Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электротехника и электроника. Часть 1. Электрические цепи. Учебное пособие
.pdf
Реактивное сопротивление катушки индуктивности зависит от частоты
2
.34)
i, Аu, Bр, Втt, c
t, c
колебаний: чем выше частота колебаний, т.е. чем больше скорость изменения
тока, тем больше реактивное сопротивление катушки
Сопоставляя выражения (2.29) и (2.33) сделаем важный вывод: начальная
фаза напряжения на 90 больше начальной фазы тока, т. е. ток отстает по
фазе от напряжения на этот угол (на четверть периода), а напряжение, на-
оборот, опережает ток по фазе на 90. Это положение иллюстрируется на век-
торной диаграмме (рисунок 2.8,б) и временной диаграмме (рисунок 2.8,в).
Выразим мгновенную мощность p через i и u:
IU
tsinItcosUiup
mm
. (2
mm
tsinIUtsin
22
u
L
di
u
L
i
L
L
L
=
dt
в)
I
=
m
sin
I
i
=
m
L
sin
L
t
(
)
+
2
t
L
=90
0
0
2
a)
U
L
0
=
=90
2
I
L
г)
0
б)
Рисунок 2.8 –Изображение ИЭ на схеме (а); векторная диаграмма (б);
временные диаграммы тока и напряжения (в); график мгновенной
мощности (г)
График изменения мощности p со временем построен на основании
формул (2.34) на рисунке 2.8,д. Анализ графика и (2.34) позволяют сделать вы-
воды:
61
– мгновенная мощность на индуктивном элементе имеет только перемен-
t
sinIU2
2
0p
0p
dt
.35)
.36)
ную составляющую
, изменяющуюся с двойной частотой (
);
– мощность периодически меняется по знаку: то положительна, то отри-
цательна. Это значит, что в течение одних полупериодов, когда
, энергия
запасается в индуктивном элементе (в виде энергии магнитного поля), а в те-
чение других полупериодов, когда
, энергия возвращается в электриче-
скую цепь.
Перейдем к анализу цепи состоящей из конденсатора с емкостью C (ри-
сунок 2.9,а). Предположим, что по этой цепи также протекает гармонический
ток (2.29). Напомним, что конденсатор состоит из двух проводящих пластин,
разделенных изолятором или диэлектриком. В главе 1 уже говорилось, что
постоянный ток через конденсатор не проходит – в диэлектрике просто нет
свободных зарядов, которые могли бы создавать ток, и включение конденса-
тора в цепь постоянного тока равносильно разрыву этой цепи. Как же прохо-
дит через конденсатор переменный ток? Известно, что ток в конденсаторе оп-
ределяется скоростью нарастания зарядов q на его обкладках:
dq
i .
(2
Однако заряды через диэлектрик, не проходят, они лишь двигаются к
обкладкам конденсатора (напряжение растет, конденсатор заряжается) или
с обкладок (напряжение падает, конденсатор разряжается), но это движе-
ние зарядов как раз и есть ток в цепи конденсатора. Таким образом, можно
считать, что количество зарядов на обкладках конденсатора пропорционально
приложенному напряжению
u :
C
uCq
,
C
где C – коэффициент пропорциональности, равный емкости конденсатора.
62
(2
Подставляя (2.36) в (2.35), получаем:
dt
C
.37)
t, c
t, c
i, Аu,
B
C
.38)
C
C
C
.39)
C
u
C
Ci
или dti
u
C
i
C
C
а)
I
L
0
=90
U
б)
L
в)
г)
du
=90
1
C
0
р,
Вт
.
sin
u
U
=
m
C
0
t
sin
i
I
=
C
(
m
2
(2
0
)
90
t
+
Рисунок 2.9 – Изображение на схеме (а); векторная диаграмма (б);
временные диаграммы тока и напряжения (в); график
мгновенной мощности (г)
Интегрируя обе части последнего равенства, имеем:
1
u
C
dti
.
Подставим теперь (2.38) в выражение гармонического тока (2.29):
111
u
dttsinI
tcosI
mmmC
tsinUtsinIX
imimC
tsinI
00
9090
.
90
0
(2
(2
где
X
1
c
– реактивное емкостное сопротивление, [Ом].
Как видно из выражения, с ростом частоты колебаний и емкости конден-
сатора реактивное сопротивление конденсатора гармоническому току падает.
63
Сопоставляя выражения (2.29) и (2.39), приходим к выводу: ток в емко-
90
2
.40)
р
t
sinIU2
2
0p
0p
.41)
.42)
стном элементе опережает по фазе напряжение, приложенное к нему, на
0
Это положение иллюстрируется на рисунке 2.9,б и 2.9,в.
Выразим мгновенную мощность р через i и u:
tcosItsinUiup
mm
. (2
График изменения мощности
mm
со временем построен на рисун-
tsinIUtsin
22
IU
ке 2.9,г.
Анализ графика и (2.40) позволяют сделать выводы:
– мгновенная мощность на емкостном элементе имеет только переменную со-
ставляющую
, изменяющуюся с двойной частотой (
);
– мощность периодически меняется по знаку – то положительна, то отрица-
.
тельна. Это значит, что в течение одних четвертьпериодов, когда
, энер-
гия запасается в емкостном элементе (в виде энергии электрического поля), а
в течение других четвертьпериодов, когда
, энергия возвращается в
электрическую цепь.
Комплексное сопротивление цепи. Перейдем от мгновенных значений
тока и напряжения к комплексным значениям по правилам, описанным в п.2.3.
Тогда на основании (2.21):
j
mm
i
eII
,
j
u
eUU
mm
.
(2
Отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной ампли-
туде тока называют комплексным сопротивлением цепи и обозначают Z . Для
цепи, состоящей из одного резистивного сопротивления, получаем:
64
Z
U
R
I
U
m
I
m
m
j
m
e
U
iu
I
j
0
m
m
Re
.
(2
Таким образом, комплексное сопротивление резистора является положи-
j
тельным вещественным числом, его значения на комплексной плоскости откла-
дываются на положительной вещественной полуоси (рисунок 2.10,а).
Сдвиг фаз между векторами напряжения и тока цепи, состоящей из ин-
дуктивности, составляет 900. Комплексное сопротивление получаем:
Z
U
L
I
U
m
I
m
m
j
m
e
0 .
U
iu
I
j
m
m
XjXj
LL
L
00
9090 j
eXe
(2.43)
Напряжение на емкости отстает от тока в ней на –90, при этом ток
опережает напряжение, тогда комплексное сопротивление цепи с емкостью
будет иметь вид:
Z
U
C
I
U
m
I
m
m
j
m
e
=
0 .
U
iu
m
I
m
Замена в (2.43) и (2.44) выражение
j
XjXj
CC
90je
C
0
на
00
9090 j
eXe
становится понятной,
(2.44)
0
j
если учесть, что jsinjcose
0090
9090
. Таким образом, умножение
числа на j означает поворот вектора на 900, а умножение на –j означает пово-
рот на –900. На комплексной плоскости реактивное (индуктивное) сопротивле-
ние катушки откладывают на положительной вертикальной полуоси (рисунок
2.10,б), эта величина мнимая и положительная, а реактивное емкостное сопро-
тивление откладывают на отрицательной вертикальной полуоси (рисунок
2.10,в), эта величина мнимая и отрицательная.
65
+1+1
+1
в)+j+j+j
X
-
E
eЕЕ
eII
.45)
eEEeU
U
L
R
X
-
j
-
j
j
a) б)
Рисунок 2.10 – Комплексные сопротивления резистора,
индуктивности, емкости
Рассмотрим пример неразветвленной электрической цепи, содержащей
резистивный, индуктивный и емкостный элементы (рисунок 2.11,а).
С
В цепи действует идеальный источник синусоидальной ЭДС
. Предста-
вим синусоидальные величины ЭДС, тока, и напряжения на элементах ком-
плексами их действующих значений:
uR
eUU
RR
;
e
;
uL
eUU
LL
;
i
;
uC
eUU
CC
.
На основании второго закона Кирхгофа в комплексной форме:
EIjXIRIjXUUU
. (2
CLCRL
На основании (2.45) на рисунке 2.11,б построена векторная диаграмма то-
ка и напряжений неразветвленной цепи для случая:
XX
.
CL
Из (2.45) находим комплекс действующего значения тока в цепи:
или, так как
ветвленной цепи:
66
I
jj
E
.
eu
– напряжение между выводами ав нераз-
XXjR
CL
I
Z
б)
+1
RReei
L
L
I
.
U
XXjR
CL
U
U
Z
XjR
где Z – комплексное сопротивление неразветвленной цепи.
(2.46)
Поделив все составляющие векторной диаграммы на
, получаем значе-
ния комплексных сопротивлений и изображаем комплексные сопротивления R,
Xj
,
L
Xj
, Z на комплексной плоскости (рисунок 2.11,в) получаем диа-
C
грамму, подобную диаграмме тока и напряжений.
Обратим внимание на «треугольник сопротивлений» (заштрихованная
площадь), стороны которого соответствуют сопротивлениям R,
XXX
и
CL
. Треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений (рисунок
2.11, б)
U
L
a
jX
L
U
R
R
+
j
U
C
U
I
E
E=U
U
C
- jX
C
U
I
в
=
-
а)
+
j
-jX
C
Z
jX
+1
в)
Рисунок 2.13 – Неразветвленная электрическая цепь
Анализ диаграммы сопротивлений позволяет перейти от алгебраической
формы записи комплексного сопротивления к тригонометрической и показа-
тельной формам:
67
sinZjcosZZ
R
RLC
R
;
(2.47)
где
2
XXRZmodZ – модуль комплексного сопротивления или
CL
j
eZZ ,
2
(2.48)
полное сопротивление;
XX
arctgZarg
В зависимости от знака величины
CL
– аргумент комплексного сопротивления.
XX
аргумент комплексного со-
CL
противления может быть либо положительным (индуктивный характер), либо
отрицательным (емкостный характер).
Подставив (2.48) в (2.46), получим закон Ома для неразветвленной цепи:
eII
U
Z
U
Z
jj
ui
e
,
(2.49)
Рассмотрим параллельную
-цепь (рисунок 2.12,а), к зажимам кото-
рой приложено напряжение, измеряющееся по гармоническому закону. Соглас-
но первому закону Кирхгофа в комплексной форме, ток источника определится:
IIII
. (2.50)
CLR
Токи отдельных участков можно представить, согласно закону Ома:
U
I
R
GU
;
I
L
U
jX
jBU
;
L
L
(2.51)
I
C
U
jX
jBU
.
C
C
где G – активная проводимость;
B,B – реактивные проводимости.
CL
Подставим (2.51) в (2.50):
68
RLC
G
+1+1+
j
j
IIIIUjB- jB
U
YUjBjBGUjBUjBUGUI
CLCL
где Y – полная комплексная проводимость разветвленной цепи.
. (2.52)
Для параллельной
мость запишется в виде:
где
B
U
a
I
I
arctgYarg
I
R
L
R
цепи (рисунок 2.12,а) ее комплексная проводи-
j
LC
22
BGYmodY – полная проводимость цепи;
eYBjGBBjGY .
– угол проводимости.
I
C
jX
L
- jX
C
(2.53)
C
R
в
L
а)
+
j
Y
б)
L
C
G
в)
Рисунок 2.12 – Разветвленная электрическая цепь
Треугольник проводимостей можно получить, если поделить все состав-
ляющие векторной диаграммы токов (рисунок 2.12,б) на
69
, полученные значе-
ния комплексных проводимостей изображаем на комплексной плоскости (ри-
)
)
сунок 2.12,в).
2.6 Энергетические процессы в цепях переменного синусоидального
тока
Рассмотрим двухполюсник, подключенный к источнику гармонического
колебания:
tsinUu
через который проходит ток, изменяющийся по закону:
tsinIi
Выражение для мгновенного значения мощности в двухполюснике имеет
вид:
Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармо-
ническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой
частоты напряжения и тока. Когда мгновенная мощность отрицательна, а это
имеет место, когда направления напряжения и тока в двухполюснике противо-
положны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания. Такой
возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически
,
um
.
im
tcosIUiup
21
.
(2.54
запасается в магнитных и электрических полях индуктивных и емкостных эле-
ментов, входящих в состав двухполюсника.
Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной
мощностью
T
P
Если учесть, что
T
0
то в выражение (2.55) запишется:
70
1
T
0
.
Вт
,dtp
,
02
dttcos
(2.55
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]