5.2. Виды распределений

Вид функций F(x), р(х), или перечисление р(х_i) называют законом распределения случайной величины.

Можно представить себе бесконечное разнообразие случайных величин, но законов распределения гораздо меньше. Во-первых, различные случайные величины могут иметь совершенно одинаковые законы распределения. Например: пусть y принимает всего 2 значения 1 и -1 с вероятностями 0,5; величина z = -y имеет точно такой же закон распределения. Во-вторых, очень часто случайные величины имеют подобные законы распределения, т.е., например, р(х) для них выражается формулами одинакового вида, отличающимися только одной или несколькими постоянными. Эти постоянные называются параметрами распределения.

Рассмотрим несколько наиболее типичных законов. Важно обратить внимание на условия, в которых они возникают, параметры и свойства этих распределений.

1. Равномерное распределение.

Равномерным называют распределение случайной величины, которая может принимать любые значения в интервале (a; b), причем вероятность попадания ее в любой отрезок внутри (a; b) пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения, а вероятность значений вне (a; b) равна 0.

2. Нормальное (гауссово) распределение.

График нормального распределения представляет собой симметричную колоколообразную кривую. Строгая нормальная кривая является математической абстракцией. Эмпирические кривые обычно несколько отличаются от идеального случая. Но, поскольку распределение оценок многих педагогических и психологических тестов представляется именно формой нормальной кривой, прежде чем проводить вычисления после сбора первичного материала, педагогу-исследователю необходимо проверить полученные данные на соответствие нормальному распределению.

Для такой проверки существуют специальные методики. В первом приближении поставленную задачу можно решить графическим способом. Несложно проверить нормальность распределения, вычислив моду, медиану и среднее арифметическое (о которых пойдет речь позже), которые должны быть равны.

При соответствующем подборе тестовых заданий можно показать, что для больших неспециально отобранных групп людей нормально распределены их физические возможности, интеллект, способности, знания, умственные и другие показатели.

Наглядно иллюстрирует нормальное распределение через значительное время после старта плотность бегунов на длинную дистанцию. Кто-то явно лидирует, кто-то безнадежно оказывается «в хвосте», но большая часть бегунов будет сосредоточена в середине.

Нормальному закону распределения посвящена одна из лабораторных работ (см. «Лабораторная работа №4»).

3. Распределение Бернулли.

Если производится серия независимых испытаний, в каждом из который событие А может появиться с одинаковой вероятностью р, то число появлений события есть случайная величина, распределенная по закону Бернулли, или по биномиальному закону (другое название распределения).

, где

n - число испытаний в серии, m - случайная величина (число появлений события А), Р_n(m) - вероятность того, что А произойдет именно m раз, q = 1 - р (вероятность того, что А не появится в испытании).

Пример: Кость бросают 5 раз, какова вероятность того, что 6 очков выпадет дважды ?

Решение: n = 5, m = 2, p = , q = . Тогда

4. Распределение Пуассона.

Распределение Пуассона получается как предельный случай распределения Бернулли. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянно близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, произведение np = λ, то вероятность Р_n(m) того, что в n независимых испытаниях события А наступит m раз, приближенно равна .

Распределению Пуассона подчиняются очень многие случайные величины, встречающиеся в науке и практической жизни.