electrodynamics / maina5

x′

a22(v)

a12(v)

=

x +

t ,

Δ(v)

Δ(v)

a21(v)

a11(v)

порiвнюючи

=

x +

t .

x′

Δ(v)

âiäñè,

Δ(v)

ç ñèñòемами à) òà á), îтрима¹мо

З рiвняння д) виплива¹Δ(v) = 1 ,

a11(v) = a22(v) = γ .

2

2

2

a12 = −γv, à ç ¹) −a21 = −vγ/c2. Îòæå,

a12 = γ (1 − v /c ) = 1 i òîìó

v/c2

Для координати

1

v

a11 = a22 =

1 − v2/c2 , a12 = −

1 − v2/c2

, a21 = −

1 − v2/c2 .

p

x

0 = ct,

x

p

p

ðåíü

1 = x, x2 = y, x3 = z матриця перетво-

xα = Lβα(v)x′β набува¹ вигляду

1 0

,

äå

Lβ = 0

0

γ βγ

0

0

α

βγ

γ

0

0

0

0

0

1

128.

.

β = v/c, γ = (1 − β2)−1/2

xα = Lα(v1)x′β = Lα(v1)Lγβ(v2)x′′γ;

β

β

ньо,Матрицiщо симетричнi, тому комутуютьβ . . Легкповинендовести безпосеред-

xα = Lβα(v2)x′β = Lβα(v2)Lγ (v1)x′′γ

лаборатот129. Фро iйñâiòëîβсистемi1+β2 во¨коордсерè÷íî¨à¹òüñ2õâèëi1/2.

бути однаковим в

β =

1−β1β2 à γ = (1 − β )

Oxyz

у системi

r2 = c2t2 ,

(3.65)

рухомо¨

O′x′y′z′, ÿêà ðóõ

я зi швидкiстю v вiдносно не

2

2

2

(3.66)

Перейдемо до координат алiлеяr′ = c

t′ .

ня (3.65) набува¹ вигляду

r = R + vt, t = T . Ò äi ðiâíÿí-

Перетворимоc T 1праву− β −÷ c2

1·

β2

!

2

β2) .

(3.67)

= R + c2(1 ·

2

p

2

R

v

2

(R

v)2

−

−

астину цi¹¨ рiвностi

v)2

p

2

(R

v(R

v)

1

v

2

Räå2+

c2(1

·

β2)

= R2+

v

·

≡

R + α(R · v)

,

−

−

лiву¹нт,таякийправуможначастизíайти,и: розкри-

ваючиα квадратдеякийневiдомийприрiвнюючикоеiц

Якщо тепер ввести

α = v

p1 − β2 − 1! .

1

1

tòî′ =(3T.67)1набува¹− β − c2

1·

β2 , виглядуr ′ = R +

1

β2

− 1!

v2·

,

R

v

1

v(R

v)

p

2

−

−

необхiдно

ãî

p

2

p

r

2

2

′)

. Îòæå,

t′ = γ t − c·

,

c t′ = (

− γvt .

v

r ′ = r + (γ − 1)

v2·

v)

r

v(v

Матриця перетворåíü Лоренца матиме вигляд:

γ

γβ1

1

γβ2

γβ3

γβ1

1 + (γ 1)

(γ 1) β1 2 2

(γ 1) 1 2 3

−

β2

−

β

−

β β

äåLα(v) =

β2

β

2

β

,

γβ

γ

γ

γ

1)

2

1) β

2

1)

2

2

(

−

β

1 + (

(

−

β

2

β

β3β1

−β3β2

β3

γβ3

(γ 1)

2

(γ 1)

2

β2

1 + (γ 1)

2

β2β1

β2β3

−

−

−

β

β

β

0

β2)−1/2

.

βi = vi/c, β = v/c, γ = (1 −

v + up′

′

частинки

u′ sin θ′

1

−

β2

кут мiж вектором швидкостi

tg θ

=

, äå θ′

cos θ

1

тобтоu а швидкiстю v.

заряду,

µ

чотири-потенцiал у власнiй системi

Aµ = Lν A′ν , äå A′µ

132. à)

A′ν = (ϕ, 0), òîìó Aµ = (γϕ, βγϕ, 0, 0).

N = nk ;

102

k

−

s

s

k

−

s (n + s

−

1)!

Ns = n

C

= n

;

в) для антисиметричного за

s!(n

1)!

n+s−1

−

повернень,днаковими

iндексамизначить: рiвнi нулю,a iндексамитомувибiрктензорапроводитьсяелементибеç

Ïðè

Na = nk−a

n!

.

a!(n − a)!

133a. = k = n, Na = 1.

β

β

β

, äå

тензор.Tαβx

рiвнянн

− λgαβ)x

= 0

gαβ

= λgαβx

(Tαβ

метричний

Власнi числа ¹ розв' зками

â ÿííÿ

а кое iцi¹нти цього

нзора

− λgαβ| = 0

ÿ ¹ iíâàðiàíòàìè òdet |Tαβ

à)

Tαβ.

òîìó

4

2

2

2

2

2

2

варiанти тензора будуть

λ

(c B

E ) + c (E

B)

= 0

det Fαβ

−

λgαβ

|

=

−

λ

−

2−

|

2 2

·2

2

à âëàñ

значення

I1 = −E + c B , I2 = c (E · B)

,

äå

λ1 2

= 2

E2 − c2B2 ± ε0 r

!

,

ω2

− c2

1

2

Π2

на135рис. Виберемо.9.Уцiй системiосiнерухомо¨j Eсистеми+ [v, B] .

òàê,

ε0

2

2 2

2

Умова134ω .= Ïойтинга(E + c .B

) густина енергi¨, Π = ε0c [E B] вектор

2

ëî

- àêòî ,

]

γ = (1 − β2)−1/2

åíöγjk =

σEk, j = σγ E + [v, B

,

å

Ak вектор,

äо швидкостi v

,

A

ïåðпендикуляðíèé äî

паралельний

v. Ïðè v/c 1

координат

як вказано

cos2 α =

(E

·

B)2

I

2

I

2

=

103

=

,

(I1 + E2)E2

E2B2

c2E2B2

ис. 9. До задачi 135

Аналогiчноде т

I1

I2 перший i другий iнварiанти електромагнiтного поля.

2

αî,′ =ùî ïðè

I2

= cos2 α

c2E2B2

.

(3.68)

Очевидcos

(c2B2

− E2 + E′2)E2

(I1

+ E′2)E′2

ßêùî

α = π/2 обов'язково i α′

= π/2, îñêiëüêè I2 = 0.

знайти

α′ = π/2стовуючи,згiдно

E′

= E′(e, B, v) i з (3.68) можна

6

ðèñ. 9 i

äëÿ ïî-

жна. Викорзнайт , що

ëÿ ìî

v

перетворення Лоренца

E′2 =E2

γ + (1 − γ2) sin2 θ cos2 ϕ +

2

2

2

2

2

2

2

Пiсля пiдстановкивипадок(3.68) можна знайти

2cEBγ β cos θ sin θ .