Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фильтрация сигналов и согласование нагрузок. Учебное пособие
.pdf
1. Основные законы теории
I
U
U
I
.
R
+
U
R
I
E
R
1
линейных электрических цепей
1.1. Использование законов Ома и Кирхгофа
для расчета линейных цепей
1.1.1. Резистивные цепи на постоянном токе
акон Ома позволяет по двум величинам для анализируемой
цепи (рис. 1.1), рассчитать третью:
З
R
= = =;;
UIRR
R
и
R
(1.1)
-
Рис. 1.1. Схема к использованию закона Ома
В простейшем случае законы Кирхгофа можно проиллюстрировать с помощью рис. 1.2. На рисунке отмечен узел 1, соединяющий
элементы в замкнутый контур.
+
-
Рис. 1.2. Схема к определению законов Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Например, все вытекающие токи учитываются со знаком
+
I
U
R
-
11
1.Основныезаконытеориилинейныхэлектрическихцепей
i
It
n;
22
u
T
Ut
n,
22
fT= 1
2 f
I
mm
0
0
n.
U
2
.
«+», а втекающие — со знаком «–». В примере (рис. 1.2) — втекающий
в узел 1 ток –I, а +I — вытекающий; сумма токов равна нулю.
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений в любом контуре равна нулю. Действительно, учитывая знаки напряжений
в контуре по часовой стрелке, можно получить –Е + UR = 0 или E = UR.
1.1.2. Характеристики элементов цепей на переменном токе
В параграфе 1.1.1 рассмотрены законы Ома и Кирхгофа на примере резистивных цепей на постоянном токе. Однако на переменном
токе большинство нагрузок не являются резистивными, а содержат реактивные составляющие индуктивного или емкостного характера. Их
характеристики необходимо каким-то образом учитывать при расчетах, поэтому рассмотрим законы Ома и Кирхгофа в приложении к цепям синусоидальных токов и напряжений [6, c. 109]:
tI
() sinsin si
mmm
tU
() sinsin si
mmm
tI ft
tU ft
(1.2)
где Im — амплитуда синусоидального тока; Um — амплитуда синусоидального напряжения; T — период повторения; f — частота,
ω — круговая частота,
.
О величине тока судят обычно по действующему (среднеквадратичному) значению за период [7, с. 32]. Действующее значение синусоидального тока:
T
11 1
2
idt
T
T
22
It
si
m
T
2
I
2
T
I
T
2
Рассчитаем действующее значение синусоидального напряжения
по формуле
m
=
Для резистора ток и напряжение совпадают по фазе (рис. 1.3) и соотношения (1.1) остаются в силе:
;
12
R
Ut
It
m
sin
R
U
U
m
.
i(t), u(t)
u
C
;
1
u
di t
dt
()
.
u
C
I
C
I
C
mm
);
1
2
u
dI t
dt
It
mm
(sin())
().
2
p 2,
e tjt
jt()
cos( )sin().
или
1.1.ИспользованиезаконовОмаиКирхгофадлярасчеталинейныхцепей
m
sin
m
= =
I
I
ULURU
T
Рис. 1.3. Временные синусоидальные графики
C
U
m
I
m
t
В электрических цепях, кроме резисторов, используются конденсаторы с емкостью С и катушки индуктивности, обладающие индуктивностью L. Для них связь между токами и напряжениями определяется интегрально-дифференциальными соотношениями
t
() ()
C
tL
()
L
itdt
=
(1.3)
(1.4)
Подставив в формулы (1.3) и (1.4) значения, выраженные через синусоидальные функции (1.2), получим
t
() sin( )cos() sin(
Cm
tL
()
L
Таким образом, напряжение на емкости отстает по фазе от тока
на угол
а напряжение на индуктивности опережает ток на тот же
угол (рис. 1.3).
Представим синусоидальную функцию как проекцию вращающегося вектора комплексного числа (рис. 1.4):
Itdt
m
LI tL
cos( )sin
t
t
(1.5)
(1.6)
13
1.Основныезаконытеориилинейныхэлектрическихцепей
Jm
C
;
Lm
.
e jj
22
,
e jj
22
,
C
;
L
,
Z
C
Z
jCxj
C
1
Z
L
ZjLj
LL
x
C
x
C
1
x
L
+j
sin(ωt+ϕ)
ωt+ϕ
+–
Re
cos(ωt+ϕ)
–j
Рис. 1.4. Проекции единичного вектора на горизонтальную и вертикальную оси
Запишем выражения (1.5), (1.6) в комплексном виде
jt
jt
2
2
I
m
C
e
Ie
Учтем, что
j
2
и
cossin
j
2
1
j
cossin
и получим
I
где
LmLm
— комплексное емкостное сопротивление
m
C
jC
LI ZI
— комплексное индуктивное сопротивление,
емкостное сопротивление,
14
C
I
ZI
Cm
а
G
I
а
G
C
C
x
;
— индуктивное сопротивление,
jx
;
;
—
1.2.Характеристикицепей,состоящихизL‑,C‑,R‑элементов
x L
L
G
C
GC
C
G
L
G
L
1
s j.
Z
C
Zs
sC
1
Z
L
Zs sL
L
()=
G
C
Gs sC
C
()=
G
L
Gs
sL
1
;
— емкостная проводимость,
;
— индуктивная про-
водимость,
L
.
1.2. Характеристики цепей,
состоящих из L‑, C‑, R‑элементов
1.2.1. Применение преобразования Лапласа
к расчету характеристик линейных цепей
Если для анализируемой электрической цепи составлена система
интегрально-дифференциальных уравнений и к ней применяется преобразование Лапласа, получается система алгебраических уравнений —
изображений. Такая система решается гораздо проще, чем система
интегрально-дифференциальных уравнений. С помощью обратных
преобразований полученных решений можно получить оригиналы —
искомые функции времени.
Комплексные сопротивления и проводимости преобразуются в операторные заменой входящих в них произведений jw на оператор
С помощью понятия оператора (комплексной частоты) получаем возможность рассмотреть характеристики электрических цепей не только
на одной частоте, но и в переходном режиме, когда колебания в цепи
еще не установились. Особенно простые выражения получаются при
нулевых начальных значениях (напряжения на емкостях и токи в индуктивностях равны нулю). В этом случае, умножая изображение функции на оператор, получаем изображение ее производной; деля изображение функции на оператор, получаем изображение ее интеграла.
Для расчета цепей достаточно принять, что индуктивность и емкость определяются следующими соотношениями:
— операторное емкостное сопротивление,
— операторное индуктивное сопротивление,
— операторная емкостная проводимость,
— операторная индуктивная проводимость,
()=
C
L
()=
;
;
;
.
15
1.Основныезаконытеориилинейныхэлектрическихцепей
3
sL
Z(s)
Us
1
()
,
Us
23
()
.
11
() ()= (),
Zs()
Zs
RsLsC
RsL
()()
.
32 1
13212
1
R
RsL
R
23
13212
13
12
11
.
1.2.2. Расчет характеристик Г‑образного звена
Для схемы (рис. 1.5) с помощью закона Ома определим функции
передачи T(s) и входного сопротивления Z(s).
2
U
1
I
1
Рис. 1.5. Схема к определению характеристик электрических цепей
1/sC
U
3
1
I
R
3
Функция передачи — отношение выходного параметра к входному:
3
=
s
Is()()
1
где
IsR
()
333
()
sL R
R
3
В свою очередь,
где
— входное сопротивление:
Из уравнения (1.7) получим
Входное сопротивление определяется отношением многочленов.
Определим корни знаменателя (полюсы — значения комплексной частоты, в которых эти функции обращаются в бесконечность) и корень
числителя (нуль — значение комплексной частоты, на которой входное сопротивление обращается в ноль). Преобразуем функцию входного сопротивления Z(s) к нормальному виду:
16
()
()
s
sL R
32 1
RsLsC
3
sC RsCL
11
32
32
sC RsCL
3
sC RsCL
(1.7)
(1.8)
2
1.3.Свободныеколебаниявэлектрическихцепях
Zs
1
12
s
0
s
R
2
s
12,
s
j
CL
R
L
212
3
2
2
1
2
jw
R
3
s
2
s
,
R
L
здесь
RsL
32
sC RsCL C
1
13
2
1
C
ss ss
1
12 1
ss
0
— нуль функции входного сопротивления,
люсы функций передачи и входного сопротивления,
j
CL
2
1
2
R
3
.
2
L
2
L
2
3
212
1
s
CL
0
3
;
— по-
L
R
3
12
,
L
2
Нули и полюсы (рис. 1.6) располагаются на комплексной плоскости s, на реальной оси или симметрично относительно нее (комплексно-сопряженные). Обратите внимание на то, что и нули, и полюсы функций электрических цепей располагаются в левой части
s-плоскости, то есть имеют отрицательную вещественную часть. Это
означает, что цепь имеет потери.
s
1
s
0
s
2
Рис. 1.6. Расположение полюсов и нуля входного сопротивления
1.3. Свободные колебания в электрических цепях
Рассмотрим свободные колебания при подключении индуктивности, по которой протекает ток, к сопротивлению.
s
17
1.Основныезаконытеориилинейныхэлектрическихцепей
1
IL
2
.
u u
LR
0;
u
di t
dt
LR
;.
L
dt
0.
i tA
st
,
st
0.
а б
i(t)
I
0
R
Рис. 1.7. Схемы к анализу колебаний:
а — при рассеивании запасенной энергии; б — для определения функции передачи
SA
2
e(p)
L
sL
R
i(s)
~
В индуктивности схемы, когда индуктивность была подключена к источнику тока I0 (на рис. 1.7, а ключ SA в положении 1), запаслась энергия
0
=
После подключения индуктивности к резистору R (ключ SA в положении 2) энергия W должна в нем рассеяться. Для отыскания закона изменения тока в цепи запишем в соответствии со вторым законом Кирхгофа:
L
(1.9)
uRit
(1.10)
Подставив выражения (1.10) в (1.9), получим
Выражение (1.11) — линейное однородное дифференциальное
уравнение первого порядка, решение которого сводится к подбору такой функции i (t), производная которой отличалась бы от самой функции лишь постоянным множителем. Таким свойством обладает показательная функция
где A — произвольная постоянная.
Подставив выражения (1.12) в (1.11), получим соответствующее
характеристическое уравнение:
Уравнение (1.13) имеет два решения:
18
di t
Ri t
sL RAe
e
(1.11)
(1.12)
(1.13)
1.3.Свободныеколебаниявэлектрическихцепях
s
R
.
I
0
AI=0.
i
eI
t
00
,
L
0 t 2t 3t
i(t)/I
is
()
,
s
R
.
1. А = 0 — описывает состояние покоя i(t)=0.
2. sL + R = 0, откуда
(1.14)
Приравняв значение тока в момент времени равный нулю к
дем значение постоянной
Тогда частное решение дифференци-
ального уравнения (1.11) запишем в виде
tI
где τ — постоянная времени,
R
t
L
.
e
(1.15)
Графически решение выражения (1.15) представлено на рис. 1.8.
0
1,0
0,5
0,368
0,05
t
, най-
Рис. 1.8. Изменение тока в индуктивности с течением времени
Запишем для цепи (рис. 1.8, б) функцию передачи:
где
1
s
es RsLLss
111
(1.16)
1
Интересно отметить совпадение значений полюса функции передачи (1.16) схемы (см. рис. 1.7, б) и решения дифференциального
уравнения (1.14). Совпадение соотношений имеет ясный физический
смысл: свободные колебания в линейных L‑, C‑, R-цепях могут только уменьшаться (затухать) во времени.
Для функций входных, выходных сопротивлений и проводимостей подобные ограничения называются условиями физической реа-
19
1.Основныезаконытеориилинейныхэлектрическихцепей
1
,Г
wср.
R3:
Ts
R
3
.
s
jp
CC
,
wср,
ср
s
a
C
w
ср
CCR
13
лизуемости (УФР): нули и полюсы этих функций могут располагаться только в левой части комплексной плоскости (см. рис. 1.6). То же
самое можно сказать о полюсах передаточных функций.
1.4. Нормирование функций электрических цепей
Часто цепи имеют одинаковую структуру и похожие частотные характеристики и отличаются только частотами и сопротивлениями генератора или нагрузки. Целесообразно не рассчитывать каждую цепь
заново, а один раз синтезировать ее под нормированные значения,
а затем по простым формулам пересчитывать для требуемой частоты
и сопротивления.
Обычно для нормировки выбирают сопротивление 1 Ом и угло-
0159
вую частоту 1 рад/с
2
синтезе цепи иметь дело с очень большими или очень малыми числами. Для преобразования нормированных величин в реальные их необходимо умножить на коэффициент преобразования, определяемый
значениями сопротивления нагрузки и частоты среза
ц
, что исключает необходимость при
Нормируем функцию передачи Г-образного звена (см. рис. 1.5).
Поделим обе части выражения (1.8) на
1
RsCR sCL
313
1
2
12
1
sC R
13
1
sC RpL
13 2
(1.17)
В уравнении (1.17) преобразуем второе слагаемое знаменателя:
CR jCRj CR
13 13 13
ср
ср
где Ω — частота, нормированная к значению частоты
комплексная нормированная частота,
p
ср ср ср
j
;
мированное значение емкости (отношение сопротивления нагрузки
к значению сопротивления емкости на частоте
20
),
ср
; р —
— нор-
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]