ∂ϕ

цiалiвiз рiвняньувакуумi:Максвелла випливаюdiv A + òü

хвильовi= 0 , рiвняння для потен(1.30)-

c2

∂t

A −

1 ∂2A

= −µ0j

,

1)

c2

∂t2

1 ∂2ϕ

ρ

ïîâи потерхåíöiàü âîíèëàми:мають розв'язки,(1.3ÿêi2

нЗазиваювiдсуòьсяностiзапiзнювальнимзарядженихϕ − c2

∂t2

= −ε0 .

A(r, t) =

µ0

j(r′, t − |r − r′|/c)

dV ′ ,

3)

4π V

|r − r′|

1

ρ(j(r′

, t

r

r′ /c)

Кутовий розпоϕ(räië, t) ïî= òîêó енергi¨

− |

−

|

dV ′ .

(1.34)

4πε0 V

|r − r′|

з центром у т чцi

P випромiнювання вiд джерела

r = 0:

äå

dP

1

[E(r, t), B(r, t)] · nr2

(1.35)

=

dΩ

µ0

å

dI =

1

∞

[E (r), B (r)]

nr2 ,

(1.36)

X

l

l

·

dΩ

2µ0 l=1

1

T

E(r, t) exp i

π

dt l-ийспектральноеiцi¹нт ряду Фур'¹

äëÿEïîëÿ,l(r) =

2 lt

T

0

T

W :

òà

dW

=

1

Re [E(r, ω), B (r, ω)] · nr2

7)

dΩ dω

πµ0

dW

∞

dW

äå

=

dω ,

dΩ

dΩ dω

(1.38)

+∞

0

dIl

µ0c

îå iöi¹íòîì

äå

lω

dΩ

=

2(4π)2

[kl , jl(kl)]

,

(1.39)

kl =

c

n

хвильовий вектор для l-î¨

випроìiíþâàííÿ

гармонiки поля, а

1

T

(lωt kl r)

dt dV =

jl(r)e−

kl r

dV

б)за¹ перетворечасомjäëÿl(klкоротк) =âiäíнямгустиj(r, t)e

−

очасногоФур'¹и струму;по координатах i к

ðÿäó Ôóð'¹(1.40)

T 0

V

10

V

dW

µ

= 2(4πl)2 [k, j(k)] 2 ,

(1.41)

dΩ dω