Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электротехника и электроника. Часть 1. Электрические цепи. Учебное пособие
.pdf
Для перехода к косинусоидальным колебаниям необходимо к аргументам
2
/
2
/
2
/
функций добавить 2:
Если же в гармонические колебания занимают промежуточное положе-
tsinEte
m
.
2
(2.8)
ние между синусоидой и косинусойдой, т.е. в пределах
гда в общем случае такие гармонические колебания описываются функцией:
tsinEte
где
личные амплитуды
начинается раньше начала координат, имеет начальную фазу
плюс, а колебание, которое начинается позже – начальную фазу
минус. Первое называется опережающим, а второе – отстающим или запазды-
вающим колебанием. Следовательно, все опережающие колебания имеют по-
– начальная фаза ЭДС (значение фазы ЭДС в начальный момент време-
e
ни),
На рисунке 2.4 представлены колебания ЭДС
рад или
E , 2mE , и начальные фазы
град .
1m
,
em
te
и
1
,
1e
. Колебание, которое
2e
...
te
, имеющие раз-
2
со знаком
1e
со знаком
2e
, то-
(2.9)
ложительные начальные фазы, а все запаздывающие – отрицательные началь-
ные фазы.
Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинако-
вой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты
друг относительно друга по фазе. Сдвиг фаз измеряется разностью фаз:
>0, т.е. ЭДС
21 ee
что тоже самое, ЭДС
Если у синусоидальных функций одной частоты одинаковые начальные
фазы, то говорят, что они совпадают по фазе; если разность их фаз равна
то говорят, что они противоположны по фазе (в противофазе). И, если разность
их фаз равна
51
, то говорят, что они находятся в квадратуре.
te
опережает по фазе ЭДС
1
te
отстает по фазе от ЭДС
2
te
2
te
на угол
1
на угол
, или,
21 ee
.
21 ee
,
e
, c
e t
( )
.10)
.11)
b
sinRb
.12)
, B
E
1
e t
( )
2
m
1
E
m
2
t
e
1
e
2
Рисунок 2.4 – Графики гармонических колебаний с различными
начальными фазами
Аналогично можно записать выражения для гармонически изменяющихся
токов и напряжений:
(2
(2
где
tu,ti – мгновенные значения;
U,I – амплитудные значения;
mm
,
– начальные фазы.
ui
,tsinIti
im
,tsinUtu
um
2.2 Векторное представление гармонического колебания
На декартовой плоскости нарисуем окружность радиусом R=1 (рисунок
2.5,а), вращая радиус против часовой стрелки (в электротехнике данное направ-
ление принято за положительное) с угловой частотой , измеряем длину линии
, которую называют «линией синуса». Каждому углу поворота радиуса бу-
дет соответствовать длина линии b:
. (2
52
Если построить график
270
330
sin
e
fb
, то получится кривая, называемая сину-
соидой (рисунок 2.5,б), амплитуда которой равна радиусу окружности R. Это
особенно хорошо видно, когда радиус повернут на 90: его конец проектируется в
верхнюю точку синусоиды. При других углах поворота конец радиуса проекти-
руется в другие точки, лежащие на синусоиде.
o
90
330
o
360
o
o
o
303090
o
o
o
210
o
150
o
150
210
o
R
b
o
o
270
a)
б)
Рисунок 2.5 – Соответствие вращающегося вектора гармоническому колебанию
Точно так же можно получить график, например, гармонической ЭДС,
если длину радиуса выберем равной
E , а линию синуса обозначим буквой
m
то вращая радиус и рисуя график, получим кривую гармонической ЭДС, теку-
,
щие ординаты которой зависят от угла поворота радиуса:
sinEe
m
.
(2.13)
Вместо угла на графике (рисунок 2.5,б) можно откладывать время t, за
которое радиус повернулся на данный угол . Напомним, что эти величины
связаны соотношением:
53
T
t
T
f
+j
e
Рисунок 2.6 - Вектор комплексной
плоскости
ft
22 .
ee
где
– пара метр, означающий начальное положение или начальную фазу
e
радиуса перед его вращением;
– время полного оборота (на 360) этого радиуса;
– частота вращения радиуса.
Отсюда следует важный вывод: кривая любого гармонического колеба-
ния (ЭДС, напряжения, тока) может быть заменена изображением вращающе-
гося вектора. Длина этого вектора равна амплитуде колебания, начальное по-
ложение вектора перед вращением определяется начальной фазой колебания;
число его оборотов в секунду зависит от частоты гармонического колебания.
2.3 Символическое представление гармонического колебания
Поместим на комплексную плоскость вектор ЭДС (напряжения, тока)
E
m
E =Jm
mp
E
( )
m
E =Re
ma
E
( )
m
+1
амплитуды ЭДС на комплексной
ЭДС (напряжения, тока) и обозначается
(рисунок 2.6). Проекция этого
вектора на ось абсцисс явля-
ется вещественным числом.
Она носит название активной
(резистивной) составляющей
ЭДС (напряжения, тока) и
обозначается
E (
am
проекция вектора на ось ор-
динат – мнимое число. Эта
проекция вектора называется
реактивной составляющей
E , mpU , mpI .
pm
I,U ),
mama
Комплексное число, соответствующее данному вектору обозначается,
соответственно,
E
m
54
,
U
,
I
m
и аналитически записывается:
m
)
.18)
EjEE
mpmam
;
UjUU
;
mpmam
IjII
.
mpmam
(2.14)
Запись комплексного числа в виде суммы вещественного и мнимого
чисел называется алгебраической. Можно вычислить длину вектора, изо-
бражающего комплексное число (она называется модулем этого комплекс-
ного числа
Emod
). Модуль всякого комплексного числа есть положи-
m
тельное число (т.к. длина вектора не может быть отрицательной).
Модуль комплексного числа обозначается просто буквой
I,U,E . Из рисунка 2.6 видно, что по правилу прямоугольного тре-
mmm
угольника, что по правилу (по теореме Пифагора):
Угол
22
EEE
mpmam
между положительным направлением оси абсцисс и вектором,
e
(2.15
изображающим комплексное число, называется аргументом комплексного чис-
ла (
Earg
), который определится выражением:
m
E
E
mp
ma
arctg
e
.
(2.16)
Из теоремы Пифагора можно установить связь между модулем и ар-
гументом комплексного числа с одной стороны и вещественной и мнимой
частями комплексного числа с другой стороны.
cosEE
,
emma
sinEE
.
emmp
(2.17)
Тогда комплексные выражения (2.14) могут быть представлены через их
модули и аргументы:
sinEjcosEE
sinUjcosUU
sinIjcosII
;
ememm
;
umumm
.
imimm
(2
55
Таким образом, мы установили однозначное соответствие между ком-
sinjcos
j
ln
e
плексным числом и графиком гармонического колебания: модуль
комплексного числа представляет собой не что иное, как амплитуду гармониче-
ского колебания ЭДС (напряжения, тока), а аргумент
го числа – начальную фазу этого колебания.
Существует еще одна форма записи комплексного числа – показательная.
Обозначим для краткости выражение
ную
dd :
d
d
и возьмем производ-
d
Таким образом, получаем, что
d
d
d
или
j
d
dj
.
E (
m
,
комплексно-
iue
sinjcosjcosjsinsinjcos
I,U )
mm
.
(2.19)
Проинтегрируем обе части равенства (2.19):
d
Следовательно,
Выражение (2.21) называется показательной формой комплексного числа.
Зная комплексную амплитуду гармонического колебания, легко восстановить
его математическую зависимость от времени.
Замена гармонических колебаний комплексными числами называется
символическим представлением гармонических колебаний. При этом сами ко-
лебания называются оригиналами, а их символическое представление, т. е. ком-
dj
j
или
. Откуда находим окончательно:
j
eEsinjcosEE
meemm
.
e
.
(2.20)
(2.21)
плексные числа – изображениями.
56
2.4 Действующее и среднее значения гармонического колебания
)
dQ
)
)
)
T
t
2
2I
)
Согласно закону Джоуля-Ленца тепловая энергия Q, выделяемая в рези-
сторе с сопротивлением R при протекании по нему постоянного тока
I в те-
0
чение промежутка времени t равна:
2
0
tRIQ
.
(2.22
Для синусоидального тока формулу (2.22) можно применить лишь для
определения тепловой энергии
, выделившейся в резисторе с сопротивлени-
ем R за бесконечно малый промежуток времени dt, в течение которого силу
тока i можно считать не изменяющейся:
2
dtRidQ
.
(2.23
За период времени T выделившаяся энергия:
T
2
0
.
RdtiQ
(2.24
Пусть tsinIi
m
При равенстве QQ
, получаем:
T T
0 0
0
имеем:
m
mm
2 II
,
0
2222
dttsinRIdtRtsinIQ
т.е. равенство выделяемой в резисторе R энергии за время
нусоидального тока должна быть в
Величина
, называется действующим значением синусоидального
раз больше постоянного тока
тока, и, подставив ее в последнее выражение, получим:
2
TRIQ
~
.
2
I
m
RT
.
2
(2.25
, амплитуда си-
I .
0
(2.26
57
Сопоставив формулу (2.26), полученную для синусоидального тока, с
)
2
)
)
формулой (2.22), справедливой для постоянного тока, делаем вывод: Дейст-
вующее значение синусоидального тока равно такому значению постоянного
тока, который за один период выделяет в том же резисторе такое же коли-
чество тепла, как и синусоидальный ток.
Аналогично существуют понятия действующих значений синусоидаль-
ных напряжений и ЭДС:
U
U
m
и
2
E
E
m
.
(2.27
2
Действующее значение синусоидального тока часто называют средне-
квадратичным или эффективным значениями. Действующие значения токов и
напряжений показывают большинство электроизмерительных приборов (ам-
перметров, вольтметров). В действующих значениях указываются номинальные
токи и напряжения в паспортах различных электроприборов и устройств.
Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее
значение за полпериода:
T
I
1
T
0
2
ItdtsinI
,
mmср
(2.28
т.е. среднее значение синусоидального тока составляет 0,638 от амплитудного
значения. Аналогично,
/ЕE
2
mср
,
/UU
2
.
mср
2.5 Комплексные сопротивления и проводимости элементов цепи
гармоническому току
Исследуем цепь, состоящую только из одного элемента, например, ре-
зистора с сопротивлением R (рисунок 2.7,а). Пусть по этой цепи протекает
гармонический ток
tsinIti
.
im
(2.29
По закону Ома напряжение на зажимах резистивного элемента:
58
tsinUtsinIRRiu
)
2
)
322
I sin t
t, c
+
+
+
mm
,
(2.30
где
IRU
.
mm
Из выражений (2.29) и (2.30) следует вывод: ток и напряжение в рези-
стивном элементе совпадают по фазе (изменяются синфазно). Это положение
наглядно иллюстрируется на рисунке 2.7,в.
Выразим мгновенную мощность p через мгновенные значения тока i и
напряжения на элементе u:
IU
mm
tcos
mm
tsintsinIUiup
21
(2.31
tcosIU
21
u,
B
i,
=
А
R
i
u
i
в)
u
U sin t
=
m
i
=
m
R
а)
б)
UI
р,
Вт
г)
T
T
t, c
T
Рисунок 2.7 – Изображение на схеме (а); векторная диаграмма (б);
временные диаграммы тока и напряжения (в); график мгновенной
мощности (г)
График изменения мощности p со временем представлен на рисун-
ке 2.7,г. Анализ графика и формулы (2.31) позволяют сделать следующие выво-
ды:
59
– мгновенная мощность p имеет постоянную составляющую
I
U
t
cosIU2
2
dt
)
dt
.33)
и пе-
ременную составляющую
– мощность в любой момент времени положительна
что в резистивном элементе происходит необратимое преобразование электри-
ческой энергии в другие виды энергии;
– постоянная составляющая в формуле (2.31) есть среднее значение мгно-
венной мощности за промежуток времени равный периоду Т.
Рассмотрим теперь цепь, содержащую лишь одну катушку индуктивности
с индуктивностью L (рисунок 2.8,а), по которой протекает ток, описываемый
выражением (2.29). Если бы данный гармонический ток протекал по прямоли-
нейному проводу, то этот провод оказывал бы току резистивное сопротивление.
Однако если провод свить в катушку, его сопротивление резко возрастет. По
каким же причинам катушка оказывает повышенное сопротивление току? И что
, изменяющуюся с частотой
0
р . Это значит,
;
это за сопротивление, которое больше резистивного сопротивления провода?
При прохождении переменного электрического тока через проводник,
магнитный поток наводит в витках этой катушки ЭДС самоиндукции
рая зависит от скорости изменения магнитного потока. Согласно второму за-
кону Кирхгофа напряжение на зажимах цепи в каждый момент равно по
величине и противоположно по знаку наведенной ЭДС, следовательно:
di
Leu
.
LL
Итак, напряжение на зажимах катушки пропорционально не току, а ско-
рости изменения тока. Медленные изменения тока вызывают малое падение
напряжения
Подставляя в (2.32) выражение (2.29), получим:
u , а быстрые изменения – большое.
L
e , кото-
L
(2.32
где LX
L
L
60
m
Lu
– реактивное индуктивное сопротивление,
tsinId
mmL
mm
00
9090 tsinUtsinIX
,
Ом .
(2
0
90tsinILtcosIL
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]