electrodynamics / maina5

ωl

дипольногкостi арм нiквипромiнювання, як можлива тiльки для скi чено¨ кi ь-

kl d =

c

d 1

l, то кутовий розподiлма¹виглядiнтенс

вностi

dIl

e. ä.

(lω)4

pl2

2

а повна iнтенсивнiсòü випромiíþâàííÿ

да¹ться виразом: (1.43)

dΩ

=

(4π)2

2ε0c3 sin

θ ,

äå

Il =

(lω)4pl2

,

(1.44)

12πε0 c3

ëà.pÓ=випадку,rρ (rê)îëèdV дипольнийl-тa гармонiкiнтенсивностiмомемагдипольногоiтнстемимоментуелектричнийдже

l

V

l

магнiтногоp = 0, требадипольва-

ногоквадрупохувативипромiнювання:бiëьш.Кутвис кiвиймурозподiтипо я:

é

випромiнюваннядiл. .

(lω)4 ml2

dIl

2

äå

=

sin

θ

,

(1.45)

dΩ

(4π)22ε0 c5

польногом менту. 1Кутовий розпо

l

-iнтенсивностiтaгармонiка магнiелектричногодипольногоквадру-

ml =

2

V [r, jl(r)] dV

dIl

системи.кв.

(lω)6

2

äå

=

[n, Ql]

,

(1.46)

dΩ

9

·

27π3ε0c5

рупольногоn = r/r , моментуQl = einj (Qij )l , (Qij )l

гармонiка тензора квад-

l-òà

1)Основнiшви к стьлож ння спецiально¨(Q òåîði¨) =

ρ

(r′)(3x′ x′

2

Ейнштейнаr′ δ ) dV .:

ij

l

l

j

−

ij

V

íñâiòëà

ерелальнихiдорiвню¹систе-

ìàõ âiä

iêó, c å залежитьувакуумiвiдпостiйнашвидк

óñiõäæiíåðöi

c = 2.99793 · 108ì/ñ;

11

вiдносностi

ω

(1.55)

iвняння Максвелла набуваютьk = c , k .

µ

вигляду

∂F µν

jµ

äå

νF µν ≡

= −

, εµνσρ νF σρ = 0

56)

∂xν

ε0c

го рангуповнiстюiззначеннямантисиметричний тензор Левi-Чипарноюiтчетвперес

εµνσρ

òан вкою можна звести до зростаючо¨, колипослiдовностi,iндекси

-

εµνσρ

= 1

êîли ¹ днаковi iндекси,

εµνσρ = 0,

для потенцiалiв при

алiбровцi Лоренцау решти випадкiв. iвняння

εµνσβ

= −1

µAµ = 0 мають вигляд:

µ

ν

jν

iмпульсуруху можна

використовувати у (1ормi.57)

рiвняньелятивiстськiНьютонарiвняннядля4- µA =

ε0c .

äå

dpµ

= F µ ,

(1.58)

dτ

íà dτòiëî=ìàñèdt/γ, F µ =

F класична сила, що дi¹

γ(v · F )/c, γF

,

елятивiстськm. ìà¹óíêöiÿ

Лагранжа для частинки

магнiтному полi

вигляд

m в електро-

релятивiстськальненийL =óíêöiÿ−mc p

+ ev · A − eϕ ,

1 − β

2

2

59)

амiльтона:

муАтомиPполi узагполяризуюсуцiльного

p

елек ромагнiтно

äå

H =

m2c4 + c2(P − eA)2 + eϕ ,

(1.60)

àстинкизаданихв зовнiшнь.ому

ñя,ередовищiмпульстомудоч

зацiйнi заряди т

òðóìè

ρ

j додаюòься поляри-

намагнiчення

∂P

1)

(E, B) ,

j = ∂t

(E, B)

i струми

ρn

= − div P

jµ = rot13M (E, B) ,

(1.62)

середовищà çàjnpóìîâ:(E B)

можна обчислити, зад вши певну модель

деелектромагнiтнихa ередня вiдстань мiж атомами середовища, λ довжина(1.63)

ктричнаногоДляполяописуiндватомiкцiяелектромагнiтного.хвиль, Eат полясереднявсередовищiнапруженiстьвводитьсяелектрич-

аолярвiльнiзацi¨зарядисередовища,створюють струми провiдностi jnp (E, B) . Вектор

й омент

Pà(Eвектор, B) вводиться як питомий електрич

a λ , |E| |Eàò |

(äëÿ

овищаρçîâ ,.jДлязов лiнiйнихгустинасередовищзарядiвiзовструмiв,

ùîäî äî ñåðå-

D напруженiсть магнiтного поля H

i

вигляду

iзоляторiв):(1.64)

òîäiDрiвняння(r, t) = ε0МаксвеллаE + P (E, Bнабувають) , B = µ0

(H + M E,

H))

(1.65)

ñòåé,κ

ij

,

σik

ïð

âî α j

∂D

ìàãíiòíî¨

iвняння

rot H = ∂t

+ j

div B = 0 ,

алярами,

∂B

å

rot E = −

∂t

, div D =çîâíiøíiõρ ,

P (E, B) = ε0αij Ej M (E, H) = κij Hj , j

(E, H) = σikE(1k.66),

íè ñòàютьакожскпровiдностiтензоримагнiтостдiелектрично¨вiповiдно.Длята iзотропнихсприйнятлисередовищ-

äå

ε = 1 + α електроаµ = 1-+ κ

D = ε0εE, B = µ0µH, j = σE,

атикичнамаютьiмагнiтнавиглядпроникностi.

div D = ρñò ,

rot H = jñò ,

(1.67)

div B = 0 ,

rot E

= 0 ,

B

зiстаютьсталимипотенцiалидiбними до (1.7) у

M (E, H)

D

=

ε0E

+ P (E, B)

H =

µ0 −

ëiíiéíèõ içîòропних середовищах

àáî

ε

µна. Окрiмпевнихρстплощинах,i14jст можутьтобто

рiвняннязадаватисяПуассоназаряди

ϕ = − ε0ε

буде мати граничнi умови:

(1.68)

ρñò

∂ϕ(r)

(çàäà

ϕ r)|r S = ϕs(rs) (IIгранична умова)

Неймана)ничн(вiдп

∂n

r

S = ρs(rs)

о¨ задачiпершо¨(задачiгра-

ðiíà

îçâ'ÿçîê

друго¨ункцi¨гранич.

Неймана)i

î¨вiдно,задачзнахумовиi димочiДiрiхлезаДiрiхле)допомогоюта

çìiííèõ,

G(r, r′)

ϕ(r) =

ρñò (r′)G(r, r′) dV ′+

V

S 4π G(r, r′) ∂n (r′) − ϕ(r′)

∂n′ (r, r′) dS .

+

1

∂ϕ

∂G

Задача Дiрiхле дëÿ óíêöi¨ ðiíà:

(1.69)

кiзаземленихмуображень,розв'язу¹тьсумовиНавипадкумежiнеперервостiперетворенняроздiленняпровiдникiвопису¹методами′G(r, rпотенцiал′)ïîëiâ:=двох.вiдокремленняФур'¹4πδдiелектрикiв(àáîrдиничногочисельноr′) , Gмають(òî÷ê.rФункцiяr ового)викдзеркальних= 0нуватисьзарядурiна(1цьо.вiддля70)та

−

−

s

-

струмiв,пов

ñóöiëü

iвизповерхневихкоординатПоширенняаа¹тьстензоразарядiв¨хелектрбуäîдiемагнiтнихектрично¨якобумовлю¹зовнiшнiххвиâîþ, проникностiь щодозалежнiстьповсередоих, повсередовищахвiд частотигустина.

j

∂D

можна з стос

ти азiстацiонарне наб

n(D1 − D2) =

σ

[n, (E1

− E2)] = 0 ,

(1.71)

äå

n(B1 − B2) = 0

[n, (H1 − H2)] = ïîâ ,

n вектор нормалi до межi роздiлення, σ

(1.72)

граУичнимивипадкуу овами для полiв.

εij (ω, r),

àê æ

íëèêiâæ

i

| |

∂t

вигляду для провiд-

óìîâàютьвикону¹тьс

магнiтногоМакполясвелла. Цянабу

томудлярiвняння

rot H = σE ,

div B = 0 ,

rot E = −

∂B

15,

div D = 0 .

∂t

У цьому наближеннi поле в провiдниках опису¹ться правилами

äîðiâíþ¹21)Êiðсумахго всiха:падiньсумiструмiввсiхнапре. ó.гисбудь. ць

-якомувсiхконтуруелементахвузлi. дорiвню¹замкненогонулю; контуру

Енергiя квазiстацiонарного

ìàгнiтного поля

êïðè 6= k

îå iöi¹íò

-ìóiндукцi¨,онтурi.

= k

àìè

äå

I

струм

,

3)

Wm = 1 LikIiIk

2

î¹ iöi¹íò квазiстваютьсяóíêöiÿсамоiндукцi¨: ами вза¹м

ïðîâiäíèêiâà ïðè . Ïðè

G(r r′) ðiíà äëÿ äàíî¨ ñèñ å

6= j величини C j

µ

îå iöi¹íò

Lik =

j (r′)jk

(r′′) dV ′dV ′′

à ïðèìàãíiòíî¨називаютьсäèíàìiêè

àìвигелектростатично¨

iндукцi¨,iвняння

4πI Ik

V

|r′ − r′′|

ëÿä

= j гiдрокоеiцi¹нтами мають¹мностi.

(1.74)

1

∂2G(r , rj )

(1.75)

а ЕнергiяW = C

ϕ ϕацiонарного, äå C

електричного поля

dS

,

ij

=

dS

i

j

l

2

j

ij

∂n ∂nj

∂ρ

∂B

1

+ div ρv

= 0 ,

=

B + rot [v, B] ,

∂t

∂t

µ0σ

äå ρ ∂t

àëîþ,

v + ξ div v

+ µ0

[ rot B, B(1].76),

+ (v · )v = − p + ν

∂v

1

1

j

рiвняннямтемпературиЯкщо ст.анутураjðå÷=íåîâ¹ инистrot Bi рiвнянн16системуE = ÿì,+(1[ÿêå.B76), vопису¹потрiбно] . закондоповнити(1змiн.77)

µ

σ

ä)

grad f (r); á) div A(r); â)

rot A(r). Îá÷

ã) grad r;

ëа?вiд,вказанiдевластивостiзадачi. Що 1можнаа),оператораб)сказатив) похiднi,про якщонапрямокун

вектораункцi¨2divзалежатьОбчисr;наб¹)ористовуючиrot r r = |r|

õiä3. першогоВик порядку:r = |r|.a)

набла, знайти по-

ã)

grad (f ϕ); á)

div (Aϕ); â)

rot (Aϕ);

div [Aâiä, B]; ä)

rot [A, B]; ¹)

grad (A · B), ÿêùî ϕ f , A i B

4 озв'язатиr.

задачу 3, якщо

à) 5. Обчислити вирази:

ϕ, f , A i B óíêöi¨ âiä r = |r|.

á

grad (rα), grad (a · r),

grad

(a · r)/r3 ,

grad eik·r, grad (eikr /r);

div (rϕ(r)),

div (arα),

div n, div (r/r

, div [набла,a r]

α

rot rot A; ã)

rot grad ϕ; ä)

grad div A; ¹)

A; æ)

ϕ, äå ϕ i

â) div [a, r/rα],

div (aeikr),

div (ae kr /r);

aeikr/r

rot (rϕ(r)),

rot (rϕ(r)),

rot [a, r/r3], rot aeik·r rot

ã)

;

(a · )r, [a, ] · r, [a ], r

2

a( · r − (a · r)

,17

,

де сталими ¹ всi величини крiм

r = | |

=

−

уявна одиниця. Вважати, що

r,

r

i n

r/r

i = √

1

зв'язок6. Використовуючимiжпохiднимидругоговластивостirпорядку:6= 0 .оператораа)

встановити

â)

div grad ϕ; á) div rot A;

A óíêöi¨ âiä r.

á)

êùî óíêöi¨÷ó 6 ϕ, fõiäíi,óAкцiй,залежатьзалежнихвiд râiä.

Δ(ϕf )

Δ(9. Aϕ),

0

Обчислити вк

ïî

ÿêùî

r , ÿêùî r = 0.

â)

e ñòàëi,/r

n

n = r/r

| |

; á)

r

6α;

рештаe величин;г)·

r

êîãî:

ik r

ikr

; ä)

1

r 6= 0 à)

1/r

r

i = √

r = 0

(òóò

); де змiннiОстроградсьi ,

11а). Перетворити, використовуючипричомутеорему . сса

-

−

6

ã) ϕn dS ;

á) A · n dS ;

[A, n] dS ;

S

S

S

äå

r(A · n) dS ;

ä) (r · n)ϕ dS ;

¹) (r · n)A dS ,

S

S

S

ë æèòüϕ i A

еперервнi разом iз сво¨ми похiдними ункцi¨

iä r íà-

íормаль,перетворитидо верхнiб'¹м,обмежений поверхнею

S

, a âектор

познача¹V (S) S V

n

Остроградського12. Використовуючи резульiнтегрSати. задали:чiа)5, г) i теорему аумовасса

¹

grad (1/r ; á) div (r/r3 ;

â) Δ(1/r); ã) div n; ä)

grad (a r)/r3 ;

нути випадок, коли

I =

j(r) dV , розгля-

V

div j(r

= 0, н поверхнi S ма¹ мiсце

ϕτ dl; á)

V

â)

(A · τ ) dl; ã) (r · τ )A dl, äå óíêöi¨

[A, τ ] dl;

e

ikr

/r

1/ r

r0

r

набувати

·

r = 0

|

−

r 6= r0

|

ìîæå

значення

, а в прикладi ж) вваж

.

4

Знайти дивергенцiю вектора

1

div ′A(r

′)

à) 15. Використовуючи теорему Стокса,A(r +ïåðетворити

вирази:

dV .

4π

V

|r − r ′|

L

L

L

L

18

r r ′

|r − r ′| через компоненти

ракихчнiйсистемах.

координат: а) декартовiй; б) цилiнд

è÷íié; â) ñ å

7

Виразити

декартово¨ системи

динат: а) ор-

|

−

|16

с ерично¨через ртис стемивекторамиоординат; часткиб) орти

à) cos θ;

òè

,

,

ö

лiндрично¨e e e

e

e

e

18. озклаñистемитичившиядкоординатТейлора .за степенями

r

ϕ

z

r

θ

ϕ

âr

r

′ −

α

(r′/r

âèð ç

задачiiдповiдьиглядчотирь,черезiпознаормурозв'язокхполiномiвлутидлякутполiномiвмiжЛежандравiд. Виктiлесногочеðиставшиез.кута,Знайтирезуписатиявнийль

19

Вираз ти

через полiноми,

Леж. андра

àêi óíêöi¨:

ϕ, ϕ′ θ òà θ′

2

; ã)

4

2

2

.

залежить;Знайтв)

рiвняння; д) динат;пласа¹)

sin20.θ

cos

θ

sin θ cos θ

sin

θ

sin θ cos

θ

öiÿ

ϕ = 0, ÿ ùî óíê-

á)

ϕ

âiä çìiííî¨: à) x у декартовiй системi

оординат;

221.âñòó.електродинамiкиЕкспериментальнiцилiндричнiйЗаписатиановленняЯк.мiiмальнатеоремузаконусистемiкiлькiстьКулоназаруссакоорзакониуiелектричнихчому?випав)ах,у соли:зареричнiйядiва)поверзнеобхiднаядсистемiзна-

дляŸкоординат2ρ

r

ïõîдитьсверхнi

всерединi поверхнi S; б) заряд знах дитьс

íà гладкiй

з кутом

S; в) заряд знаходиться

вершинi к нiчно¨

õíi S

Лапласаодитьсяу зîðìiâíi

S

.

23. ×îìóα призаконвешинi;Бiо г)Савараяд з

−

4π

L2

r123

äå

dF1 =

µ0I1I2

dl2, [r12, dl1

]

,

dF1

сила, що дi¹ на елемент

dl1

першогоЯконтуру з боку

сього другогоункцiйонтуру,

I1,2

ренцiальнихдля

19теренцiальнихласомсвеллаумневiрний?ункцiй?iнтегральнихрiвняньасилаМаксвеллачитутдинее-

ä Ìàê

широким

âрахована?254шести. Чомуозв'язкисистема¹бiльшяких¹восьмисумiсною?рiвнянь

ã)

ρ(r) = ρ0; á) ρ(r) = αrn, n > −3; â) ρ(r) = 2παρ0r/R;

У рiвномi но.зарядженiй кулi радiуса

ρ30(r.) = σ0

δ(r − R)

R з густиною заряду

ρ0

¹ с ерична понапружжнина радiуса

R1

куцилiндр,чногойпорожниполя сiхдорiвню¹точкхпростору,.якщоЗнайтивiдстаньнапрженiстьмiжцентрамиелект-

плоск

a

, äå

a < R − R1

è задачутовщиноюоб'¹менiстьо¨29,густиниякщоелектричногозамiстьзарядукулiполя.погоннадановсерединiнескi. ченнийiзов

зв'язатзамiстьш

îãî

321. Знайти

ути такi випадки: а)

d з густиною зар ду ρ(z). озгля-

â)

ρ(z) = ρ0; á) ρ(z) = αzn ïðè n > −1;

у безмежному35 Знайти середовищiпотенцiал,. створенийзазакомзарядом, який розподiлений

ρ(z) = σ0

δ(|z| − d/2)

äå

ρ(r) = ρ0 sin ax sin by sin cz,

4,

Виразити, сталi.цiал с ерично симетричного заряду густи

íîþρ0

a b

c

випадокократного iнтеграла. Знайти ви аз для по

ëÿ. ρîçã(r)лянутивиглядi

. Знайтипростiрелектронзгустиноюнеточковоюелектроназарядупричасвосновномуинкрозв'язатиою, якстанiзаповню¹приат мабезв .

межнийдню. Вважати

ρ(r) = ρ

r < R

ρ(r) = 0

r > R

пласат

ρ(r) = −

e

e−2r/a, де констан

a36=.â0Ìåòî.5àêèõ10−

10

( e)

πa

3

·

домсистемахм,вiдокремленняоординат:зар20змiннихелектронаа) декартова;. б) рiвнянняцилiндричнЛа-;

−