Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

electrodynamics / maina5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

1.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

рiвняння набувають вигляду

div B = 0 ,

ρ0(v · )v = −a + η v +

[ rot B0, v] ,

µ0

äå

d v v = 0 ,

B + rot [v, B] = 0 ,

трансляцa = éíîþp = a0j

µ0σ

симетрi¹юсталаздовжвеличинаосей градi¹нта тиску. Згiдно з

æàòü âiä

x y всi величини не за-

x òà y. Òîìó ðiâняння набувають вигляду

∂Bz

= 0 , Bz = B0 , v = jv(z) ,

∂z

B0 ∂Bx

∂2v B0 ∂By

= 0 −a + η

= 0 ,

µ0 ∂z

∂z2

µ0

∂z

1 ∂2Bx

1 ∂2By

∂v

звiдки видно, ùî

= 0 ,

+ B0

= 0 ,

µ0σ

∂z2

∂z

µ0σ ∂z2

ã ÿä

Bx = 0, à ã

i умови дляшвидкостi мають

пливають з рiвностi

. раничнi

магнiтного поля

âè

v(d) = v(−d) = 0

V j(r) dV =Vÿêùî(j· )r dV =V ( ·j)r−r div j dV =S(V ) (n·j)r dS = 0 ,
ÿêà âiðíà,	викону¹ться
Îñêiëüêè					n · j(r) = 0 на поверхнi пластин.
µ0j = rot B, òî öå äà¹
Звiдси отрима¹мо0 =			rot B dV =					[n, B] dS .
		V					S(V )
	By (−d) = By (d). Таким чином, система рiвнянь
ηv′′(z) +	B0	By′	(z) = a ,				1	By′′(z) + B0v′(z) = 0
ма¹ граничнi умоâè
	µ0					µ0σ
		v(−d) = v(d) = 0, By (d) = By (−d). Введемо
s = z/d, тодi отрима¹мо для швидкостi
			v′′′(s)		2
			v′′′(s)	−	131h v′(s) = 0 ,
				−

äå h = B0dp	σ/η	v(s) = A1e−hs + A2ehs + A3 ,
		число артмана. Його розв'язок ма¹ вигляд

рикладAi сталi. Якщо додати ще одну граничну умову для v, íàï-

v(0) = v0, òî òîäi

ch h − 1 .

By знаходимо: v0 = ad2

äå

v(z) = v0

ch h − ch hzd

ch h − 1

v0 невiдома стала. З першого рiвняння системи отрима¹мо

By (z) = C −

µ0a

z +

ηµ0

2h h/a

äëÿC = 0 стале магнiтне поле вздовж осi y. З гранично¨ умови

Îòæå,

h sh h

vy (z) =

ad2

ch h − ch hs

, s =

h sh h

By (z) =

sh h − s , jx(z) = i h

1 − h ch h

µ ad2

sh hs

ch hs

бто виника¹ струмEx(iz) =

h√ση 1 − h cth h

äò

òà

стале

åëåê

тричне поле, перепендикулярне

систему координат, в якiй

159. Виберемо.

ëîгiчно до попередньо¨ задачi отрима¹мо

zkB0, ykv, xkE. Àíà-

ηv′′(z) +

= 0 ,

µ0

аничнi умови

µ σ B′′(z) + B0v′(z) = 0 .

то простих

−

тричнi,

умов для, магнiтногопотiм. Оскiëяькиема¹,умовиалене¹сиуìî

âà

d) = v

d) = 0

E = iE0

const. Це да¹ змогу знайти третю сталу. Отже,

ходимо

+ A2e

+ A3

, äå

. Ç ãðàíичних умов зна-

vy (s) = A1e−

s = z/d

à A2 ÿê óíêöi¨ v0132 A3,

øóêà¹ìî By (z), j(z)

÷èi E(z) тим самим сп собом, що й у попереднiй задачi. Прирiвнюю-

E(z) = E0, знаходимо A3, що да¹ можливiсть отримати

v(z) = v0

sh 2h

− B0

1 − ch h

sh (h(s + 1))

ch hs

By (z) = −µ0√µσ v0

sh h

ch h(s + 1)

sh hs

v0B0

для160струму. У jx(z) = σ

+ E0

ch h .

sh h(s + 1)

ch hs

власнiйзапишемосистемi координат у н релятèâiñòському

j′ = σE′, îòæå E′ = j′/σ = 0, σ → ∞. Òàê ÿê E′ = E + [v, B], òî v = [E, B]/B2.

випад у

îñêiëüêè

133

Ä1Додатки. Основнi ормули векторного аналiзу

кторнiвекторнихаскалярнiУ то жностях,ункцi¨íàçведенихалеæàтьнижче,вiд радiусвважа¹-векòься,ора щоточки,веякий у прямокутних декартових координатах ма¹ вигляд r = ix+

+ jy + kz.

∂

= i ∂x + j

∂y + k

;

∂z

grad ϕ = ϕ ,

div A = · A ,

rot A = [ , A] .

(Ä 1.2)

∂

nj f (r) dS =

f (r) dV

зовнiшня нормаль) ; 3)

∂xj

V (S)

(a · )b = ax ∂x + ay ∂y + az ∂z b ;

∂

div grad ϕ = · ϕ = ϕ ;

(Ä 1.5)

rot rot A = [ , [ , A]] = ( · A) −

A = grad div A − A ;6)

div rot A = · [ , A] = 0 ;

rot grad ϕ = [ , ]ϕ = 0 ;

∂2A

A =

;

∂x2

∂y2

∂z2

(Ä 1.9)

grad (f ϕ) = (f ϕ) = ϕ grad f + f grad ϕ ;

div (ϕA) = ϕ div A + A · grad ϕ ;

rot (ϕA) = ϕ rot134A − [A, grad ϕ] ;

(Ä 1.12)

div [A, B] = B · rot A − A · rot B ;	3)
rot [A, B] = (B · )A − B div A − (A · )B + A div B ;	4)
grad (A·B) = (B · )A+[B, rot A](A· )B +[A, rot B] ;	5)

1 2

Д2Задачуму симетрiю,. Кривонайлегшещойëiíiéíigradрозв'язувати,умовиA задачi=координати(A ·.якщоЯкщо)Aсистема+çàìiñòü[A, rotкоординатдекартово¨A] . ма¹системи(Дту1.16)са

íà

ортогональназамиi jправиломсистемаk i к динатамиоординат xортами,y, z вводиться кри

îðвк лiнiйдинатор

àìè

ex, ey , ez i î-

q1, q2

x = x(q1, q2

, q3), y = y(q1, q2, q3),

àêi êðèâîëiíiéíi îðòîгональнi

z = z(q1, q2, q3),

спр ведливо:

цилiндричнi q1

∂r

= ρ, q2

= ϕ,

q = z:

äå

= Hi

∂qi

r = x(q1, q2, q3) + jy(q1, q2, q3) + kz(q1, q2, q3) Hi

параметри

Ëàìå:

1)динат:Часто

H =

∂q

1/2

∂x

∂y

∂z

застововуються

системи коор-

x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ ,

z = z ;

H1 = 1 , H2 = ρ , H3 = 1 ,

eρ = i cos ϕ + j sin ϕ ,

eϕ 135= −i sin ϕ + j cos ϕ , ez = k ;

2) с еричнi q1 = r, q2 = θ, q3 = ϕ:

x = r cos ϕ sin θ ,

y = r sin ϕ sin θ ,

z = r cos θ ;

H1 = 1 ,

H2 = r ,

H3 = r sin θ ,

er = i sin θ cos ϕ + j sin θ sin ϕ + k cos θ ,

eθ = i cos θ cos ϕ + j cos θ sin ϕ − k sin θ ,

3) параболiчнi

eϕ = − sin ϕ + j cos ϕ ;

q1 = u, q2 = v, q3 = ϕ:

x = √

cos ϕ ,

y = √

sin ϕ ,

u − v

z =

;

u + v

Дикриволвектдверенцiальнiпотрiбнооператорiвiíiéичинами:ункцiяхнихвра вiдовуватиортикооопепо-виперше,ðïàäêстаютьдинатахацi¨. узамiнюютьсядекартовзмiннимкриволiнiйнихзмiннi,приоорäèнатпое

цернихма

H2 = r

H3 = √uv .

динатренцiюваннiВiдмiннiстьзумовленаД3руге,. H1 = r 4u

Справедливi

акi вирази для похiднèõ ó

êîîð

àõ:

ei ∂ϕ

grad ϕ =

i=1

Hi ∂xi

∂

äå

i=1

div A = J

∂qi J Hi

(Ä 3.2)

J = H1H2H3 якобiан переходу;

H1e H2e2

H3e3

rot A =

∂

(Ä 3.3)

∂q

∂q2

∂q3

H1A H2A2

H2A2

∂

∂ϕ

(Ä 3.4)

ϕ = div grad ϕ = J i=1

∂qi Hi2

∂qi ,

136

1)Дляцилiндричнiдеяких ортогональнихкоординати:A = gradкоординатdiv A − можнаrot rot Aодержати.

такi(Двирази:3.5)

grad f (r) = er

∂f

+ eϕ

∂f

+ ez

∂f

∂z

∂r

r ∂r

div A(r) =

1 ∂

(rAr ) +

1 ∂Aϕ

∂Az

r ∂r

r ∂ϕ

rot A(r) = r

− r

er +

∂z

∂ϕ

∂z

∂Az

∂Aϕ

∂z

−

∂rz eϕ

+ r ∂r (rAr ) − r ∂ϕ ez ,

∂Ar

∂A

1 ∂

1 ∂Ar

1 ∂

∂f

1 ∂2f

∂2f

f (r) =

A(r) =

∂r

∂ϕ2

∂z2

(Ä 3.9)

Ar − r2 − r2

∂ϕ

er +

2 ∂Aϕ

∂ϕ eϕ +

де операцiя

Aϕ − r2 + r2

Az ez ,

(Ä 3.10)

2 ∂Ar

2) с еричнi

Aα

координати:обчислю¹ться за ормулою (Д 3.9);

∂f

eθ ∂f

eϕ

∂f

grad f (r) = er

(Ä 3.11)

∂r

∂θ

r sin θ

∂ϕ

∂

∂Aϕ

div A(r) =

(r2Ar ) +

(sin θAθ) +

(Ä 3.;12)

r sin θ ∂r

r2 sin2 θ

r2 ∂r

∂ϕ

rot A(r) = r sin θ ∂θ (Aϕ sin θ) − ∂ϕ +

∂

∂Aθ

+ r

sin θ ∂ϕ

− ∂r (rAϕ) +13 r

∂r (rAθ) − ∂θ

eθ

1 ∂Ar

∂

eϕ

∂

∂Ar

(Ä 3.13)

2 ∂Ar

f (r) =

1 ∂

∂f

1 ∂

sin θ

∂f

1 ∂2f

r2 ∂r

∂r

+ r2 sin θ ∂θ

∂θ

+ r2 sin2 θ ∂ϕ2

(

Ä 3.14)

A(r) =

Ar − r2

Aθ + r2

Ar + sin		θ ∂θ		(sin θAθ) + sin θ ∂ϕ er +
1			∂					1 ∂Aϕ
	∂θ − 2 s n2			θ	− sin2		θ ∂ϕ eθ+
		Aθ				cos	θ ∂Aϕ

äå

Aϕ + r2 sin2

θ ∂ϕ

+ ctg θ

∂ϕ

−

2 sin θ eϕ ,

операцiя

∂Ar

∂Aθ

Aϕ

ДельД4. аДельт- Aα

ункцi¹юма¹-обчислю¹ться(ункцiя Дiракназива¹тьсза ормулою (Д 3.14).

óíêöi¨,

òàêiδ- властивостi:ункцi¹ю)

îá'¹êò, ÿêèé

я математичний

f (x0) ,

x0 (a, b) ,

δ(x

−

x0)f (x) dx =

21 f (x0) ,

x0 = a

àáî x0 = b

äå a

ÿêùî

(a, b) ,

(Ä 4.1)

öÿêií ¹òàêiâ

граничномузвичайномуункцi¹юункцi¨:довiльнаперехункцiя,дiзадовольняютьрозумiннiвизначенацьогонаумовуслова,. (Д- хочаункцiя4.1).¹ЗокремаДiрака

f (x)

[a, b]

x) =

lim

e−µ2x2 ;

(Ä

√π

→∞

sin2 ax

δa x) =

lim

;

a→∞ π

ax2

числитиЯкщо пiдстiнеграл,авити

провiвшибудь-яку розкних

аду лiвуукцi¨частину

(Д 4.1) ейлора(Äò 4îá.4)

δγ(x) = lim

+ x

2 .

γ→0 π γ

навк ло точки

f (x) ó ÿä Ò

êöié

÷èìî,жим (Дщопра4.2)вониу частину(Дбудуть4,.4) потiмрiзними,4.певних1)обчис.Алехочëзнитиякщоàченняхiвказанусзобразитижимипараметграницю,поблизуаiвiкиòîточкипобадерун-

(ðèñ. 11,

µ = a = 1/γ = 10). Iз 138ормул (Д 4.2),

(Ä 4.3) ò

ðèñ. 11

6	f(x)
6
5
4
3
2
1
0						x
0
	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5

идно, щоиспри. 11. Функц¨¨, що прямую ь до δ- ункцi¨ Дiракановити

означення (Д 4.x1)óíêöi¨:=6 вважаючи0 можна вважати δ(x) = 0. Використовуючи âластивостi x (a, b), можна вст акi

δ-

ëó x простi ункцi¨оренi рiвняння ϕ(x) = 0, ÿêi належать iнтерва-
	b	f (x) δ′(x − x0) dx = −f ′(x0) ,
	a
	b
	f (x) δn(x − x0) dx = (−1)nf (n)(x0) ,						6)
	a
	b			n	f (x )
äå		f (x) δn(ϕ(x)) =			f (x )	,
äå		f (x) δn(ϕ(x)) =				,	(Ä 4.7)
çâiäêè			δ-139óíêöi¨ ¹ δ(k) = 1. Iз (Д 4.8) легко
				X \|	\|
	a			=1	ϕ′(xi)
(a,озкладb).
	δ-	в iнтеграл Фур'¹ ма¹ вигляд
			1	+∞
	видно, що δ(ур'¹x -xобраз) =			eik(x−x0) dk ,			(Ä 4.8)
	видно, що δ(ур'¹x -xобраз) =			eik(x−x0) dk ,			(Ä 4.8)
		− 0	2π	−∞

держати

очевидно,	δ(x − x0) =	1 ∞		cos k(x − x0) dk ,	(Ä 4.9)

		π 0
Якщо аргументомδ(x) парна ункцiя.
	δ- óíêöi¨ ¹ êóò, òî
Крiм вказаних представленьδ(ϕ ϕ ) =		1		∞	(Ä 4.10)
				eim(ϕ−ϕ0) .
	− 0			X
			2π m=−∞

вiд ункцi¨-с одинки ( ункцi¨δ-Хевiсайда)ункцiю можна ввести як похiдну

тобто

θ(x − x0) =

0 ,

≥< x0

1 ,

ном:Дельтаункцiя вiд векторного àðгументу вводиться таким(Д4.чи11)-

δ(x − x0) = dx

θ(x − x0) .

äåδ(r − r0) =

δ(q1 − q1o) δ(q2 − q2o) δ(q3 − q3o) ,

(Ä 4.12)

J (q1, q2, q3)

систему

якобiан переходу з декартово¨ системи координат

ó J (q1, q2, q3)

(q1, q2, q3), вона ма¹ властивiсть аналогiчну (Д 4.1):

ÿêùî

f (r) dV = f (r0) ,

(Ä 4.13)

r0 V . ˆ¨ розклад в ряд Фур'¹ ма¹ вигляд

k (r r0)

Âîíà ç'ÿâëÿ¹òüñÿδ(âr обчисленнir ) =

e− ·

−

dV .

(Ä 4.14)

− 0

оператора Лапласа

(2π)3

140

обчисленнi

ðÿäó

ïîõiäíèõ

другого порядку(Д4.15)за

векторома ак ж при

− r0|

=iíøèõ− πδ(r

− r0) ,

r âiä |r − r0|−1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке electrodynamics

#
19.03.2015707.19 Кб24Classical Electrodynamics for Undergraduates - H. Norbury.pdf
#
19.03.20151.02 Mб91Companion to J.D. Jackson's Classical Electrodynamics 3rd ed. - R. Magyar.pdf
#
19.03.2015965.11 Кб43Electromagnetic Field Theory - Bo Thide.pdf
#
19.03.20151.02 Mб30maina5.pdf
#
19.03.2015439.45 Кб50metodychka2010_.pdf
#
19.03.2015265.22 Кб36zadachi-1.doc
#
19.03.201519.05 Mб33Иродов - Основные законы электромагнетизма.pdf