Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электротехника и электроника. Часть 1. Электрические цепи. Учебное пособие
.pdf
cosUIP .
)
2
2
)
0
0
Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не мо-
жет быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию),
(2.56
поэтому
пряжением на его зажимах может изменяться в пределах:
Это теоретически возможно для двухполюсника, не имеющего активных сопро-
тивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элемен-
ты. В реактивном двухполюснике активная мощность не потребляется, так как
в них не происходит необратимого преобразования энергии в другие виды
энергии. Здесь происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия
запасается в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора на
cos , т.е. угол сдвига фаз между током двухполюсника и на-
В случае, когда
0
.
, активная мощность двухполюсника равна нулю.
2
протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода
энергия вновь возвращается в сеть.
Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим
значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или элек-
трическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью.
В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид:
,sinUIQ
Она положительна при отстающем токе, когда
грузка) и отрицательна при опережающем токе (
Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике
широко используется понятие полной мощности:
,UIS .
реактивныеамперывольтвар
(индуктивная на-
- емкостная нагрузка).
амперывольтВА
.
(2.57
(2.58)
71
нием:
)
eUU
eII
.60)
I
I
I
U
2
2
jQ=jB U
Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотноше-
22
QPS .
(2.59
Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользу-
ясь комплексными изображениями напряжения и тока. Запишем ток и напря-
жение в комплексах действующих значений:
j
u
,
j
i
.
Тогда комплекс полной мощности:
*
jjj
eUIeIeUIUS
iuiu
(2
где
j
*
– комплекс действующего значения тока, комплексно-сопряженный с
комплексом тока
.
jQPsinUIcosUIeUI
.
Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольники
сопротивлений (рисунка 2.11) и проводимостей (рисунка 2.12). Если умножить
каждую из сторон треугольника сопротивлений на
2
, то получим стороны
треугольника мощностей (рисунок 2.13,а), для перехода к треугольнику мощно-
стей от треугольника проводимостей, нужно умножить каждую из его сторон
на
2
(рисунок 2.13,б).
+
j
-jQ = -jX I
C
2
S= Z I
P=P I
a)
+
C
j
2
S = Y U
jQ = jX I
L L
2
+1
2
P=G U
б)
2
+1
Рисунок 2.13 – Треугольники мощностей для неразветвленной
и разветвленной цепей
72
Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом
S
cos
C
I
cos
cos
мощности. Из приведенных выше треугольников видно, что коэффициент
мощности равен косинусу угла сдвига фаз между током и напряжением:
cos
.
(2.61)
Большинство электротехнических устройств синусоидального тока (элек-
тродвигатели, электрические печи, и т.д.) с активно-индуктивным характером
нагрузки (рисунок 2.14,а) имеют сильные магнитные поля, а, следовательно,
P
большое значение реактивной составляющей тока
I
(рисунок 2.14,б). Реак-
L
тивная мощность, обусловленная наличием реактивного тока, не совершая по-
лезной работы, приводит к дополнительным потерям в силовом оборудовании
и, следовательно, к завышению его установленной мощности. Для снижения
доли реактивной мощности в полной необходимо увеличить коэффициент
мощности
Если параллельно к нагрузке
в силовых электрических цепях.
Z (рисунок 2.14,в), включить конденсатор
H
, то общий ток
, как видно из векторной диаграммы (рис-
нок 2.14,г), приближается по фазе к напряжению, т.е. уменьшается, а
увеличивается. При этом реактивный ток и реактивная мощность цепи умень-
шатся.
Определим значение емкости C конденсатора, при которой коэффициент
мощности увеличится от значения
грузки
I
на активную
н
cos
cosII
нR
до значения
н
и реактивную
. Разложим ток на-
sinII
нL
составляю-
щие, которые между собой связаны соотношением:
tgII
.
нRL
(2.62)
73
б)
U
+1
+
j
+1
U
I
U
U
U
I
I
Z
H
I
а)
+
j
- jX
I
H
Z
C
H
г)
I
I
C
в)
R
I
H
I
H
I
R
I
L
U
I
С
I
L
U
Рисунок 2.14
Выражение (2.62) можно записать, используя треугольник мощностей,
как:
P
н
tg
.
н
Ток через конденсатор
I
L
I
компенсирует часть реактивной составляющей
C
тока нагрузки:
III
.
CLреакт
Из треугольника токов (рисунок 2.14,г) можно определить соотношение
между реактивной и активной составляющей общего тока
P
н
tgII
Rреакт
tg
,
(2.63)
(2.64)
:
(2.65)
или:
II
Из (2.66) с учетом (2.63) имеем:
74
P
н
tg
CL
.
(2.66)
U
U
U
P
U
~
IeIeIeIII
н
I
C
tg
P
н
tg
P
нн
tgtg
.
н
(2.67)
Так как ток конденсатора CUI
C
, то емкость C, на основании (2.67),
определится:
C
2
н
.
tgtg
(2.68)
P
н
Баланс мощностей в цепях синусоидального тока
Для схемы, изображенной на рисунке 2.11, запишем уравнение по второ-
му закону Кирхгофа (2.45). Умножим левую и правую части уравнения на со-
пряженный комплекс тока:
CL
**
IEIIjXIRIjX
.
(2.69)
Преобразуем (2.69):
22
S
IjXIR
,
(2.70)
где
*
2
~
XXX
– результирующее реактивное сопротивление цепи;
CL
jjj
PIR
2
*
– активная мощность потребителей схемы;
потр
jQIjX
– реактивная мощность потребителей схемы;
потр
jQРIES
– полная комплексная мощности источника.
истист
22
– квадрат модуля тока;
Уравнение (2.70) называется уравнением (условием) баланса комплекс-
ных мощностей. Таким образом, сумма комплексных мощностей, отдаваемых
всеми идеализированными активными элементами, равна сумме комплексных
мощностей всех идеализированных пассивных элементов.
Два комплексных числа равны, если равны по отдельности их веществен-
ные и мнимые части, следовательно, уравнение (2.70) распадается на два:
РP
потрист
,
jQjQ
.
потрист
(2.71)
Полученные равенства выражают законы сохранения активных и реак-
тивных мощностей: активная мощность, отдаваемая источниками, равна ак-
75
тивной мощности всех потребителей, реактивная мощность всех источников
Ф
Рисунок 2.15 - Индуктивно-связанные
равна реактивной мощности всех потребителей.
2.7 Цепи с индуктивно связанными элементами
Электрические цепи, содержащие элементы индуктивно связанные друг с
другом называют индуктивно связанными цепями. Взаимно индуктивная
связь катушек обуславливается связью их магнитных потоков и проявляется в
наведении ЭДС (называемой ЭДС взаимоиндукции) в катушке при изменении
11
i
1
Ф
12
близко расположенной катушке.
катушек, расположенных таким
тока, протекающего в другой,
Ф
S
1
образом, что магнитный поток,
вызванный током
тушки, пронизывает витки дру-
гой катушки (рисунок 2.15).
катушки
сцеплены с магнитным потоком самоиндукции
– с магнитным потоком взаимной индукции
за счет потока рассеяния
Ф – часть магнитного потока самоиндукции, кото-
1S
Ф , который отличается от 11Ф
Рассмотрим пример двух
i одной ка-
1
Витки первой катушки
Ф , а витки второй катушки
11
12
рая не пронизывает витки второй катушки. Из чего следует:
Аналогичный процесс возникает во второй катушке, если в ней появится
ток
i . Полные магнитные потоки катушек складываются из магнитных пото-
2
ков самоиндукции и взаимоиндукции:
Согласно закону Ленца, при изменении тока, в катушках индуцируются
ЭДС само- и взаимоиндукции:
76
ФФФ
;
21111
ФФФ
.
11211 S
ФФФ
.
12222
(2.71)
(2.72)
e
.74)
5)
.76)
.77)
1
dt
dФw
dФw
dt
dΨ
dt
dΨ
dt
2111211111
;
(2.73)
e
2
dФw
dt
dФw
dt
dΨ
dt
dΨ
dt
1222122222
.
Первое слагаемое уравнений (2.73) представляет собой ЭДС самоиндук-
ции, второе – ЭДС взаимоиндукции. Умножив и разделив каждое слагаемое на
di и 2di получим:
1
dΨ
e
1
di
1
11
di
dt
dΨ
di
211
2
di
2
dt
;
e
dΨ
2
di
22
2
di
dt
dΨ
di
122
1
В катушках без ферромагнитных сердечников магнитные потоки само- и
взаимоиндукции пропорциональны вызвавшим их токам, тогда:
Ψ
11
e
1
i
1
di
dt
Ψ
211
i
2
di
2
dt
;
e
Ψ
2
di
22
i
2
dt
Ψ
122
i
1
Уравнения (2.75) можно записать в следующем виде:
21
di
2
;
dt
di
Le
2
22
dt
M
12
Гн ;
Гн .
di
Le
где
L – собственная индуктивность катушек,
k
M – взаимная индуктивность катушек,
kn
1
11
M
dt
Собственные индуктивности катушек представляют собой отношения по-
di
di
dt
dt
di
1
1
dt
.
(2
.
(2.7
1
.
(2
токосцепления самоиндукции к вызвавшему их току, а взаимные индуктивно-
сти – отношения потокосцепления взаимоиндукции к вызвавшему их току:
Ψ
L
k
kk
;
i
k
Фw
kkk
i
k
M
.
kn
Фw
knk
i
n
(2
Знак в выражениях (2.72)-(2.77) зависит от направлений магнитных пото-
ков: плюс – при совпадении их направлений, когда поток взаимоиндукции со-
седней катушки усиливает общий магнитный поток катушки, такое включение
катушек называется согласным, ЭДС самоиндукции будет суммироваться с
ЭДС взаимоиндукции. Знак минус – при разнонаправленных потоках, включе-
ние катушек называется встречным, ЭДС взаимоиндукции будет вычитаться
77
из ЭДС самоиндукции. При анализе цепей с взаимной индуктивностью, необ-
12222221111
iiiMM
dt
dt
dt
dt
.78)
.79)
ходимо учитывать какой знак использовать в выражении (2.75). Направления
магнитных потоков можно определить, используя правило буравчика, если из-
вестны конструкции катушек, направления их намотки, а также направления
токов в них. Однако на принципиальных электрических схемах цепей с взаим-
ной индуктивностью условные обозначения катушек не отражают их конструк-
тивные особенности, поэтому для определения включения индуктивно связан-
ных катушек вводят понятие одноименных зажимов. Один из зажимов каждой
катушки на схеме помечают точкой или звездочкой. Этот знак означает, что
при согласном включении токи в катушках одинаково ориентированы по отно-
шению к их одноименным зажимам (рисунок 2.16,а). При встречном включе-
нии катушек токи ориентированы относительно одноименных зажимов различ-
но (рисунок 2.16,б), в этом случае ЭДС само- и взаимоиндукции вычитаются.
i
u
L
1
L
u
a)
u
L
L
б)
u
Рисунок 2.16 – Схемы включения индуктивно связанных катушек
Напряжения и токи в таких схемах связаны следующими отношениями:
di
Lu
11
di
21
M
;
di
Lu
22
di
12
M
(2
Степень магнитной связи между катушками оценивают коэффициентом
связи, который равен среднему геометрическому отношений потоков взаимо-
индукции к потокам самоиндукции катушек:
ФФ
k
.
M
2112
ФФ
2211
Используя выражение (2.72) получим выражение коэффициента связи:
78
(2
ФФ
.80)
.81)
k
.
M
2112
ФФФФ
221112
SS
(2
Из (2.80) следует, что коэффициент связи меньше единицы. Следует от-
метить, что коэффициент связи мог бы быть равным 1, если бы магнитные по-
токи само- и взаимоиндукции были бы равны (
ФФ,ФФ
), т.е. ко-
21221211
гда весь поток, создаваемый одной катушкой, полностью пронизывал бы витки
другой катушки. Однако на практике даже различные витки одной и той же ка-
тушки пронизываются разными потоками. Также коэффициент связи можно
выразить через индуктивности катушек и их взаимную индуктивность, подста-
вив (2.77) в (2.80):
Mi
121
w
w
1
Li
11
1
k
. (2
M
Mi
w
212
w
2
Li
2
22
MM
2112
LL
21
M
LL
21
Это выражение справедливо для индуктивно связанных катушек, у кото-
рых потоки самоиндукции и взаимоиндукции пропорциональны вызвавших их
токам, т.е. для катушек с линейной индуктивностью, у которых выполняется
условие:
MMM
2112
.
Из выражения (2.81) можно определить пределы, в которых изменяется
взаимная индуктивность:
0 LLM .
21
Таким образом, максимальное значение взаимной индуктивности кату-
шек не может превышать среднего геометрического их индуктивностей.
2.7.1 Анализ цепей с взаимной индуктивностью. В качестве примера рас-
чета цепей с индуктивно связанными элементами рассмотрим цепь, схема кото-
рой изображена на рисунке 2.17. Составим систему уравнений по законам
Кирхгофа:
79
1
.82)
R
RII
IME
L
212
2
333
LLM
21222
uui
iRR
C
-j
1
III
321
jjL
E
1
C
0
1
1
1
EILjIRIRIMj
23333221
EEIMjIRILjI
21322111
(2
j
Рисунок 2.17 – Цепь переменного тока с
индуктивно связанными элементами
Во втором и третьем уравнениях системы (2.82), кроме комплексов дей-
ствующих значений напряжений на ком-
1
плексных сопротивлениях участков цепи
также присутствуют слагаемые, которые
1
1
можно представить как комплекс дейст-
вующего значения напряжения на
MjZ
M
, называемом комплексным
сопротивлением связи, вызванные тока-
Рисунок 2.18
ми другой индуктивности. Напряжения на
сопротивлениях связи имеют знак «минус», т.к. включение индуктивностей –
встречное.
Проанализируем выполнение баланса мощностей в цепях с индуктивно
связанными элементами. Для цепи, изображенной на рисунке 2.18, запишем
систему уравнений по второму закону Кирхгофа:
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]