Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

electrodynamics / maina5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

1.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

40. Функцiя рiна для областi r, r ′ V

задовольня¹ рiвняння

з граничною умовою′GÄiðiõëå(r r ′) =

−

4πδ(r

−

r ′)

очевидний

−

′) r ′

= 0. îçâ'ÿçîê (3.6)

G(r, r

äå óíêöiÿ

G(r, r ′) =

+ F (r, r ′) ,

|r − r ′

(потенцiал

′

r, r ′) задовольня¹ рiвняння Лапласа

з граничними умовами

F (r, r ′

= 0

r ′ S .

озв'язком рiвнянняF (r, r

′)|r ′ S = −

r ′

Лапласа в областi1

| −

öiþ

заряду-зображення)

V можна взяти унк-

äå

F (r − r ′) =

−

d(r

′

)

à d(r) деякала ункцiянабуваютьr ака, що завжди d 6 V ïðè r V

óìîâc граничнiдеякумовист

. Функцiю d(r) i сталу визначають з граничних

òîäi

dумовиV . У акому випадкувиглядувибира¹мо площину z = 0,

Îñêiëüêè

′

−

′ −

′

− z

1/2

dx) + (y

dy ) + (z

d )

= −

′

(x′ − x)2

+ (y′ − y)2 + (z′ − z)2

1/2

′

−

1, d

Враховуючиx таумовуy äîâiëüíi, òî c =

= x, d = y òà d

d 6 V ìà¹ìî dz = −z. Îòæå óíêöiÿ ðiíà

В областi

G(r, r ′) =

−

|r − r ′|

|r − r ′ + 2kz|

z < 0,

′G1(r, r ′) = 051, G(r, r ′) = 0;

à) çà îðìóëîþ ðiíà

ϕ(r)

У цьому

òîìó

ρ(r ′) G(r, r ′) dV

′+

4πε0

+â

G(r, r

′)

∂ϕS (∂r ′)

− ϕS (r ′)

∂G(r, r ′)

dS′ .

4π S(V )

n′

∂n′

èïàäêó

ρ(r) = eδ(r − kl), ϕS = 0, G(r, r ′)|r ′ S = 0,

ϕ(r) = 4πε0 V

r r ′ −

r r ′1

2kz dV ′ =

−

| − −

= 4πε0 |r − kl|

− |r + kl| .

устина iндуковàíîãî поверхневого заряду

∂ϕ

î÷åâèäíî,

σiná)= −ε0 ∂n (x, y, 0) = −2π(x2 + y2 + l2)3/2 , qin = σin dS = −e ;

Îñêiëüêèϕ(r) = 4πε0

|r − kl| − |r + kl|

− 4π S

∂n′

′

)

dS′ .

∂G(r, r

òî

∂G∂n′

′ r ′ S =

x)2 + (y′

y)2 + (z′

z)2 3/2 ,

(x′

(r, r

)

−

+ V .

устина зарядуϕ(r) =

4πε

|r − kl|

−

|r + kl|

41. Аналогiчноσin(x, y)

qin

задачi

одержимотi самi.

де беремо

G(r, r ′) =

+ F (r, r

′) ,

|r − r ′|

F (r, r ′) =

,52причому |d(r)| > R. Iз граничних

′ −

d(r)

óìîâ

держу¹мо:

жливо,

1/2

= −√ 2

Öÿ ðiâí

iсть справедлива при всiõ

R + d (r)

−

d(r)

R + r − 2r · R

ìî

êîëè

R, r òà d ïðè d2 > R2, ùî

d kr. Тепер

+ r

− 2rR cos α) = (R

що за умовиc (R

+ d − 2dR cos α) ,

d2 > R2 можливо, коли

Öå äà¹

c2R2 = d2

òà

c2r2 = R2 .

c = −R/r i d = R2/r > R. Îòæå d = (R2/r2)r, à

R/r

а) за ормулоюG(r, r ′ðiíà,) = позначивши

− (R2

− r ′| −

|r ′

/r2)r|

ϕ(r) = 4πε0

ρ(r) = eδ(r − d), äå d < R:

δ(r ′ − d) |r − r ′| − |r ′ − rR2

/r2| dV ′ =

R/r

= 4πε0

|d − r| −

|d − rR2/r2| =

R/r

= 4πε0 r 1 d −

dr2 RrrR2

= 4πε0

− |

−

|r − d| −

√d2r4 + r2R4 − 2r3R2d cos α

устина зар= 4πε0	r	d
e		1
ÿäó i повний
	\|	− \|
∂ϕ
аналогi÷íî:
á)σin = −ε0 ∂n	(R) = −

ϕ(r) =

4πε0

− \|r − d R2	/d2	\| .
заряд R/d


e	R2 − d2	, q		= σ			dS =	−	e ;
	R2 − d2	, q	in	= σ		in	dS =		e ;
4πR \|R − d \|3			in		S	in
\|r − l53\| − \|r − lR2/l2\| + V .
1		R/l

в) аналогiчно:

p (r

1 R p

(rR2/r2

−

рiю43.вздовжЗгiдноϕ(знапрямкуrпринципом) = · −

зарядсуперпо-центрçèöiñ ¨,åçриважаючи на осьову симет-

4πε0 |r

− l|3

−

4πε0

r |rR2/r2 − l|3

∞ a

Оскiльки поблизуϕ(r) ñ=

åðè, êîëè

P (cos θ) .

| −

4πε0 r

l=0

r < d справедливо

∞ a

то гранична умова

P (cos θ) .

−

l=0

ϕ(r) = V ïðè r < d набува¹ вигляду:

Çâiäñè

∞

# Pl(cos θ) = V .

4πε0 d

Rl+1

l=0

R2l+1

Îòæå

a0 = V R −

al = −

4πε0d

4πε0

dl+1

∞

V R

i îñêiëüêèϕ(r) =

−

l=0

Pl(cos θ) +

4πε0 r

−

4πε0 dr

, òî

= rR2/r2 àáî R2

= dR2/d2

πε0 V R − qRd . Характер-

но, що iндукований зарядq =

σ dS = 4

qR/d

V R

устина поверхневого заряду

r .

ϕ(r) =

4πε0

− d|

− 4πε0|r − dR2/d2| +

∂ϕ

Повнийσ(R) заряд= ε íà (ñR)å=i

d −

+ σ

(R) .

−

∂n

−

πε0 |R − d|3

≡ R

qin = −qR/r менший за величиною вiд

заданого, на вiдмiну вiд результату задачi 41, a).

44. озклад за полiномами Лежандра:

ϕ(r) =

∞ a rlP (cos θ) , ïðè

r < R

l l

l=0

ïîñòiéíå ïîëå

∞

ïðè

Çîâíiøí¹ϕ(r) = −E0rP1(cos θ) + l=0

rl+1

Pl(cos θ) ,

r > R .

E0kk, тому його потенцiал

На поверхнi потенцiал неперервний i рiвний нулю. Тому:

ϕext

(r) = −E0z = −E0r cos

θ = −E0rP1

(cos θ) .

∞

alRlPl(cos θ) = −E0RP1(cos θ) +

Rl+1

Pl (cos θ) = 0 ,

l=0

al = 0, bl = 0 ïðè l 6= 0, b1 = E0R3. Òîìó

ϕ(r) = 0 ,

r ≤ RR3

−r +

r2 cos θ ,

R ,

ϕ(r) = E0

Усерединiполемзспотенери öiàëпотенцiалом сталий. Зовнi вiн створю¹ться зов-

∂ϕ

íiøíiì45.

σin = −ε0 ∂n

(R) = 3ε0E0 cos θ ,

q n = 0 .

∞

X X

i зарядом, iндукованим на с ерi:

ϕext =

AlmrlPl|m|(cos θ)eimχ

l=0 m=−l

∞

|m|

imχ

В обох розкладах кое iцi¹нти

X X

ϕsph(r) =

Blm

rl+1

Pl (cos θ)e .

l=0 m=−l

нично¨ умови

Alm òà Blm ¹ комплексними. З гра-

ðîçâ'ÿçîê:

ϕ(r) = ϕext(r) + ϕsph(r) = V при r = R одержу¹мо

2l+1

+ V Rδl0 .

Blm = −AlmR55

Îòæå, ïðè r > R потенцiал системи ма¹ вигляд

V R

∞

l AlmRl "

−

l+1

àϕïðè(r

+ l=0 m=

−

# Pl|m|(cos θ)eimχ ,

X X

46ункцi¨. Згiднорiна, з дляметоäоминичного.дзеркальнихзаряду

îчбражункцiяьдля побудови

6 R

ϕ(r) = V

åêâiïîiäåíöiàëü

äè

ê, ùîá ÿêàñü

r ′

пiдбира¹мо заря-

точках r

поверхня всi¹¨

системи çàðядiв збiгалася

äàíîþ

çàäà÷i поверхнею.

а) доозначимо заряд q1 ó òî÷öi r1. Òîäi

ðiíà

G(röi¹¨, r

′системи) = 1

Îñêiëüêèцiальна поверхняпотенцiал

|r − r ′|

|r − r1|

ϕ(r)=

G(r, r ′), то еквiпотен-

4πε0

àáî

r′

ϕ(r) = 0 опису¹тьсякщорiвнянням

−

| −

r′) + r

r′

= 0 .

Це рiвнянняr

задаватиме(1 q ) 2rплощину,(r q

1 −

− 1

−

= 1:

− r′

= −2(r1 − r ′) · r −

r1 + r′

= 0 .

що нормаль

(3.8)

Видно,−2r · (r1

− r ′) + r1

якийадiусз'¹дну¹-векторомзаряд ального,сама

площина

проходить

через

точку

ç,

n до площини паралельна вiдрiзку r1

− r ′

çàã

рiвняння, як

îùåæèнить посерединi вказа-

íîãî âiäðiçê . Iç r ′

= (r1 + r

′)/2

ðiвняння (3.8)

виплива¹:

n · (r − r ) =

âiäêè

r1 − r ′ = αn ,

r =

r1 + r

′

(3.9)

арядуВiдкинувшидо площинистороннiй., де розв'язок

вiдстань вiд¹модиничного

= r ′

−2dn

d = n·(r

′

−r )

. ßêùî(3.10)

q1 = +1, одержу

Отже, уявний зарядG(r, r ′) öå= вiдобраæåння дiйсногоористовуплощинi.

|r − r ′|

−

|r + r ′

+ 2nd|

вибира¹моi ,площинито(3.10) збiгатиметься з резуль

n =á)k

n·r

= 0

атами задачi 40;

z = 056x = 0 i âèê

¹мо поперед-

iй результат. У першiй

та запису¹мо ункцiþ ðiíà

îñêiëüêèííÿ

G(r, r ′) = площинiбуду¹мо дзеркальне, вiдображе-

−

вiдображ

− r ′ + 2nd|

(3.11)

− r ′|

− |r

обох зарядiв. Уi другiйтодiрезультуюча ункцiя рiна буде

d = z′

G(r, r ′) =

|r − r ′|

−

|r − r ′ + 2ix′|

−

|r − r ′ + 2kz′|

−

площинахдзеркальнi

åííÿ

нових положень зарядiв не да-

ють;Наступнiв)

− r

r ′

+ 2 x′ + 2kz′ .

r = 0

z = 0, n1 = k, n1 · r1 = 0 z = d, n2 = −k,

ðèñ.

дзеркально исвiдобража¹мо. 1. До задачi заряд46, в) i уявнi заряди (див.

Просумувавши,

одержу¹мо

∞

áóäåGã)(rñiç, råðîþ′) = n=−∞

|r − r ′ + 2dnk| −

|r − r ′ + 2dnk + 2z′k| ;

ормулирадiуса(3.7) виплива¹, що еквiпотенцiальна поверхня

R з центром у точцi 0, ÿêùî:

Çâiäñè

( (q12r′2 − r12)/(1 − q12) = R2 .

r1 − q12r ′

= 0 ,

r = q2r ′, q12 = R2/r′2. 57Вiдкинувши стороннiй розв'язок

q1 > 0, отрима¹мо:

(3.12)

R/r′

щод)збiга¹тьсязгiдно з зрисGрезультатом(r.,2r i′)результ= çàмидачiзадач41; à) òà ã) îдержу¹мо:,

|r − r

′|

− |r − r ′R2/r′2|

(3.13)

G(r, r ′) =

|r − r ′| − |r − r ′ + 2kd|−

R/r′

−

|r − r ′R2/r′2| + |r − r ′R2/r′2| + 2kdR2/r′2 ;

ис. 2. До задачi 46, д)

¹мо дзерк

¹) згiдно з рис. 3 i резуль атами задачi г) бу

вiдображматиме åнняличинузаряду. Тодi k-òе зображення заряäó в першiй сальнiер

e1,k

вiдстань вiд центра r1,k =

R22

Аналогiчно для зображення в другiй с ерi

r2,k−1

r2,k = R22/r1,k−1. Çâiäñè:

e2,k = −R2e1,k−1/r2,k−1

e1,k = e1,k−2(R1/R2) , e2,k = e2,k−2(R2/R1) ,

щобiпершогознайти зображеньвсiзображенняв обохтребас ерахзнайти. Длявсiнихпараметри ну-

Отже,льового

r1,k = r1,k−2(R1/R2)

r2,k = r2,k−2(R2

/R1) .

e1,0 = e2,0 = +1 , r1,0 = r2,0 = r′ ,

−

/r′, e

−

/r′58, r

1,1

= R2/r′ , r

2,1

= R2/r′ .

1,1

2,1

Тодi одержу¹мо:

ис. 3. До задачi 46, ¹)

e1,2,n =(R1/R2)n ,

e1,2n+1 = − R1(R1/R2)n/r′ ,

e2,2n =(R2/R1)n ,

e2,2n+1 = − R2(R2/r1)n/r′ ,

r1,2n =r′(R1/R2)2n ,

r1,2n+1 =R12(R1/R2)2n/r′ ,

r2,2n

=(R2

r′ ,

r2,2n+1

/r′ .

/R1)

=R2(R2/R1)

Пiсля пiдстановки i перетворень одержу¹мо:

G(r, r ′) =

|r − r ′|

∞

(R1/R2)

(R2/R1)

+ n=0

−

r′

R12

r′

R21

−

′

r 2

−

′

r 2

′

∞

(R1/R2)

(R2/R1)

−

n=0

r′

R12

r′

R21

′

+47. à)

−

r 2

−

r 2

′

â)

4π

; á)

;

P =

σ0R

= p

ã)

Dij

= Diδij

, äå Dx

= e

(2a592

;

c2),

c2), Dy = e (2b2

Dαβ = 3 3(Aαβ − Aβα) − 2Aσσ δαβ

−

Dz ä)=

невiдомий

4π

ϕ(r). Звiдси одержу¹мо

5 (2c2 − a2 − b2), e = 3 abcρ0;

2 .

48. à)

= D δij , äå D1

Dij

= D2 = −36ea , D3

= 72ea

á)

ρ(r) = 8aε0 cos θ ïðè r < R, òà 0 ïðè r > R;

ρ(r) = q δ(r) −

α2

q exp(−αr);

4πr

49.

øóêà¹ìî

виглядi .

ρiâ(r)ÿííÿ= q δ(r) −

πa3

q exp(−2r/a)

δ(r)

, äå ˆ

якийсь

вираз, залежний ϕâiä+ L(ϕ) = −q

ε0

L(ϕ)

ϕ −

ϕ = −

δ(r) .

ε0

1 à) W = −

; á) W = −

4πε0a

9πε0a

3Q2

4π

W =

, Q =

ρ0R3; á) W =

, Q = 4πσ.

4πε0

F =

p − 3n(p · n) N =

[p, n], äå n = r/r,

4πε0r3

4πε0 r2

53.радiусВiдповiдь:-вектор диполя,

у початку координат.

∂2E(r)

F (r) = QE(r) + (p · )E(r) +

Dαβ

∂xα ∂xβ

∂Eγ(r)

äå N (r) = εαβγeαpβEγ(r) + (p · )E(r) +

εαβγeαDβσ

∂xσ

iñòþ

нтисиметричний тензор Левi-Чивiта,

eα

чi 40,координат.

артово¨ системи

Аналогiчно

îðòè54. äåê

εαβγ

z′ > 0. раниць у зада

G(r, r ′) = −4πδ(r − r ′), причому

íåìà¹,

мiсцi розриву ε справедливо:

Îñêiëüêè

(∂ϕ

∂ϕ− 0)

ϕ x, y, 0 + 0) =

ϕ(x, y, 0

ε1

(x, y, 0 + 0) = ε2

(x, y, 0 − 0) .

∂z

, то це приводить до

ϕ(r) =

ρ(r ′)G(r, r ′) dV ′

4πεε0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке electrodynamics

#
19.03.2015707.19 Кб24Classical Electrodynamics for Undergraduates - H. Norbury.pdf
#
19.03.20151.02 Mб91Companion to J.D. Jackson's Classical Electrodynamics 3rd ed. - R. Magyar.pdf
#
19.03.2015965.11 Кб43Electromagnetic Field Theory - Bo Thide.pdf
#
19.03.20151.02 Mб30maina5.pdf
#
19.03.2015439.45 Кб50metodychka2010_.pdf
#
19.03.2015265.22 Кб36zadachi-1.doc
#
19.03.201519.05 Mб33Иродов - Основные законы электромагнетизма.pdf