electrodynamics / maina5

зачний за a 6 k iндексами; г) симетричний за рiвняння,s антисиметричний

4 Знайтипросторi,значенняозглядаючи. вираззнайдлядлятензоризакхðàонудругогоелектромагнiтноготеристичнеОма ра у як опеполяiнварiан. лянутимат

ричномуа aвласнi135iндексами

òемi, вважаюч

ïðîâiäíiñòü

j = σE у лаборат рнiй сис

â ï äîê

σ скалярною величиною. озг

. Êóòv/c ìiæ1. ве торами

äèí ðiâíèé

B

E у нерухомiй с стемi коор

àòисьдорiвнювавдруг.системаЗякоюкоордишвдкiсàò, щобвипадокiяккутмумiжнапрямкутими самимповпротиннаве

кторамирух

α

6

озгляЗнайтишвиду

iстювiдбиванняα = 0 v E.

Дзеркало рухαà¹òüñ′. ÿ çi

137.

Згiднохвилясистемiсво¹¨ззквантовоюнормалiчастотоюоординат.електродинамiкою.закон у напрямку,плоскасвiтламонохровла

бораторнiйлежномутична

v

ìàñè

γ-кванта, випромiне

нерухомимрелiктовийзбуджим ядро

ÿäðà M , якщо енергiя збудження

власнiй системi

оординат

енергi¹юг) п говуE енергiю реакцi¨

òîí

о,при якiй утвор

¹òüñÿγ + p → p′ + π âçà¹

дi¨ отона з про

π-мезон. Взяти

îòîí ç

îþ4протонаеВ,що вiдповiда¹ мпературi

K.

Âiä ì

ùîE àñà= 3ñïîê.0 10−

T

3

наближмез

ph

·

mp

= 940

π

î

МеВ,атомамаса спокою -

8 mπ = 140силуМеВ,.з якою нерух

å ÿäðî

з зарядом

äi¹

рухомий нейтрон з магнiтниì моментом

Ze

ен я порядк

µn. озглянути

айтимаси ергiю частинок. у сис емi центра iнерцi¨, якщо

.

Çкiнетичну

139мають

v/c

âîíè

стинки з масою

m1

à m2 у ворилися внаслiдок розпадуча

M . Вихенергiюдячи

µ

нейтрино,з цього знайтиутворенихкiнетичнупiсля ен ргiю

мезона. Âiäîìî, ùî

π-

mµ = 105.7 ÌåÂ,31

mν = 0, mπ = 139 ÌåÂ.

0

заряду

днорiдному магнiтно

му полi зЗнайтиiндукцi¹ютра¹кторiю руху релятивiстськармонiчного

осцилято

а з масою1 озглянути рухB . елятивiстського г

0

ðÿäó 2

m власною частотою ω0.

точкового за

e1

м союнапружполi не

ом го точкового заряду

e2

m

åíiñò

заряду

143.ïîëi ç

дн рi ному електри.

чному

ляторiвосциляторiвŸликихктрич7144. МагнiтнаХвилево

E0

тенпостiй

ìó

ñòàë õ

маса осцилятора m, çàðÿ e,

kij

тертя h j , концентрацiя осци-

тертякання;ням;ннямпройшлаiполяризацi¨магнiтного.iдстаньполя;лiнiйно поляризо

омагнiполя;затухвипадки:

площини

iç

ä)ãáà) замагнплазмаiзотроп145тропнiелектромагнiтно¨. З.÷åíàбезайтиосцилязгсциляториплазмаповоротутиногоiзбезполяризацi¨õâèëi,áåç

âàíî¨

n

1

2

2

1

X

U (r) =îëimçω0r +

βijlxixj xl

в електромагнiтному

частотою

2

3

i,j,l

ðÿä

n

ω. Маса осциля ора m, за-

çíàõe

βijk

,

онцентр цiя

. Компоненти тензора

попереднюхвиль задачустотамиувипадку,вважколиасередовищеò малими.

147дитьс. озв'язполiти двох

32

ω1 ò ω2.

148.

Знайти тензор

пр никностi середовища iз

âç ¹ìîäiþ÷èõ

сциляторiвдiелектрично¨вза¹мовласною частотою

озмiщенiнайближчимиперiодичносусiдамиланцюжках. Маса осциляторавза¹модiютьзарω .закОсциляторионом ук

m,

0

стала мiжмолекулярно¨

äi¨

ÿä e, пружнà

àöiÿ

циляторiв

h, iдбитихiоланцюжк a, êîíö íò

ð

пластинки. З проникнiстьайтихвильпластинкуам.лiтуущенихакомуозв'язатидухвиль,чåðåдозисумовуíå¨ïищiе. Товщинасiйне.вiдрiвнянняпластинкиплоскопарадляелëåëü

¨ìàãíiòíèõ149

n

лектр чна

d, äiå

íя хвильвздовж0 Знайтичерезплоско¨зак

межiдисперсi¨,ε..двоЗнайтихвильдiелектрикiвповерхнево¨найбiльшогохвилi,зпроникностякпошипрохямидженю¹ть-

ñÿ

íiòíåà

B k.

ã

ничну частоту

ε1

ε2 = −|ε2|

електромаг

151ïîëå.

дляак,закщо

б цилiндричний

ñîì

a

b;

жнi з2радiусомозглянути

проникнiстюхвил власнiдiелектричному стри-

електромагнiтнiR.

iдеальних

R

ε

153. Знайтирезонаторах:електромагнiтнедiелектричноюа)прямокутнийполе

з розмiрамичастоти.iноквтаких

iснують

довжиною

a, b

радiу; б)сомцилiндричний

ðàäióñîì R

d; в) с еричний з

c

4 ЗнайтиR.

iлькiсть коливань

нтервалi

стотмалиху прямокутному iдеаль

ому резона орi при високихω, чаякi

ÿ

ìàãíiòîинино¨гiдровiд стдинамiкиацонарногошвидкнаближзначåí

155.ωОтримати.вiдхленьрiвняннясередiзотермiчним,о¨маггус

õó ρ0, малих збу ень маг iтного поля а малих

ñòåé ðó

òî v. Ââàæ

ï îöåñ

рiдину iзобаричною, тоб-

лягрупову.законнабшвидкостiиження,поширеннязалежноотриманiвiд-гiдзадачiорi¹нтдинамiчнихацi¨155.щодоЗнайтхвзовнièëü,¨õ-

òЗнайтивуючи

огову. п

шньвикорисаз156p = p(ρ)

ченняiмайжевваж157аючимал.

B0

Iонiзованам,вiдхиленрозг.прилянутиплазмависокихгустиниоливаннясклч 33стотда¹електронiвахьсяелектронолизелектронiвстиниiонiв,iдаьо¨ст.ацiонарногогуЗваж ючизнайтиякiце-

нерухомi

Частина III

Âêàçiâêè òà ðîçâ'ÿçêè

1. У декартових координатах = i

∂

+ j

∂

+ k

∂

, òîìó

∂y

à)

∂ϕ

∂ϕ

∂ϕ

∂x

∂z

á) grad ϕ =

+ j

+ k

≡ ϕ;

∂x

∂y

∂z

ðiâíîñòi

× r = 0 можна ор ально вважати, що

div A =

∂Ax

+

∂Ay

+

∂Az

;

∂x

∂y

êöiþ,

â)

∂z

i

j

k

;

rot A =

∂

∂

∂

ã)

Ax

Ay

Az

∂x

∂y

∂z

r

векториВих дячиn =

ç

;

3

r

; ¹) 0.

ä)

2

à) òà r паралельнi .

çà

nϕ′; á) n · A′; â)

n A′

де штрихом позначе похiдна

тримуватимемося3 r n = r/r

.а)Пiдкреслюватимемо,. правил мноу женнянавекторiвя у дi¹ оператор.Тдi: набла до-

1

M dV =

(M ( · r) − (M · r)) dV =

2

V

V

1

h( ·

− (M · r) − (r · )M + (M · r)i dV =

=

r)M

2

V

1

= −

([r, [ , M

]] − [r, [ , M ]]) dV =

2

V

Sε малогограничномурадiусаперехíепереε äiðâíi

1

àусса Остроградського

13=. Çãiäíî− [r, [çnтеоремою, M ]] dS + 2

[r, rot M ] dV .

S

V

ÿêùî óíêöiÿ

f (r)n dS =

∂f (r) dV ,

S

∂x

V

ìó îá'¹

f (r) ò ¨¨ ïîõiäíi

скрiзь у замкнено

оточити с V

. ßêùî â òî÷öi

r0 ця умова поруш на, то ¨¨ можна

åðîþ

iнтеграл. Якщо при

безпосереднь обчислити

лежатиме вiд

ε → 0 резуль ат

-

застосувативiд нулятеоремурезуль ату у

правуса Остроградського,частинуε, ормулитотодiвключившиздопомогоюжжнавiдмiнний

а) ормально

δ- óí öi¨ Äiðàêà.

n

1

dS =

grad

dV , àëå êîëè r = 0 V , òî

r

r

S

r

ε→0 S

r

Sε

r

dS = ε→0 V

r

Sε

r2

n

dS = lim

n

dS +

n

lim

grad

1

dV +

r

dS

=

r

π

2π

=

−

lim

(i cos ϕ sin θ + j sin ϕ sin θ + k cos θ)

r3

V

dV + ε 0

0

0

×

→

×будьОскiлькиε s -nÿêèõθ dθëiâidзначенняхϕ ==частини−

r

dVðàçiâ.

ðiâíi, òî ðiâíi é ïðàâi, òîìó ïðè

r3

V

то б) аналогiчно а) ма¹мо

n·3r dS =

div

r

dV , алеункцiяоли r

V ,

3

S

r

V

r

n

r

n

r

dS

π 2π

îòæå

lim

+

= lim

dθ dϕ = 4π ,

r·3

dS =

r·3 dS

r2

S

ε→0 S

−

Sε

Sε

ε→0 0 0

;

r

òîìó

div

dV = 4π =

4πδ(r) dV , äå δ(r) δ-

Äiðàêà,

3

V

r

V

r/r3

â) div

= δ(r) ïðè áóäü-ÿêèõ r;

ã)

1

1

r

r

= div r3 = −4πδ(r)

= div grad r

grad

a · r

=

a − 3n(a · n)

+ 4π

a

δ(r); ä) div n =

2

å)

r3

r3

3

r

eikr

1

1

1

eikr

= eikr

+ 2 eikr

·

+ eikr

= −4πδ(r) − k2

;

æ)

r

r

r

r

r

15. а) Домножимо. iнтеграл на сталий вектор

−4πδ(r

− r0)

a, òîäi

îòæåϕ(a·τ ) dl =

n· rot (aϕ) dS =

n[ grad ϕ, a] dS = a· [n, grad ϕ] ,

L

S

S

S

á)

ϕτ dl =

[n, grad ϕ] dS, äå n нормаль до S;

â)

(n div A − grad (n · A)) dS;

S

ã)

S

n · rot A dS;

в)дi¹ оператор похiдно¨.

, де пiдкресленi ункцi¨,

íà16ÿêi. S

[a, r], rot A + grad

A · [r, n]

ã)

r2 + r′2 − 2rr′ cos(ϕ − ϕ′) + (z − z′)2

1/2;

2

2

−

′))

1/2, величину

cos

′

−

′

′

r +r′ +2rr′(cos θ cos θ′+sin θ sin θ′ cos(

ϕ

ϕ

с17еричногоα. Використову¹мо= cos θêóòàcos θ. + sinозначенняθ sin θ cos(îðòàϕ

ϕ ) називають косинусом

ei =

∂r

.

38

∂qi

à) er =

∂r

= i sin θ cos ϕ + j sin θ sin ϕ + k cos θ,

∂r

äðiá r′/r:

eθ =

∂r

=

∂r

= i cos θ cos ϕ + j cos θ sin ϕ − k sin θ,

∂lθ

r∂θ

eθ =á)

∂r

=

∂r

= −i sin ϕ + j cos ϕ;

∂lϕ

r sin θ∂θ

er =

∂r

=

cos ϕ + j sin ϕ,

∂r

∂r

eϕ =

∂r

= k

∂rϕ

= −i sin ϕ + j cos ϕ ez = ∂z

18. Âèäiëèìî

,

.

1

=

1

=

r ′

r

p

r2 + r 2