5.3 Числовые характеристики случайной величины

Рассмотри числовые характеристики только дискретной случайной величины. С числовыми характеристиками непрерывных случайных величин вы познакомитесь в курсе «Теории вероятностей и математической статистики».

1. Среднее арифметическое. Средним арифметическим значением случайной величины Х называется сумма произведений всех значений x_i этой величины на соответствующие им частости, обозначается и вычисляется по формуле: , где n – общее значение случайной величины, m_i – частоты значения х_i.

2. Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех её значений на соответствующие вероятности р_i:

, где р_i - вероятности значений случайной величины.

Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольшего.

Математическое ожидание, как и среднее арифметическое, характеризует средний уровень значений случайной величины. При решении практических задач часто вместо математического ожидания выступает среднее арифметическое.

Пример:

Определить математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение: При бросании игральной кости случайная величина Х может принимать значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность каждого из этих значений равна . Таким образом, закон распределения случайной величины запишем в таблицу:

xi	1	2	3	4	5	6
pi

М(х) = 1·+2·+3·+4·+5·+6·=.

Математическое ожидание частоты и частости события в серии независимых испытаний:

М (m) = np – математическое ожидание частоты события;

М (m/n) = p – математическое ожидание частоcти события равна вероятности осуществления этого события при единичном испытании, где

n – число испытаний, m – частота наступления события А есть случайная величина, m/n – частость, также случайная величина, p – вероятность события А при единичном испытании.

Пример: Даны две случайные величины их распределением:

xi	-8	10			уi	-4/3	2
рi	0,5	0,5			рi	0,3	0,7

Найдём их математические ожидания:

М(х) = -8·0,5+10· 0,5 = 1; М(у) = - 4/3·0,3 + 2· 0,7= 1.

Поясним геометрически:

-8 0 1 10 х - 4/3 0 1 2 у

(первое распределение) (второе распределение)

Как видно случайные величины, имеющие одно и тоже математическое ожидание, могут вести себя по разному. У одной из них значения оказались более рассеянными по отношению к математическому ожиданию, у второй из них рассеивание значительно меньше. Отсюда следует, что необходимо иметь числовую характеристику, которая служила бы мерой рассеивания, разброса значений случайной величины. Такой числовой характеристикой является дисперсия.

3. Дисперсия. Степень отклонения (разброса) случайной величины от ее математического ожидания (от ожидаемого среднего значения) называется дисперсией и обозначается D(x) или D_x.

Для дискретных случайных величин используются формулы:

1) или D(x) = М(х²) – (М(х))² , дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат её математического ожидания.

2) - дисперсия случайной величины равна сумме квадратов отклонений отдельных значений случайной величины от её математического ожидания, умноженных на вероятность этих значений.

Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Пример: Случайная величина Х подчинена закону распределения

хi	2	3	10
рi	0,1	0,4	0,5

Найти дисперсию.

Решение: Будем находить дисперсию по формуле D(x) = М(х²) – (М(х))².

Сначала найдём математическое ожидание.

М(х)) = 2·0,1+ 3·0,4 + 10·0,5 = 6,4.

Далее найдём математическое ожидание квадрата случайной величины. М(х²) = 2²·0,1+ 3²·0,4 + 10²·0,5 = 54;

D(x) = М(х²) – (М(х))² = 54-6,4² = 13,04.

Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.

4. Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение). Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением и обозначается σ(х).

Дисперсия и стандартное отклонение характеризуют изменчивость (вариативность) случайной величины. Чем сильнее случайная величина отклоняется от своего математического ожидания, тем больше величины D(x) и σ(х).

Пример: Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

хi	0	1	2	3
рi	0,216	0,432	0,288	0,064

Найти дисперсию и стандартное отклонение.

Решение: М (х) = 0·0,216+1·0,432+2·0,288+3·0,064=1,2;

М (х²) = 0·0,216 +1²·0,432 + 2²·0,288 + 3²·0,064 = 2,16;

D(x) = М(х²) – (М(х))² = 2,16 – 1,2² = 0,72;

σ(х) = = = 0,84.