electrodynamics / maina5

à)

äîα

2

. Тодi пiдстановка

1

√

2

приводить

ðîçâ'ÿçêó

d = 1 −

> 0

x = d

b + ad + b

cos s

M c

p

d(2π +

ϕ)

незамкнåíà,

ε > 0

√d(ϕ − ϕ0) ,

äå

r =

1 + ε cos

¹ пар метромнiтн

ексцентриситетом орбiти,

1/2

p = d

M

2c2

ε = 1 + d

E2

− m2c4

M 2c2

α2

αE

E2

ií

à i ïðè

√

ϕ0 стала. Приϕ > 1

à iíi

à, àëå

cos

îñêiëüêè

,

.

ε < 1

d(ϕ1,2

−

ϕ0) = 1/ε r → ∞

ðáiòу повернути в ¨¨ площинi

рухом частинкиr(ϕ + 2íàπ)êóò6= r(ϕ). ß ùî

ùî

√

наклада¹ϕ ò èé,

енергiю:, то орбiт буде замкнена. Умова

бмеження на

√

У класичному наближеннi

2

.

E

> mc

d

енергiя системи, причому

c

, E

mc2

+ W , äå W повна

→ ∞2

M

, отрима¹мо:

2

|W | mc

α = 1, p = mα ,

ε = q

1 +

mα2

< 1

2W M 2

В ультра еля ивiстськрарелятивiстськ,щозбiга¹тьсомунаближеннiзвiдомим результатом.

для ексцентðèñèòåò

M c

E mc2

отриму¹мо

âå

ε

орбiти,еорбiтнаближгiперболiчнаення:. Можли-

також iнше уль

α > 1

|W | mc2 òà

ðóõ √

iн iнiтний. Для,приолово¨ .

qE = mc2√d ексцен-

триситет

2

2

d 1

Ò äi

êîëè

m2 c4

M 2c2

< 1

i

mc d E mc

ε 1 − d E2

α2

òîäi r = p = √

.

rϕ˙ =

α

ε = 0

dM 2/αm, а швидкiсть v =

Îñêiëüêè

M

á)

d 1, òî α/M c çâiäêè1 çâiäñè v c;

виглядуd = 1 −

α

2 = 0. Òîäi M = α/c

рiвняння тра¹кторi¨ набува¹

M c

x′(

)

a + bx

,

√

ϕ =

2α/E

птобрехiдочастинкада¹ пада¹r =

в центр

по квадратнiй

ñïiðàëi, . Класичний

(ϕ − ϕ0)2

− + (mc2

/E)2

åíòð;

M = 0, r = 0 i зв диться до падiння частинки на

â)ö

d = 1 −

α

2

≡ −

< 0. 111Тодi замiна змiнно¨ за ормулою

M c

1

b + √

ä๠ðîçâ'ÿçîê

x =

−

b2

−

a

ch s

p

äå

r = −1 + ε ch √Δ(ϕ − ϕ0) ,

1/2

M

2c2

E2

−

m2c4

M 2c2

(придн вiльнихp =

,

ε =

1

−

> 1

α2

αE

E2

ïîâ

î. Якщо виконуEвiдбува¹тьспараметром)я падiннятексцентриситетом орбiти в д

цорбтрíîñòià. Ïðèiíiòíà i

ÿ

> 1 (à

по гiперболiчнiй спiралi2),â

ε

можливо при E < mc

2,

перехiдε < 1 аквiдповiда¹жпадiнняпадiннювiдбува¹тьсянацентрз.нескií

÷143åí . Вiсь. КласичнийE > mc

ùèíi

z на равля¹мо вздовж поля,

рух вiдбува¹ться у пло-

отрима¹мо

dpµ

µ,

Oxz. Òîäi ïiсля першого iнтегрування рiвняння руху

= F

dτ

äå

γmvx = px0 ,

γmvz = pz0 + eEt ,

γ = (1 − β2)−1/2 , β2 = (vx2 + vy2)/c2 ,

px0, pz0 ñòàëi. Çâiäñè

òîìó

β

2

=

px20 + (pz0 + eEt)2

,

2

2

2

+ (pz0

2

m

c

+ px0

+ eEt)

px0

px0

x˙ =

p1 − β2 = c

,

m

m2c2 + px20

+ (pz0 + eEt)2 1/2

Звiдси видно, що при

pz0 + eEt

2 1/2 .

z˙ = c

2 2

2

îäèí ðàç,

m c

+ px0 + (pz0 + eEt)

0. Iнтегруючи

держимо

t

→ ∞

отрима¹мо z˙

→

c, x˙

→

cpx0

2

c

2

2

+ (pz0

+ eEt)

2 1/2

x(t) = x0 +

ln

pz0 + eEt + m

+ px0

,

2

eE

pz0 + m2c2 + px20 + pz20

z(t) = z0

+

c

m2c2 + px2

0 + (pz0 + eEt)2

1/2

eE h

−

2

2

1/2

2

2

нерелятивiстському випадку, коли

Ó − m c + px0

+ pz0

i .

112

c → ∞

à) Λij = δij (ω02 − ω2), äå ω02

k

,

m

= − ωε0δij ω02 − ω2 ,

ïðè

εij =

1 + ω02 − ω2

! ,

σij

ω2

m

провiдник);системi

ω2

z

уздовжΛij = −ω δij +iωεijk

p