13. Обобщающие показатели ряда динамики

Для получения обобщающих показателей динамики социально-экономических явлений определяются средние величины: средний уровень, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста и др.

Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней.

В интервальных рядах динамики средний уровень определяется делением суммы уровней на их числоn:

(13)

В моментном ряду динамики с равностоящими датами времени средний уровень определяется по формуле средней хронологической:

(14)

В моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами средний уровень определяется по формуле:

, (15)

где у_i – уровни ряда динамики, сохранившиеся без изменения в течение промежутка времени t_i.

Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. Для определения среднего абсолютного прироста Δу сумма цепных абсолютных приростов ∑Δу_цi делится на их число: (где n – число уровней ряда)

(16)

Средний абсолютный прирост может определяться по абсолютным уровням ряда динамики. Для этого определяется разность между конечным у_n и базисным у₀ уровнями изучаемого периода (т.е. базисный абсолютный прирост), которая делится на n-1 периодов:

(17), т. е. (18)

Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики. Для определения среднего темпа роста Тр применяется формула:

(19)

где Тр₁, Тр₂, …, Тр_n – индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах), n – число индивидуальных темпов роста.

Средний темп роста можно определить и по абсолютным уровням ряда динамики по формуле:

(20)

На основе взаимосвязи между цепными и базисными темпами роста (6) средний темп роста можно определит по формуле

(21)

Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста. При наличии данных о средних темпах ростадля получения средних темпах приростаиспользуется зависимость:=-1 (22) (при выражении среднего темпа роста в коэффициентах).

14. Выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда)

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления. На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер. Основная тенденция (тренд) – изменение, определяющее общее направление развития, это систематическая составляющая долговременного действия. Задача - выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. Методы выявления тренда:

1. Метод укрупнения интервалов, 2. Метод скользящей средней, 3. Метод аналитического выравнивания.

1)Метод укрупнения интервалов

Основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявить направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития, в то время как слишком малые интервалы между наблюдениями приводят к появлению ненужных деталей в динамике процесса, засоряющих общую тенденцию.

2) Метод скользящей средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средней уровень из определенного числа (обычно нечетного) первых по счету уровней ряда, затем - из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы “скользит” по ряду динамики, передвигаясь на один срок. Сглаженный ряд урожайности по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям - на два члена в начале и в конце ряда. Он меньше, чем фактический, подвержен колебаниям из-за случайных причин, и четче выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и условий развития. Недостатком сглаживания ряда является укорачивание сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а, следовательно, потеря информации.

Укрупнение интервалов и метод скользящей средней дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных или волнообразных колебаний. Получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

____ - эмпирические уровни

_* - _* - - сглаженные по пятилетиям

пунктир - выровненные аналитически

3) Аналитическое выравнивание ряда динамики

Используется для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени.

Общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

Ŷ_t=f(t), где ŷ_t- уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) уровней ŷ_t производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:

Линейная функция -прямая ŷ_t=a₀+a₁t, где a₀,a₁-параметры уравнения,t-время

Показательная функция ŷ_t=a₀a₁^t

Степенная функция-кривая второго порядка(парабола) Ŷ_t=a₀+a₁t+a₂t²

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:

(ŷ_t-y_i)^2min где ŷ_t- выровненные (расчетные) уровни, y_i-фактические уровни.

Параметры a_i, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни. Т.о., выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней y_i плавно изменяющимися уровнями ŷ_t , наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные

• Выравнивание по прямой используется в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т. е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии

• Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Выравнивание ряда динамики по прямой: ŷ_t=a₀+a₁t. Параметры a₀,a₁ согласно методу наименьших квадратов находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования условия

a₀n+a₁t=y;

a₀t+a₁t²=y*t, (23)

где y-фактические(эмпирические) уровни ряда,

t-время (порядковый номер периода или момента времени).

t=0, так что система нормальных уравнений (23) принимает вид:

y=na₀;

y*t=a₁t². (24) Из первого уравнения: a₀=y/n (25) Из второго уравнения: a₁=y*t/t² (26)

Если расчеты выполнены правильно, то y=ŷ_t.