Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электротехника и электроника. Часть 1. Электрические цепи. Учебное пособие
.pdf
.83)
.84)
.85)
.86)
)
11
1
ML
221
LM
2
UIjXIjXIR
121
UIjXIRIjX
22
(2
Для определения полных комплексных мощностей участков цепи помно-
жим обе части уравнения на комплексно-сопряженное значение соответствую-
щего тока:
~
~
**
**
Рассмотрим в этих уравнениях слагаемые, учитывающие мощность в ре-
активном сопротивлении взаимоиндукции:
~
MM
M
*
121
M
12
M
12
0
0
90
j
0
90
j
eIIX
12
~
MM
M
*
212
M
12
M
21
0
0
90
j
0
90
j
eIIX
12
*
L
L
12
M
*
eIeIeXIIjXS
12
*
IIjXIIjXIIRIUS
12111111111
*
IIjXIIjXIIRIUS
M
jj
21222222222
12
(2
(2
0
9090
sinjcosIIX
21
21
eIeIeXIIjXS
12
QjPcosIIjXsinIIX
.
MMMM
1112121212
jj
21
(2
0
9090
sinjcosIIX
12
QjPcosIIjXsinIIX
.
MMMM
1112121212
Из (2.85) и (2.86) следует, что активная мощность, передаваемая от пер-
вой катушки ко второй, по модулю равна активной мощности, потребляемой
второй катушкой, их сумма равна нулю. Это означает, что на общий баланс ак-
тивной мощности цепи индуктивно связанные элементы не влияют. При этом
суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимоиндукцией двух кату-
шек, равна:
2
MM
cosIIXQ
.
1212
(2.87
81
В уравнение полной комплексной мощности (2.87), суммарная реактив-
Z
Z
ZII
IIII
III
1
ная мощность взаимоиндукции может учитываться со знаком “плюс” при со-
гласном включении катушек, а “минус” – при встречном.
2.8 Анализ линейных электрических цепей при гармоническом
воздействии
2.8.1 Расчет цепи методом непосредственного использования законов
Кирхгофа. В данном методе за независимые принимаются искомые токи ветвей
схемы, а зависимые – напряжения на участках цепи, выраженные через незави-
симые. Для того чтобы задача имела однозначное решение для схемы, состоя-
щей из B - ветвей необходимо составить N независимых уравнений. Составим
систему уравнений для электрической цепи, изображенной на рисунке 2.19.
Из анализа схемы видно, что она содержит число узлов У=4, ветвей B=6,
причем ни в одной ветви нет источника тока. По первому закону Кирхгофа за-
писывается количество уравнений 1
му закону Кирхгофа определяется
УK . Количество уравнений по второ-
1
1
2
УBK , для их написания необхо-
димо выбирать контуры.
E
E
3
I
5
Z
5
3
2
1
1
I
Z
1
Z
2
2
4
E
3
6
6
3
I
6
4
4
Рисунок 2.19 – Разветвленная электрическая цепь переменного тока
82
Контуры выбираются произвольно, лишь бы каждый новый контур со-
.88)
(2.89)
.90)
держал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие, такие контуры назы-
ваются независимыми:
0
III
531
,
0
III
652
643
,
0
III
,
(2
EIZIZIZ
1
1
3
2
5
6
3
2
6
2
5
6
6
,
12
EEIZIZIZ
5
4
,
EIZIZIZ
.
64
635
2.8.2 Метод контурных токов. Метод контурных токов основан на втором
законе Кирхгофа, идея данного метода заключается в следующем: выбирают
независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой
контурный ток, направление которых выбирают произвольно. Таким образом,
число уравнений системы равно числу независимых контуров. Первый закон
Кирхгофа выполняется автоматически.
Допустим, что в трех независимых контурах электрической цепи, изо-
браженной на рисунке 2.19, протекают три контурных тока. Используя метод
наложения, выразим токи ветвей через контурные токи:
II
;
11 K
II
;
34 K
III
;
132 KK
III
;
215 KK
II
;
23 K
III
,
236 KK
и подставим в четвертое, пятое и шестое уравнения системы (2.88).
EIIZIIZIZ
1
3
2
5
1
2
6
13
21
6
2
23
5
23
4
KKKKK
KKKKK
KKKKK
,
113
EIZIIZIIZ
.
63
EEIIZIIZIZ
,
6321
(2
Сгруппируем уравнения системы (2.90):
83
.91)
.92)
5
1
2
1
Для алгоритма написания контурных уравнений по методу контурных то-
ков, введем обозначения:
EIZIZIZZZ
251
6
5
1
2
2
263
2
2
,
KKK
KKK
13
EIZZZIZIZ
.
63
EEIZIZZZIZ
,
633
(2
KKK
6
462
– собственное сопротивление контура
Z - сумма сопротивлений вет-
nn
вей, образующих контур n, в системе (2.91) данные сопротивления представле-
ны следующими суммами:
ZZZZ
;
25111
– взаимное сопротивление контуров
ZZZZ
;
26322
ZZ
- сопротивление ветви,
nmmn
ZZZZ
.
46233
общей для контуров m и n, т.е.
ZZZ
;
52112
ZZZ
;
23113
ZZZ
.
63223
Взаимное сопротивление учитывается со знаком «плюс», если рассматри-
ваемые контурные токи протекают в одном направлении в общей ветви, и со
знаком «минус» – если их направления в общей ветви не совпадают.
– контурная ЭДС
E
- алгебраическая сумма ЭДС источников, дейст-
nn
вующих в данном контуре:
EE
;
111
EEE
;
6322
Используя введенные обозначения, перепишем систему (2.91) в общем
виде:
11
12
1
13
2
KKK
KKK
KKK
Система (2.92) может быть записана для произвольной линейной элек-
трической цепи, содержащей n независимых контуров:
EIZIZIZ
113
EIZIZIZ
22323222121
EIZIZIZ
33333232131
EE
.
633
(2
84
.93)
Общее решение системы (2.93) относительно контурного тока n-го кон-
.94)
.95)
.96)
тура имеет вид:
11
12
1
13
2
3
KKK
1
n
Kn
KnnKKK
11
EIZ...IZIZIZ
222323222121
EIZ...IZIZIZ
……………………………………………………….
EIZ...IZIZIZ
n
1
K
n
2
K
1
2
n
3
K
3
nn
nnKn
(2
.
Kn
11
nnn
1
22
2
33
3
E...EEEI
nn
nn
, (2
где – основной определить системы,
– алгебраическое дополнение, полученное из определителя путем вы-
kn
черкивания k-го столбца и n-ой строки и умножения полученного
определителя на
1 .
nk
2.8.3 Метод узловых потенциалов. Метод основан на применение первого
закона Кирхгофа. В данном методе за независимые величины принимают по-
тенциалы узлов, токи в ветвях – зависимые, выраженные по закону Ома.
Для узлов электрической цепи составляются уравнения по первому зако-
ну Кирхгофа. Затем токи ветвей выражают через узловые напряжения и прово-
димости посредством обобщенного закона Ома (рисунок 2.19):
1
11
42
33
4
YYI
2
2
3
1
Подставим (2.95) в первое, второе и третье уравнения системы (2.88),
сгруппируем слагаемые:
1
531
5
1
1
85
2
3
6
2
YYYEI
1
,
2
3
2
3
,
1
1
YYYEI
3
3
5
652
,
3
3
6
3
643
34
15
66
4
4
4
YYI
4
4
5
2
6
1
1
2
4
3
,
4
YYI
,
5
YYYEI
6
2
1
YEYYYYYY
6
3
3
,
6
3
6
.
6
YEYEYYYYYY
,
3
YEYEYYYYYY
.
6
(2
(2
Система (2.96) содержит три уравнения с четырьмя неизвестными. В дан-
.97)
ном методе допускается один из узлов считать базисным, т.е. его потенциал
принять равным нулю. Допустим, в схеме рисунка 2.19 в качестве базового вы-
бран узел 4 ( 0
1
1
1
4
5
3
), тогда система (2.96) будет иметь вид:
531
2
6
2
3
5
2
652
3
3
6
3
643
Из анализа (2.97) видно, что структура каждого уравнения одинаковая,
например, уравнение относительно узла 1:
12
2
где
11
1
YYYY
– собственная проводимость узла 1, равная сумме
53111
проводимостей ветвей, присоединенных к узлу 1;
Y,Y – межузловые проводимости, т.е. сумма проводимостей ветвей,
1312
включенных между узлами 1-2 и 1-2, всегда учитываются со
YEYEYYYYY
,
1
1
YEYYYYY
,
6
6
3
3
3
13
3
3
(2
YEYEYYYYY
.
6
6
JYYY
,
11
знаком «-»;
J
– узловой ток узла 1, алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей
11
на проводимости этих ветвей, а также токов источников тока ветвей,
подключенных к узлу. Записываются со знаком плюс (минус), если
они направлены к узлу (от узла).
Система (2.97) может быть записана для любой схемы электрической це-
пи. Решив данную систему уравнений относительно, определяют токи ветвей,
посредством соотношений, аналогичным (2.94).
Для расчета ЭЦ по методу узловых напряжений (потенциалов), содержа-
щих ветви только с идеальным источником ЭДС, необходимо выбрать в каче-
стве базисного узла один из полюсов данного источника. Тогда потенциал узла,
к которому присоединен второй полюс этого источника, будет равен его ЭДС.
При этом число необходимых уравнений для расчета цепи уменьшится.
86
Метод узловых напряжений не применим (без предварительного преобра-
I
III
.98)
I
I
зования) к схемам с индуктивно связанными элементами и к схемам, содержа-
щим несколько ветвей только с идеальными источниками напряжения, не со-
единенных с базисным узлом.
2.8.4 Метод эквивалентного генератора. Для рассмотрения данного мето-
да введем понятие двухполюсника. В электрической цепи любой конфигурации
всегда мысленно можно выделить одну исследуемую ветвь, а остальную часть
цепи представить в виде прямоугольника, называемого двухполюсником. При
наличии в двухполюснике идеализированных источников ЭДС или тока –
двухполюсник считают активным, и обозначают буквой A. Пассивный двух-
полюсник (при отсутствии в нем источников энергии) обозначают буквой П.
Метод эквивалентного генератора, основан на теореме об активном двух-
полюснике, которая формулируется следующим образом: если активный двух-
полюсник, к которому присоединена исследуемая ветвь, заменить источником с
ЭДС равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви (
нием, равным входному сопротивлению активного двухполюсника (
U
), и сопротивле-
xx
Z ), то
вх
ток в этой ветви не изменится.
Рассмотрим схему электрической цепи (рисунок 2.20, а), в которой иссле-
дуется ветвь с комплексным сопротивлением Z , вся остальная цепь обозначена
как активный двухполюсник. Если в ветвь включить два скомпенсированных
источника ЭДС
E
1
и
E
(рисунок 2.20,б), то ток данной ветви
2
не изменится.
Используя метод наложения, определим ток как сумму токов:
"'
где
'
– ток ветви от действия источника
,
E
и всех источников активного двух-
1
(2
полюсника;
"
– ток ветви от действия источника
E
.
2
87
Частичные токи определяются в соответствии с эквивалентными схемами
ZZZIIIIUEEE
E
г)
A
П
I
.99)
I
I
I
рисунка 2.20,в и г. Обозначение пассивного двухполюсника в схеме рисунка
2.20,г говорит о том, что в нем отсутствуют источники энергии.
A
A
Z
a) б)
Рисунок 2.20 – Иллюстрация к теореме об эквивалентном генераторе
Для схемы рисунка 2.20,в значение частичного тока
обобщенному закону Ома:
Если принять значение данного тока равным нулю (режим холостого хо-
1
2
'
I
xx
.
Z
1
''
xx
'
в)
'
определится по
EU
1
2
да), то алгебраическая сумма напряжения на зажимах ветви
ника
составляющей
на ЭДС источника
где
E
должна быть равна нулю, а это возможно в случае их равенств, т.е.:
1
EU
. (2
xx
При этом суммарный ток исследуемой ветви
"
от действия ЭДС источника
E
, компенсирующего действие ЭДС источника
2
На основании чего уравнение для тока
E
I
Z – комплекс входного сопротивления двухполюсника.
вх
2
ZZ
вх
1
будет равен только одной
E
. На основании (2.99) величи-
2
UE
2
U
.
xx
можно записать:
xx
,
ZZ
вх
U
и ЭДС источ-
xx
E
:
1
(2.100)
88
Таким образом, в соответствии с теоремой об эквивалентном двухполюс-
нике, схему на рисунке 2.20,а, где относительно ветви, ток в которой требуется
определить, выделен активный двухполюсник со структурой любой степени
сложности, можно представить эквивалентной схемой на рисунке 2.20,г.
Уравнение (2.100) представляет собой аналитическое выражение метода
эквивалентного генератора. Параметры эквивалентного генератора (активного
двухполюсника) могут быть определены экспериментальным или теоретиче-
ским путем.
Анализ линейной электрической цепи методом эквивалентного генерато-
ра осуществляется в два этапа:
– любым из известных методов расчета линейных электрических цепей
определяют напряжение на зажимах активного двухполюсника при разомкну-
той исследуемой ветви;
–определяется входное сопротивление пассивного двухполюсника отно-
сительно зажимов исследуемой ветви. Замена активного двухполюсника пас-
сивным осуществляется путем исключения всех источников энергии, при со-
хранении их собственных (внутренних) сопротивлений. В случае идеальных
источников это соответствует закорачиванию всех источников ЭДС и размыка-
нию всех ветвей с источниками тока.
Используя теорему об эквивалентном генераторе, определим ток
I
в
2
электрической цепи (рисунок 2.21,а). В соответствии с изложенной выше мето-
дикой определения параметров активного двухполюсника для нахождения зна-
чения
U
перейдем к схеме рисунка 2.21,б. В данной цепи размыкание иссле-
ab
дуемой ветви преобразовало разветвленную схему к одному контуру с током
II
(рисунок 2.21,б), который можно определить по второму закону Кирх-
31
гофа:
EE
I
1
31
.
ZZ
31
89
Напряжение холостого хода для данной схемы по обобщенному закону
Z
ZZZ
Z
= -
в)
bbb
a
b
Ома для любого из участков контура:
E
ZIEU
или
1
ab
I
1
1
2
I
1
Z
2
I
3
а
a)
11
E
1
E
3
U
Z
3
1
ab
I
1
ab
E
I
3
а
б)
ZIEU
.
3
33
3
1
3
U
ab
Рисунок 2.21
Для определения входного сопротивления активного двухполюсника
трансформируем его в схему на рисунке 2.21,в. Относительно узлов
3
а
пас-
сивного двухполюсника его сопротивление равно:
ZZ
Z
.
вх
31
ZZ
31
Искомый ток определим:
ZIE
I
2
Z
1
111
ZZ
31
ZZ
31
2
2 ZZZ
1
ZZZIE
31111
.
31
Применение данного метода особенно эффективно, когда требуется опре-
делить значения тока в некоторой ветви для различных значений сопротивле-
ний в этой ветви, в то время как в остальной схеме сопротивления, а также ЭДС
и токи источников постоянны.
2.9 Резонансные явления в электрических цепях
Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя
индуктивные и емкостные элементы, при котором комплекс ее входного сопро-
тивления (входной проводимости) имеет чисто активный характер, а угол сдви-
га фаз между током и напряжением равен нулю.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]