Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фильтрация сигналов и согласование нагрузок. Учебное пособие
.pdf
Контрольныевопросыкглаве2
Tj
1
1
1
1
1
,
Z
вх
Однако при уменьшении |S2 | уменьшается значение затухания в полосе задерживания и, следовательно, фильтрация гармоник. Так, при
использовании фильтра Чебышева седьмого порядка (n = 7) с коэффициентом отражения |S2 | = 5 % значение LS = 40 дБ [10] обеспечивается начиная с частоты fS = 1,7fср (рис. 2.17, б). Следовательно, в диапазоне частот от fS /2 = 8,5 и до 10 МГц все гармоники передатчика
будут подавлены на 40 дБ. При использовании фильтра Кауэра шестого порядка (n = 6) с таким же значением коэффициента отражения
|S2 | = 5 % значение LS = 40 дБ (см. табл. 2.8) выполняется начиная с частоты fS = 1,41fср. При этом все гармоники будут подавлены на 40 дБ
в диапазоне частот от 7 до 10 МГц. Таким образом, за счет большей
крутизны частотной характеристики затухания фильтра Кауэра значение гарантированного затухания LS = 40 дБ достигается на более низкой частоте fS, что, в свою очередь, позволяет расширить диапазон частот, в котором гармоники будут подавлены в нагрузке.
В заключение главы следует заметить, что при фильтрации гармоник оконечного каскада (ОК) передатчика с помощью ФНЧ часть
полосы пропускания фильтра (от 0 до WS/2) не используется, то есть
фильтрующие свойства фильтра используются не полностью. Целесообразно рассмотреть использование для целей фильтрации гармоник полосно-пропускающих фильтров (ППФ), которые могут быть
рассчитаны так же, как и фильтры верхних частот (ФВЧ) с помощью
преобразования частоты.
Контрольные вопросы к главе 2
2
1. Удовлетворяет ли функция
()
ской реализуемости?
2. Докажите, что полюсы функции
ся в левой части р-плоскости.
3. Напишите формулу коэффициента отражения для генератора
с внутренним сопротивлением
с входным сопротивлением
Tjn()
условиям физиче-
2
n
2
располагают-
2
нагруженного на фильтр
.
51
2.Синтезфильтровнижнихчастот
Sj() ,.05
ppp
2221
32
4. Определите долю мощности, поступающую в нагрузку LCфильтра, если модуль коэффициента отражения на его входе
5. Определите проводимость, к которой стремится функция
()
p
2
pp
221
при частоте р → ∞.
6. Каково минимальное значение коэффициента отражения
фильтров Чебышева?
7. Какие из трех фильтров: Баттерворта, Чебышева или Кауэра —
обеспечивают лучшее подавление сигналов в полосе задерживания?
52
3. Преобразования частоты
v
.
1
1221
3
.
6
L
1111
ля расчета фильтров верхних частот (ФВЧ) или полосно-пропускающих фильтров (ППФ) необходимо заменить частот-
Д
пускания и задерживания располагались там, где это нужно для ФВЧ
или ППФ. Затем необходимо найти структуру фильтров и рассчитать
величины их элементов.
3.1. Преобразование ФНЧ в ФВЧ
ную переменную ФНЧ таким образом, чтобы полосы про-
Заменим в функции передачи ФНЧ, например (2.4), частотную пе-
ременную р на частотную переменную v = 1/p:
p
()
32
22
ppp
при
pv
/
1
32
vvv
Квадрат модуля функции передачи при v = jW описывается соот-
ношением
2
6
Tj()
Амплитудно-частотные характеристики ФНЧ и ФВЧ показаны
на рис. 3.1.
Для того чтобы найти структуру и величины элементов ФВЧ, рассмотрим, как изменится, например, нормированная индуктивность
фильтра нижних частот при замене в ее сопротивлении частотной переменной р на частотную переменную v = 1/p:
p
LL
v
v
,
v
C
53
3.Преобразованиячастоты
L
p
C
v
CL
1.
W
2
0 1
ФНЧ
ФВЧ
то есть индуктивное сопротивление со значением
превращается
при такой замене в сопротивление емкости со значением
чение нормированной емкости
1
n = 3(ФНЧ)
n = 3 (ФВЧ)
0,5
Рис. 3.1. Преобразование ФНЧ в ФВЧ
На рис. 3.2 показаны схемы четырех фильтров ФНЧ и ФВЧ, свя-
занных этими соотношениями.
1
1
~
a
2
a
a
3
1
U
1
p = 1/v
2
®
U
1
1
1/a
~
1/a
2
1/a
1
1
3
а зна-
U
2
a
i
ФНЧ
a
1
1
1
a
a
3
2
U
2
1
~
Рис. 3.2. Преобразования структур и значений элементов ФНЧ
в структуры и значения элементов ФВЧ
®
®
1/a
U
i
ФВЧ
1/a11/a
1
1
~
1/a
3
U
2
1
2
В качестве примера расчетов ФНЧ и ФВЧ выполним расчет филь-
тра Баттерворта 3-го порядка (рис. 3.3), задав для простоты вычислений значение круговой частоты среза wср = 10 8 рад/с и равные значения сопротивлений генератора и нагрузки Rг = Rн = 50 Ом.
54
3.2.ПреобразованиеФНЧвППФ
R
ср ср
1
1000
ср
,
L
R
250101
LL
R
1
150
/
,
ср
,
1
05
100
/,
.
Денормирование значений элементов фильтров выполним по соот-
ношениям (1.20)
Ci
i
и
R
Li
L
i
:
§ для ФНЧ
2
2
ср
§ для ФВЧ
2
1
1
~
®
1
1
~
ФНЧ
ФВЧ
1
2
R
ср
1
13
86
10
13
812
10 50
2
1
0,5
1
1
1
R
1
мкГн
1
10 50
100
812
;
86
100510
пФ
10
U
2
1
U
денормирование
®
U
2
U
510
50 Ом
1
200 пФ
~
50 Ом
1
~
05
,
200
мкГн
1 мкГн
200 пФ
100 пФ
0,5 мкГн0,5 мкГн
пФ
50 Ом
50 Ом
U
U
2
2
Рис. 3.3. Преобразование ФНЧ в ФВЧ и денормирование
Следует отметить, что частота среза fср у того и другого фильтра
(ФНЧ и ФВЧ) одна и та же: fср = 100/6,28 = 15,92 МГц. Полоса пропускания располагается у ФНЧ от 0 до 15,92 МГц, у ФВЧ — от 15,92 МГц
до бесконечности.
3.2. Преобразование ФНЧ в ППФ
Для того чтобы понять «происхождение» преобразования ФНЧ
в ППФ, рассмотрим характеристики последовательного конту-
55
3.Преобразованиячастоты
Ij
/.
L
C
Z(jw)
Zj
LC
11
x
L
x L
L
x
C
x C
C
1
x
r
x
,
ра. Запишем соотношение для тока в последовательном контуре
(рис. 3.4):
~
UZj
i
(3.1)
r
Рис. 3.4. Схема последовательного контура
Сопротивление последовательного контура Z(jw):
rjxx rjx
где
— реактивное сопротивление индуктивности,
jC
rjL
активное сопротивление емкости,
rj L
,
C
(3.2)
;
— ре-
; х — реактивное сопро-
тивление контура.
Частотные характеристики составляющих сопротивления после-
довательного контура показаны на рис. 3.5.
L
r
w
0
Рис. 3.5. Частотные зависимости сопротивлений последовательного контура
x
w
x
C
На резонансной частоте w0 реактивное сопротивление контура x
равно нулю:
1
0
0LC
0
56
3.2.ПреобразованиеФНЧвППФ
LC
0
2
,
Ij
jU
00
//.
Ur
Zj
/
()
.
Zj
L
rC
0
1
Zj
Zj
.
1
1
.
вн
,
w
н
следовательно,
1
(3.3)
сопротивление контура становится чисто активным и равным r, а ток
в контуре
UZ
r
(3.4)
Поделим соотношение (3.1) на (3.4) и запишем нормированную
функцию:
/( )
UZj
j
r
(3.5)
Преобразуем соотношение (3.2) с учетом выражения (3.3):
L
rjL
1
jC
rj
rjQ
1
1
00
0
0
r
,
0
0
(3.6)
где Q — добротность контура,
Поделив
сопротивления контура:
Подставим выражение (3.4) в (3.5) и, для того чтобы не затруднять
преобразования выражениями в радикалах, запишем квадрат модуля
полученного соотношения:
График полученной зависимости показан на рис. 3.6.
Отсчитывая полосу пропускания контура
верхнюю в и нижнюю
ность в сопротивлении r уменьшится в два раза, получим уравнение,
на r, получим соотношение для нормированного
норм
Tj
2
1
jQ
граничные частоты по уровню, когда мощ-
Zj
r
0
0
r
1
2
0
jQ
1
Q
.
0
2
0
(3.7)
(3.8)
2
0
0
а также ее
57
3.Преобразованиячастоты
Tj
0
1
1
.
2
|T(jw)|
0
1
Q
.
QQ
.
вн0
2
,
вн0
QrL.
которое связывает граничные частоты и полосу пропускания с резонансной частотой и добротностью контура:
2
2
Q
1
(3.9)
2
2
0
1
0,5
w
0
Рис. 3.6. Частотная характеристика последовательного контура
w
Н
w
0
В
Из выражения (3.9) получим
w
0
или
2
0
2
0
0
(3.10)
Решение уравнения (3.10) примет вид
1
в,н
1
0
4
1
(3.11)
2
2
Из выражения (3.11) получим
Можно показать, что произведение частот, отсчитанных на любой
(3.12)
(3.13)
высоте от 0 до 1 от оси частот, всегда будет удовлетворять соотношению (3.12). Такой вид симметрии характеристик называют геометрической симметрией [3].
58
3.2.ПреобразованиеФНЧвППФ
ПФ
,
Zj
ПФ
0
,
Tj
1
.
,
Zj jr j
() 1 ,
1
1
.
L
1
н
=1
.
ср
В дальнейшем используем для обозначения текущей частоты этого простейшего ППФ индекс «ПФ»:
а также преобразуем соотношения (3.7) и (3.8), подставив в них значение Q из (3.13):
0
ПФ
2
норм ПФ
1
1
j
0
ПФ
0
ПФ
ПФ
0
(3.14)
(3.15)
2
0
Если ввести нормированную переменную
0
ПФ
0
0
(3.16)
ПФ
которую называют обобщенной расстройкой контура [7], соотношения (3.14) и (3.15) можно записать в виде
Tj()
2
(3.18)
2
(3.17)
Lнорм норм
Соотношения (3.17) и (3.18) описывают простейший фильтр нижних частот (ФНЧ) с нормированными значениями индуктивности
и активного сопротивления
(рис. 3.7, а). Составляющие его
входного сопротивления (3.17) показаны на рис. 3.7, б, а квадрат модуля функции передачи — на рис. 3.7, в.
Нормированную переменную ФНЧ
как отношение текущей частоты ФНЧ
можно представить так же,
к частоте среза ср:
Ниже приведем порядок преобразования ФНЧ в ППФ.
Если приравнять частоту среза ФНЧ
ППФ
из соотношений (3.17), (3.19) можно найти связь частотных
переменных ФНЧ
и ППФ ПФ:
(3.19)
ср
к полосе пропускания
59
3.Преобразованиячастоты
ср
ПФ
ПФ
0
00
2
.
ПФ
vj
s
2
.
0 1
0 1
s
s
2
0
,,
LC
0
2
.
0
ПФ
ПФ
(3.20)
Заменив в соотношении (3.30) частоты ω и ω
ПФ
на
и
установим связь между комплексными частотами ФНЧ и ППФ:
а
u
~
б в
r
н
x
L
1
Z (jw)
норм
1
vv
i
(3.21)
|T(jW)|
2
0
1
L
x = W
r
1
Рис. 3.7. Схема ФНЧ, полученного из последовательного контура
и его частотные характеристики:
а — схема ФНЧ; б — частотные зависимости активного rн и реактивного XL сопротивлений;
в — частотная зависимость квадрата модуля функции передачи
н
W
0,5
W
,
Соотношение (3.21) позволяет найти структуру и величины элементов ППФ, если известна структура и величины элементов ФНЧ.
Например, сопротивление индуктивности sL или проводимость емкости sС при такой замене переменных запишутся следующим образом:
LvL
CvC
где так же, как в формуле (3.3),
60
0
LvL
v
2
0
CvC
v
1
1
v
2
L
0
1
1
v
2
C
1
vL
vC
1
vC
1
vL
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]