electrodynamics / maina5

er4

e−

2r/3a

2

2

ρâ(rñ) =åðîþ8

7

s n

θ cos

θ

V

íå

−3

ðàäióñà

(iнтеграл à

i

πa

R з поверхневим зарядом σ = σ0 ïðè θ > θ0

θ

θ0

ç r = 0

усерединi прямокут

ïðè

ого паралелепiпеда

розмiрами39. Знайти6потенцiал.

а) грань

A1 × A2 × A3, ÿêùî:

á

äâi ãðàíiz = A3 ма¹ потенцiалмаютьV , решта íóëü;

íóëü40..

Çíà

z = 0

z = A3

потенцiли

V1

V2

ти ункцiю рiна задачi Дiрiхле для пiвпростору, решт

точковийористовуючиiзарядзарядаких¨¨,провiдназаземленаобчислитисистем х:площинапровiднатенцiал,зплощинпотенцiаломгустину; наведеного за-

áà)ðÿäói, âèê

z > 0

è

ñà òè

рiна внутрiшньо¨ задачi Дiрiхле. для с е

41ðàäió. Çíà

V

ðÿäó,

на еденийRзарядi,викстиназарядориствiдствшикиханiсистем:¨¨,обчислити потенцiал, густинузазем

à)

блено¨ с ери;

àíi

d < R вiд центрапровiдно¨

-

потенцiалом

d < R вiд центра

ñ åðè ç

â

точковий дипольV ;

на вiдстанi

ëåíî¨ ñ åðè (ãó

заряду

d < R провiдно¨центра

зазем

сайти у кцiю рiна зовнiшнь

задачi Дiрiхле.

äëÿ ñ å

ðè 42ðàäió. Çí

ρ(r) = −p

· δ(r − d)

ðÿäó

R i, використавши ¨¨, обчислити потенцiал точкового

q на вiдстанi d > R вiд центра

-

ëîì

с ери потенцiалуз

äíî-

заземленаядуЗнайтизадачусеричнiййого42свеличинуеразасистемiдопомогзнах.кдитьсяюдинатрозкладузовнiшнь.Знайтиомугустин

òè

çàäмуль44номуукован3..Пртиполямиозв'яголiднаçàð

ðiií

V

E0.

потенцiал,21 густину заряду

заряд в

ñiõ

ò ÷êàõ5 Ïïðîсторувiдна.

знах диться

зовнiшньому неоднорiдному

задачiполi46. .ЗнайДiрiхлеМеòодомпотенцiалгдзс ераркальнихичнимипоблизуумовамивiдображс ери.наеньтакихзнайтиповерхнях:ункцiю рiна

à)

âiä

заземлена

ïðîâiä

;

êóò;

á

гранний прямий

ий заземлен

â

äâ

заземленi

ïðîâiäíi

площини;видавлений виступ у виг

дiунасаякiй

паралельнi

äíàåðèзаземленарадiус площина,сера

R

ляд)гядiв:провпiвс

¹) квадрупольнийвiонцентричнi заземленiR;

с ери з радiусами

à)ð

47.

Îá÷

слитимоментвк

R1

i

R2

çà-

азанiс еримультипольнiзгустиною моментзаряду таких систем.

á

системи, якщо

σ = σ0 cos θ;

всталий вектор;

момент системи, якщоρ(r) = −p · δ(r), äå p

äå

ρ(r) = Aαβ 3

∂2δ(r)

− δαβ δ(r) ,

∂xα∂xβ

ä) Aαβ ст лий тензор;момент елiпсо¨да

x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 ç

ãустиною заряду

Знайтийтак ж заряд;атома водню.Початокузбудженомукоординатстанi,помiститиякщо

квадрупольн.

ρ(r) = ρ0 = const

в центрi

er4

2r/(3a)

4

à)

48. Знайти густинуρ(r) = заряду,

e−

sin

θ .

−4 · 38

який створю¹ потенцiал:

πa7

aR3

äå ϕ(r) = a(3R −2r)r cos θ ïðè r 6 R, ϕ(r) =

cos ϑ ïðè r > R,

r2

á) a òà R сталi величини;

ϕ(r) =

qe−αr

, äå q òà α ñòàëi;

4πε0 r

ϕ(r) =

q

a

+ 1 e−

2r/aîâèì,äå

qçíòàйтиa рiвняння,стлi.

4πε0 a

r

якому задо-

вольня¹49. Ввапотенцiалæàþ÷è çàðÿä òî÷ê

ϕ(r) = qe−r/a22/4πε0r, äå q

à a ñòàëi.

e

2r/a;

á)

e

2

θ.

ρ(1r)Зннай=

òè åíåðãiþe−

ρ(r) =

−

e−2r/(3a) sin2

θ cos

πa738

−

πa3

à) êóëÿ ðàäióñà

U електростатичного поляхневоготаких

á ñ åðà

ñàR зi сталоюгустиноюзаряду ρ0;

σ0

R

2

ñèëóçi ñò

ãó

повер

заряду

.

F i момент сил N , якi прикладенi до диполя

5ïîëi3. Çарядточковобластi,з б'¹мноюго зарядугуст.

pпростору

. Вважаючи, що зо нiшн¹ρполе(r) займа¹ скiнченну область

межах цi¹¨

знайти âèðàç äëÿ ñèëèE(r) ìàëî çìiíþ¹òüñ â

þòü

Знайтизаряджену систему, якщо ¨¨ заряд F

менту N , ùî

тензор квадрупольного

Q, дипольний момент

дiелектрику

моменту

Dαβ

P

54.

, якщопотенцiал i електричне поле. точкового зарядухневого

ÿä çíàõ äè üñ

îáëε =ñòiε1

ïðè zÄîñëiäèòè> 0 ε = ε2 ïðè z ïîëÿ,< 0 à çà

поляризацi

заряду приz > 0.

густину повер

реного5 Знайтикулею радiусапотенцi

напруженiε → ∞. ть електричного

ñòâî

R

çíàõ

P0

ìó

ç

д орi ною поляризацi¹ю

.äíîðiäí

.

Дiелектричнаполiкуля

иться в зовнiшньому

5електричному6

дiелектричнi

щiсiхдорiвнюютьточкахпростору,

E0

алi електричнекулiасередовиполев

якщо. Знайти потенцiалстворене

ε1

ε2

äîì 7

озв'язати задачувiдповiдно56,якщо. поле

точковим заря

8q, розташованимЗнайпотенцiалзовнiполя,кулi.створеного точкзанурю¹тьсвимсерi,ядом

орiдною дiелектричною пластинкою товщиною

eié

âàíà íà âiäñ àíi

a ÿêíàрозташо

59. Центр провiдно¨d зарядусери. радiусаозгляути випадок d = 0 a → ∞.

-

потенцiалзротсистеми,ядуашовнийвекторплосякщоелеêò¨¨

повнийричмежiо¨двохiндукцi¨заряддiелектрикiвсерагустину.ЗнайтиповерхневогоR

Масананестис ери ная¨¨ поверхрiдину

ню,менше60щоб. нiжЯкщовонаqзанури.ловинунесьзаряджена,.Якийнапловину?зарядтотребавон

устина рiд

íè

M , ðàäióñ R,

621. Çí é

à.потенцiалнапруженiсть, дiе ектричнаточкелектричногоового23п оникнiстьзарядувсерединiполя. всерединiанiзотропно-

ãо дiелектрик µ

ε

ропно¨ дiелектрично¨ пластинки, внесено¨вiдокремленомупомднорiднеелектричногопроникнiсть

63. Знайти поте цiал

E0.

однорiдвсереди

зовнiичнедiелектрично¨полеϕ напрякщоóлi,женiстьяку E стилипровiдникузовнiшн¹поля

зада¹ться тензо ом

E0,

¨¨ дiел ктрична

дiелектрична проникнiстьˆε ε навколишньогоλE E , десередовищаε λ онстанти,

=

1(1 −

)

1

ε2

величина. Вважати, що завж и ма¹ мiсце умова

2

àëà

рединiнногозаряжаючи,еро¨дальнiймоментихобластi.кондеувякщонаднорiднедiелектричногозовнiдносаторiв:простiрпорожнинiiдноднорiдногоа).икс поляризованийеричнвсередис татичеро¨дадiелектрикобкладкго;. . б)поледноциуау.

ðèêòñ

ñå

7аленiй654 стисненогЗнайтидiелектрика,саквiдеро¨да,ждипольнийпорожнини¹мнiстьполезподiлсвнееро¨даувв

λE 1

вiлiндричного;Знайтиу ормiормi

â) öèëiíä

чного,

ìiæ éîãî

ìè заповненийдовг елект

îì ç ïðî

èêíiñòþпровiдники.

ç ðàäióñà

8

ÊîåÄâà iöi¹íòèпаралельнi цилiндричнi

ε1

69. диницiперебуваютьдовжини¹мностiцi¹¨насистемивiдстанiдвохпровiдн.

êiâ

, R2)

. Знайти ¹м-

íiñòüR1

R2

d max(R1

ŸЗнайти40. КвазiстМагнiтостатикПоказати,¹мнiстьконденсатора,ацiонарнещо стале .днорiднебкладкам

C11

,

C12

= C21

,

C22

A = 21

Bïîëÿ,0 r

è якого поле¹ цi провiдники.

наближеннямагнiтне

описати вектор-поте

öiàëîì

B

струмомжна

71. Знайти iндукцiю магнiтного

. ñòâî

еного

0

густиною

акi випадки:j(r)à)ó öèëi

äð

чному провiднику радiуса R. озглянути

j(r) = kj0; á)j(r) = kαrk; â)j(r) = kα cos 2πar/R

äå

ñò j0

α a

r > R

ïîëÿ,

через

вореногорум72,.. Знайти,сталимсталiiндукцiювеличиниструмомйвекторний. В бластiпотенцiалвиразитимагнiтнпровiдникуголе

вiддаленауса

kj0 причомуцилiндричному

ðà-

R з цилiндричноювiд осi цилiндрапорожниноюна радiуса a. Вiсь порожнини

d,24

d + a < R.

3

магнiтного

поверхне

74поверхневими. .

к реногожнiйднорiдниточцi-

струмаìи з густинами ал ю

миною

0 ó ïðÿìîëiíiéíié ñìóçi ç øè

магнiтного

вим струмомЗнайтизiндукцiюо нор дноюмагнiтногогустин поля,ю i створеного

лощи ах, вiддалених на вiдстанi

1

à i2

у паралельних

частин

i випадки: а)

d

äíà âiä

ä

¨. озглянути

øâiäêiñòü, á)

2

повер5хневим струмямленими1ç = 2

1

= −

густиною

.

ä ðiäíèì

ектор-впотенцiалпадокструма

величиною. поля,

паралельо

6 . напрозглянути

a → ∞

лежно

ò

a

íèх проводах,

iдстань мiж яки и

I ó äâîõ

ìîì7

ì d.

поля, створеного стру-

векторпообертаннякiльцю- радiусаомiрноiндукцiю. озглянутизарядженмагнiтноговипадок¨сериполя,.адiуство.-

Знайтислiдоктече

R

r = kz

ÿêèé

срiвномiреногоери8I,

79

R, озарядзаряджено¨електрона,магнiтнийQ кутовалi,моментякоберта¹тосгiромагобертякий

ω

íзiтненякутовоювiдно.øеннявидкiстюдля

.

ðóñiêóëi

R

заряд

e

умасазбудженомуструму,.атомi

виника¹дню,якщо:при орбi

Ωа)тальному. 80адiус

m

e~r3

êà,jr = jθ = 0, jϕ

=

sin θ cos2 θ e−2r/3a, äå ~ стала План-

8

7

3

πma

á)

e заряд

e~r

a 0.5 · 10−10 м, m маса електрона;

â

jr = jθ = 0 jϕ

=

sin θ e−r/a;

6

5

2

πma

~

3

момент для струму.

з густиною

81. Обчислити магнiтнийe r

jr = jθ

= 0, jϕ

=

s n3

θ e−2r/3a

8

7

2 · 3

πma

äå

j(r) = −[a, ]δ(r − r0) ,

залежить

a2

r0

устиною

До ести,алiщовекторимагнiний. моме атструму з

-

початку коордиíх прямих,якщо йопровоã величинадiвзiструмаскiне

ченнами 3 .

âiä â

борусилувза¹модi¨дво

j(r)

84. Обчислити. Вiдстань мiж проводами25 х коаксiальних,кут. кiльцевих стру-

I1

I2

d

α

6= 0

ìiâ

електрîíà,

тЗнайти, якщо вiдстань мiж ¨х площинами дню,радуси кiлець

R1

òà I1

I2

d

R852.

енергiю вза¹модi¨ магнiтного моменту протона

з орбiтальним моментом збудженого атома во

ÿêùî

µp

äå µ = k

e~

(ñïií-j(r) = −âçà¹ìîäiÿ)πa3 hµe, . e−2r/a

,

орбiтальнаЗнайтиенергiювза¹модiя)вза¹модi¨. ìàãíiòíe r

ого моменту протона

тьсяпровiдникмежахсистеми. ДипольнийB(r).

~

äiþòü

(ñïií86-.

jr = jθ

= 0

jϕ =

6

5

sin θ e−r/a

2

πma

зi спiновим струмом

якщо його густина ма¹ вигляд µp

1

на систему скiнчен

íèõ87eрозмiрiв. Знайтиз силугустиноюспiновамоментструмусил, якi

2m

магнiтне поле з iндукцi¹ю

j(r), яку помiстилималовднорiдне

Вважати,момент системищополе

çìiíþ¹

iндукцiюзi струмоммагнiтногопр ля,

вореного.

íåñê í÷åí

íèì89

Знайтиом

µ

межi двох середовищ

магнiтними, як й знахникностдиьсямина вiдстан

d

iä

ç

I

µ1

реного кулею радiуса

апруженiсть

à

µ2

â

магнiтного поля, .якщост

R куля вноситьссередовищая зовнiш

M0

нiтне0полеНе еромагнiтна

ç

д орiдною намагнiче iстю

¹просторуднорiдне. маг

àãíiòíi

B0

Ç àéîñ èêóëiiíä êöiþ ïîëÿ

усiх точках

,

проник.

91. С ерична оболонкзовнiшньрадiусами

µ1

µ2.

ìiùåíà

â

днорiдному

магнiтнамуR1

R2

(

R1

< R2

) ðîç-

iтному полi

с зультуючеери магнiтне

íà

H0

ïîëå, ÿêù

проникнiсть матерiалу. Знайти

, середовища

µ1

(ïðè

r < R1

)

µ2

(ïðè

r > R1

µ

êi

лець2з радiусамикое iцi¹нт вза¹мно¨ iн

укцi¨ двох паралельних).

аксiальних3 Çí éö

лiсамоiндукцiюдрпровоз радiусамиякщодиницi

двоиник .

R1

R2

довжинипроникнiстьсистемиречоз

µ

ò

никнiсть речовиíè

äiâ

R1

R2, якщо магнiтнапров

4

ðàäióñè .

подвiйного

î

, ÿêùî

µ

95радiуса. Знайтирiвномiрноякщоое розпоiцi¹тдiленийсамоiндукцi¨т по,перерiзувiдстаньдиницiпровомiждовжининимидiв. солено¨,,

даструм

R1

R2

d µ = 1

R,

íьому циркулю¹26

стр м з верхневою гу-

èй струмöèëiíäðвеличиною

R

якому

õ

çì í

стиноюдовжини, = eϕ nI, äå n кiлькiсть виткiв проводуПровiднiстьнадиницю

96инi. шаруЗнайтиI провiдникаструмелектричне. товщинамагнiтнею

поля, густинуструму всеру

ìàãíiòíå ïîëå çRчастотою,якупомiстили

зовнiшн¹ вноднорiдне перiодичне

струм величиною

d, по якомупроникнiстьiзотропно¨х ди дитьзмiнний

ðåäовища

(I/L)e− ωt

íà îди ицю ширини.

.

ñå

м ,магнiтнасаеполя, гу

íó

äà ðàäió

µ

íi97

σ, частотачногопровоструму ω

струму

Ie− ωt.Провiднiсть середовища σ, частота

íî¨ êóëi8 ω. дiса магнiтне поле всерединiактивнимизовнi

ïðîâiä

99з . ое iцi нтвласнiамисамоiндукцi¨частоти. двох iндуктматерiалузв'язанихкулi .конту-

iндукцi¨рiв

ω

σ

L1

L2, îå iöi¹íòîì âçà¹ìíî¨

Знайтиполем,¹мностяминамгнiченiсть, наведену уопорамимагнетику змiнним.

ìàãíiòíèì100. L12

C1

C2

R1

= R2

= 0

íî äî

норiдногоhñòç

цiонарногооюωнамагнiченiсть,поляякапрямлене перпендикуляр-

á) íàâВипромiнюваннядть у магне ику алу

H0 акого, що а) H0 h;

лiнiйно¨Ÿ 5101. електромагнiтних. антениЗнайтидовжиноюкутовийрозподiлхвильiнтенсивно

M0

розсiюваннятi випромiнюва.

íÿ

Îðò

j(r) = e3I0 sin

kd

− k|z| δ(x)δ(y)e− ωt .

2

ö ëå

eчислонапрямленийпiвхвиль. уздовжПобудуватиантени,дiаграмуна¨¨ направленостiдовжинiвклада¹тьсдля

ïiвхвильових вiбраторiв при

n-

äеормулоювона повнiстю поглина¹тьсвiд точки.Знайти опiр випромiнюваннядо т чки

çà

I(t) = I0 cos(ωt − kz)

z = −d/2

z = d/2

103. Знайти електромагнiтне2.

створене площиною

R = 2W/I0

по якiй тече поверхневий струм з ïîëå,густиною

z = 0,

27

i = i0 exp(iq ·r −iωt).

масиатома106 езерe. Знайтиорда).

який частинк

впаде на ядро (модель

ðiâíîìiðíîm зарядузаряджено¨−e якобластiруха¹тьсрадiусапо

коловiй

îðáiòi

всерединi

енергiю(модипольногозарельядуатома. моментЗнайтиТомсвипрмiнюна)час,.

за який107частинк. Знайтисатор,зiнтмасоюзупинитьсянсивнiсть вшвидкiстюцентa

+e

êè

перетнувшизарядомйогопластини, як пролетiла.Вiдстаньчермiжвипадокзïëîñ

амионде

m

e

òà íÿ äîðiâl, кутю¹мiж полем E

частинки в

âëi

нювання.

двохсередню.зарядiввза¹моперiо iнтенсивнiс

дипольного

-

ï

108

α

колово¨а¹ться

e1

випромiнювання

с стеми,яелiптичнiйякскла

e2

òü

бiтi109.внаслiдокорбiтизЗнайтидиполя.iнтесво¹¨сивнiстьдi¨. ,зглянутиякiрухаюграничн

електромагнiтно¨, якийiстю знах дитьсяхвилi початку коорди ат

÷àñ

ò íêè

поляризоваp

çìi þ¹òüñ

за величиноюу точцiзчастотою. Дипольний момент перiо-

довжина÷íî

β

d

ω, а вiдстань d λ,

å

110λ .довжинаполе випромiнюваннямагнiтно¨ диполя.

вiдпроникностанi

p, якийдiелектрзнахдично ться

ìè

d вiдямимежi

здiлення дво сере овищ з

è÷íè

ю¹ться за велич

ε1

ε2

ною з частотою. Дипольний момент перiо

çìi-

вiдстьногоань випромiнюва, де

ння111нейтро. Знайтизвнутрiшнiмiнтенсивнiстьмагнiтхвилiмагнiтно.имω,моментом-ади

d

λ

λ

ïîñòié îìó

днорiдному

iтномуанiчнийµn

, ÿêèé ðóõà¹òü