Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электротехника и электроника. Часть 1. Электрические цепи. Учебное пособие
.pdf
Общее условие резонанса для любого колебательного контура можно
сформулировать в виде
0
ZJm или
0
YJm , где Z и Y – комплексные со-
противление и проводимость двухполюсника. Следовательно, режим резонанса
полностью определяется параметрами элементов электрической цепи и не зави-
сит от внешнего воздействия на нее со стороны источников электрической
энергии.
Электрические цепи, в которых имеет место резонанс, называются резо-
нансными или колебательными. В зависимости от способа подключения ис-
точника энергии различают последовательный и параллельный колебательный
контуры.
2.9.1 Резонанс напряжений. Последовательный колебательный контур
представляет собой электрическую цепь, содержащую резистор, индуктивный и
емкостный элементы (рисунок 2.22,а), включенные последовательно с источни-
ком энергии. Из определения резонансного режима следует, что напряжение
источника, компенсирует потери энергии на активном сопротивлении цепи
UU
, а частичные напряжения на индуктивности и емкости равны
R
(
UU
). Данный вид резонансного режима называется резонанс напряже-
CL
ний, ему соответствует векторная диаграмма, изображенная на рисунке 2.22,б.
Важной характеристикой резонансного контура является его доброт-
ность Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном)
элементе к входному напряжению:
Q
U
U
U
L
C
U
L
0
,
1
(2.101)
CRR
0
и показывающая, во сколько раз частичные напряжения на емкостном элементе
и катушке индуктивности больше входного. Обычно добротность колебатель-
ных контуров радиотехнических устройств лежит в пределах от нескольких де-
сятков до нескольких сотен, поэтому частичные напряжения на индуктивном и
емкостном элементах могут во много раз превысить величину напряжения ис-
91
точника питания. Величина обратная добротности контура QD 1 называется
R
Q
+1
затуханием.
Другим параметром резонансного контура является характеристическое
сопротивление:
,
с учетом (2.101) выражение можно записать в следующем виде:
шется:
где
11
L
0
CR
R
C
00
L
.
(2.102)
C
Для цепи (рисунок 2.22,а) уравнение по второму закону Кирхгофа запи-
1
ZI
C
j
.
,
(2.103)
(2.104)
CLR
2
LRZ
LjRIUUUU
2
1
C
e
+
I
R
j
I
U
R
U
U
L
j
U
L
а)
Рисунок 2.22 – Последовательный колебательный контур
и векторная диаграмма напряжений
Анализ выражения (2.104) показывает, что резонансный режим в цепи,
возможен в случае, когда:
92
=0
u
б)
U
L
U
C
.
.
U
U
=
R
1
C
- j
C
=
i
C
1
C
L
( )
- X
( )
X, Z,
Ом
Рисунок 2.23 - Частотные характеристики
LRZ
,
(2.105)
из чего следует, что резонансный режим наступает вне зависимости от значе-
ния резистивного сопротивления R, а только при вариации одного из трех па-
раметров:
изменением частоты при постоянных значениях емкости и индуктив-
ности –
0
;
LC
1
изменением индуктивности при постоянных значениях емкости и час-
1
тоты –
L
0
изменением емкости при постоянных значениях индуктивности и час-
;
2
1
тоты –
C
0
.
2
Наибольший интерес представляет вариация частоты. Известно, что зна-
чения реактивных сопротивлений (2.33), (2.39) и реактивных проводимостей
(2.51) элементов цепи за-
висят от частоты. Зависи-
X
Z
( )
L
( )
мость сопротивления
X
L
R
0
0
- X
C
, рад/с
( )
реактивного и полного сопротивления цепи
Построим частотную характеристику
последовательного контура
93
C
(проводимости) элемента
цепи или контура от час-
тоты
называют час-
тотной характеристи-
кой сопротивления (про-
водимости) элемента или
контура и записывают
следующим образом:
X ;
B и т.д.
X реактивного сопротивления
XXX
CL
путём суммирования соот-
ветствующих ординат, предварительно построив частотные характеристики
0I
индуктивного
2.23,а). Точка пересечения кривой
частоту
резистивно - индуктивного (
изменения полного сопротивления цепи показан на рисунке 2.23,б.
Зависимость амплитудных или действующих значений токов и напряже-
ний на элементах контура от частоты называют резонансными кривыми или
амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) тока
жения
входе цепи от частоты называют фазо-частотной характеристикой
(ФЧХ) контура, т. е.
Исследуем зависимости тока, напряжений на элементах электрической
, которая разграничивает области резистивно-ёмкостного (
0
U . Зависимость угла сдвига фаз
L
LX
и ёмкостного
X и оси абсцисс определяет резонансную
0
.
CX
C
) характеров нагрузки контура. Характер
1
элементов (рисунок
) и
0
I или напря-
между напряжением и током на
цепи рисунка 2.22,а. Запишем уравнения, определяющие ток и напряжения на
реактивных элементах:
I
Сначала рассмотрим цепь при частоте, близкой к нулю. Реактивное ем-
костное сопротивление стремится к бесконечности
лю
равным нулю 0
X , напряжение на этом элементе: 0
L
дует, что все напряжение источника приложено к емкости
, следовательно, напряжение на активном сопротивлении также будет
U . Реактивное индуктивное сопротивление равно нулю
R
0
При резонансной частоте сумма реактивных сопротивлений равна нулю:
U
; LjIU
1
C
LjR
L
U . Из всего вышесказанного сле-
L
;
U
X , а ток в цепи к ну-
C
C
I
.
Cj
UU
.
C
XX , ток в цепи имеет максимальное значение
пряжений на индуктивности и емкости равна нулю: 0
зом, напряжение источника приложено к активному сопротивлению
94
0
CL
II
max
UU , таким обра-
CL
. Сумма на-
UU
.
R
0I
Рисунок 2.24 - Амплитудно-частотные
U
, рад/с
, град
Рисунок 2.25 - Фазо-частотная
I
, A
, B
U
U
C
( )
I
( )
U
L
При дальнейшем
увеличении частоты до
( )
бесконечности реактивное
индуктивное сопротивле-
ние стремится к бесконеч-
ности
0
0
, рад/с
X , что соот-
L
ветствует обрыву цепи, ток
стремится к нулю
характеристики
напряжение на резисторе
равно нулю 0
X , напряжение на нем также равно нулю 0
0
C
жение источника приложено к катушке индуктивности:
U . Реактивное емкостное сопротивление стремится к нулю
R
U , Следовательно, напря-
C
UU
.
L
На фазо-частотной характеристике при частотах ниже резонансной, когда
ёмкостное сопротивление преобладает над индуктивным, сопротивление по-
следовательного колебательного контура имеет активно-ёмкостный характер,
угол сдвига фаз между напря-
жением и током равен минус
0
90
900. А при частотах, выше резо-
,
нансной, полное сопротивление
кон тура становится активно-
- 90
0
0
0
индуктивным, стремясь к чисто
индуктивному с увеличением
частоты , угол сдвига фаз ме-
характеристика
жду напряжением и током равен
900. При резонансной частоте
характер нагрузки чисто активный, угол сдвига фаз будет равных нулю. Таким
образом, ФЧХ будет плавно возрастающей от минус 900 до плюс 900 (рисунок
2.25).
95
В чисто реактивном двухполюснике (
0R
+1
R
.
U
=
g
Y
) фазовый сдвиг меняется от
минус 90о до плюс 90о, но график будет ступенчатым, причем, чем больше доб-
ротность контура, тем ФЧХ ближе к ступенчатой.
2.9.2 Резонанс токов. При параллельном включении резистора, индуктив-
ного и емкостного элементов к источнику энергии (рисунок 2.26,а) образуется
параллельный колебательный контур, резонансный режим которого называется
резонансом токов.
Для электрической цепи рисунка 2.26,а уравнение по первому закону
Кирхгофа в комплексной форме запишется:
U
UIIII
11
LjR
LCCLR
YUBBjgUCj
,
(2.106)
I
I
R
I
C
I
L
- j
1
C
L
R
j
+
j
I
I
I
C
o
- 90
=
i
u
o
90
I
а)
б)
L
Рисунок 2.26 – Параллельный колебательный контур и
векторная диаграмма при резонансе токов
Из уравнения (2.106) следует, что полная проводимость цепи:
2
2
BBgY ,
LC
в случае резонанса будет минимальна и равна:
,
следовательно,
96
(2.107)
gUI
,
L
L
212
также будет иметь минимальное значение. При этом частичные токи катушки и
емкостного элемента определятся:
1
U
UI
,
(2.108)
где
U
C
CUI
CU
LC
C
– волновая или характеристическая проводимость контура.
L
U
C
,
L
L
Особый случай представляет цепь, в которой отсутствует резистор, тогда
ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, а
ток источника будет стремиться к нулю.
Из определения резонансного режима, и на основании (2.107) следует,
что:
1
BB
0 ,
LC
C
(2.109)
Идентичность выражений (2.105) и (2.108) указывает, что в обоих случаях
резонанса, резонансная частота для простейших схем с последовательным или
параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов определяет-
ся:
1
0
.
LC
2.9.3 Энергетические процессы при резонансе. Для режима резонанса на-
пряжений напряжение на ёмкостном элементе последовательного резонансного
контура:
2 ,
а энергия
W , запасаемая в электрическом поле конденсатора:
C
W , запасаемая в магнитном поле индуктивной катушки, и энергия
L
1
mLL
222
;
mCmCc
tsinILiLW
tcosIXtsinIXu
97
2
212
212
W
Рисунок 2.27 - Графики изменения
энергий на катушке индуктивности
и емкостном элементе
u
C
CW
C
mC
222
tcosIXC
.
После подстановки в выражение энергии
W характеристического сопро-
C
тивления (2.102):
1
mmC
22222
tcosILtcosICW
,
видно, что амплитуды колебаний магнитной и электрической энергии в реак-
тивных элементах контура одинаковы (рисунок 2.27).
Итак, при резонансе напряжений, в контуре происходит обмен энергией
между элементами L и C без участия в этом процессе источника, т.е. в ЭЦ
происходит разряд емкости на индуктивность.
В реальном же контуре
W
L
W
C
процесс обмена энергией между
элементами L и C сопровожда-
ется потреблением энергии ис-
точника, который, сообщив пер-
воначальный заряд конденсатору,
t,
c
впоследствии компенсирует толь-
ко потери энергии в активном со-
противлении R:
2
tiRW
R
.
Энергетические процессы в параллельном колебательном контуре при РТ
принципиально не отличаются от процессов, происходящих при резонансе на-
пряжений: также имеет место обмен энергиями магнитного и электрического
полей внутри контура.
2.10 Основные понятия о четырехполюсниках
Внешние выводы отдельных элементов или выделенных участков цепи, с
помощью которых осуществляется их соединение между собой, называются
полюсами. В зависимости от числа полюсов различают двухполюсники и n-
полюсники (рисунок 2.28).
98
1
1
3
4
3
1
a)
Рисунок 2.28 – Примеры двух- (а), трех- (б) и четырехполюсников (в)
Многополюсник – это участок идеализированной электрической цепи,
соединяющийся с остальной электрической цепью с помощью нескольких
полюсов. К многополюсным элементам можно отнести, например: триоды,
трансформаторы, усилители электрических сигналов, электрические фильтры,
линию электропередачи и т.д.
В общем случае многополюсники можно разделить на пассивные, кото-
рые не содержат идеализированных источников энергии и активные, в струк-
туру которых входят управляемые или неуправляемые идеализированные ис-
2
2
2
б) в)
точники энергии. Если в состав многополюсника входят только пассивные эле-
менты, или же он включает в себя еще и управляемые источники энергии, и при
этом токи короткого замыкания всех выводов многополюсника и напряжения
холостого хода между любой парой полюсов равны нулю, то такой многопо-
люсник называется неавтономным. Автономным многополюсником называ-
ется многополюсник, содержащий неуправляемые источники энергии, для ко-
торого выполняется следующее требование: при коротком замыкании полюсов
токи хотя бы части выводов, а при холостом ходе напряжения между какими-
либо полюсами не равны нулю.
2.10.1 Классификация четырехполюсников, методы определения первич-
ных параметров.
Четырехполюсник – это часть схемы произвольной конфигурации,
имеющая две пары зажимов, обычно называемых входными и выходными.
Как и все многополюсные элементы, четырехполюсники подразделяются
на: линейные и нелинейные, активные и пассивные, автономные и неавтоном-
99
ные. Кроме того, различают симметричные и несимметричные, уравновешен-
A
A
B
B
ные и неуравновешенные четырехполюсники.
К симметричным четырехполюсникам относятся такие четырехполюсни-
ки, у которых с помощью внешних измерений невозможно установить различие
между входными и выходными зажимами. То есть, при смене подключения
входных и выходных полюсов, токи и напряжения в цепи останутся неизмен-
ными. Соответственно, четырехполюсник, не обладающий такими свойствами,
называется несимметричным. Условием симметричности четырехполюсника
является его симметрия относительно вертикальной оси
(рисунок 2.29,а).
Четырехполюсники, схемы б и в которых приведены на рисунке 2.29,а, будут
считаться симметричными, в случае, если будет выполнять условие:
YY
.
31
ZZ
и
31
Достаточным условием уравновешенности четырехполюсника является
симметричность его схемы относительно продольной оси
, т.е. при замене
зажимов 1 и 2, 3 и 4, в уравновешенном четырехполюснике токи и напряжения
неизменны.
При анализе электрических цепей, содержащих четырех- и многополюс-
ные элементы, в систему уравнений электрического равновесия входят только
те токи и напряжения, которые связаны с внешними выводами. Соотношения,
определяющие взаимосвязи между токами и напряжениями на полюсах много-
полюсника, называются основными уравнениями, а коэффициенты данных
уравнений – первичными параметрами. Исследование четырехполюсников,
как правило, сводится к определению комплексных частотных и операторных
характеристик, в том числе нахождению первичных параметров.
Ограничимся рассмотрением только линейных пассивных четырехпо-
люсников, в состав которых не входят нелинейные элементы. Четырехполюс-
ник является передаточным звеном между источником энергии и нагрузкой.
Для записи его основных уравнений выделим в произвольной схеме ветвь с
единственным источником энергии и любую другую ветвь с некоторым сопро-
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]