5. Элементы математической статистики

5.1 Понятие случайной величины

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Обычно рассматриваются два типа случайных величин: дискретные и непрерывные. Дискретные случайные величины принимают в результате испытания одно из дискретного множества значений.

Примеры дискретных величин: число подтягиваний на перекладине, число попаданий в кольцо из 10 штрафных бросков и т.п. Вероятность принятия дискретной случайной величины может быть записана так:

Р[Х =х_i] = p_i , I = …,-1, 0, 1, … , где

Х – случайная величина,

х_i – конкретные числовые значения, принимаемые дискретной случайной величиной,

p_i – вероятность этих значений,

i – индекс.

Функция Р[Х =х_i], связывающая знание дискретной случайной величины, с их вероятностями, называется её распределением (законом распределения).

Дискретная случайная величина обычно задаётся рядом распределения – таблицей, в которой указаны все возможные значения Х_i случайной величины и соответствующие им вероятности р_i .

xi	x1	x2	x3	…	xn
pi	p1	p2	p3	…	pn

Так как случайная величина обязательно принимает какое-либо из этих значений, то р₁+ р₂ + р₃ + . . . + р_n = 1.

Графически ряд распределения выражается так называемым многоугольником распределения.

Примеры:

1. В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в 1000 руб., 4 выигрыша по 500 руб., 5 выигрышей по 400 руб. и 10 выигрышей по 100 руб. Построить ряд распределения стоимости выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение: Случайная величина х (стоимость возможного выигрыша) может принимать следующие значения:

х₁ = 1000; х₂ = 500; х₃ = 400; х₄ = 100; х₅ = 0.

Вероятности этих возможных значений соответственно равны:

р₁ = 0,001; р₂ = 0,004; р₃ = 0,005; р₄ = 0,010; р₅ =1 – ( р₁+ р₂ + р₃+ р₄),

р₅ =1 – 0,020 = 0,980.

Ряд распределения будет иметь вид:

xi	0	100	400	500	1000
pi	0,980	0,010	0,005	0,004	0,001

Построим многоугольник распределения.

2. Есть ящик с 3 шарами, из которых 2 белых и 1 чёрный. Вынули 2 шара. Случайная величина – число вынутых белых шаров. Составить ряд распределения этой случайной величины.

Решение: Так как в ящике из 3 шаров только 1 чёрный, то среди вынутых шаров обязательно будет хотя бы 1 белый. То есть случайная величина может принимать значения 1 или 2. Один белый из двух вынутых шаров – это 1 белый и 1 чёрный или 1 чёрный и 1 белый. Тогда

р (1) = р (2) =

Так как все события исчерпаны, то сумма р_i должна быть равна 1. Действительно, . Следующая таблица задаёт закон распределения случайной величины (ряд распределения):

xi	1	2
pi

Непрерывная случайная величина в результате испытания может принимать любые значения из некоторого интервала. Непрерывная случайная величина может быть задана либо функцией распределения – F(x), либо плотностью вероятности Р(х); Р(х) = F ^’ (x).

Примеры непрерывных случайных величин: дальность полёта снаряда при данных условиях стрельбы, спортивный результат в беге или в прыжках, рост и масса тела человека, сила мышц и др.

Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение меньше данного х, т.е. F(x) = Р[Х ≤ х].

Из определения следует, что функция распределения F(x) – неубывающая и изменяется от 0 до 1. Зная функцию распределения величины Х, можно вычислить вероятность того, что Х(x₁, x₂) по формуле

(*) Р[x₁<Х<x₂] = F(x₂) – F(x₁), т.е. вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал равен разности значений функции распределения этой случайной величины вычисленных в конце и начале интервала.

Примеры:

1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением:

F(x) =

а) построить график функции F(x),

b) найти вероятность попадания случайной величины Х в (0,25; 0,5).

Решение:

а)

b) По формуле (*) находим:

Р[0,25< Х <0,5] = F(0,5) - F(0,25) = (0,5)² – (0,25)² = 0,25 – 0,0625 = 0,1875.

Для дискретной случайной величины можно также строить функцию распределения F(x). В этом случае она будет представлять собой разрывную функцию. Функция распределения строится по следующему правилу:

F(x) = 0 при х < x₁,

F(x) =p₁ при x₁ ≤ х < x₂,

F(x) =p₁ + p₂ при x₂ ≤ х < x₃,

F(x) =p₁ + p₂ + p₃ при x₃ ≤ х < x₄,

…………………………………………………

F(x) =p₁ + p₂ + p₃ + . . . + p_n при х ≥ x_n.

2. Построить функцию распределения F(x) для дискретной случайной величины Х, заданной рядом распределения.

xi	0	1	2	3	4
pi	0,0256	0,1536	0,3456	0,3456	0,1296

Решение:

F(x) = 0, при х <0,

F(x) =p₁ = 0,0256, при 0≤ х <1,

F(x) =p₁ + p₂ =0,1792, при 1≤ х < 2,

F(x) =p₁ + p₂ + p₃ = 0,5248, при 2≤ х < 3,

F(x) =p₁ + p₂ + p₃ +p₄ = 0,8704, при 3≤ х <4,

F(x) =p₁ + p₂ + p₃ +p₄ + p₅ = 1, при х ≥ 4.

Итак, имеем функцию распределения:

F(x) =

Построим график функции распределения:

F(x)

1

0,9

0,5

0,2

0 1 2 3 4 x

Как видим, функции распределения F(x) остаётся постоянной на интервалах между значениями х_i, которые может принимать случайная величины Х. И только в точках х_i функция скачком меняет своё значение на величину, равную вероятности Р[Х = х_i], т.е. функции распределения случайной величины является ступенчатой. Это свойство является общим для всех дискретных случайных величин.