Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фильтрация сигналов и согласование нагрузок. Учебное пособие
.pdf
2.4.Аппроксимацияамплитудно‑частотныххарактеристикполиномиальныхфильтровполиномамиЧебышева
1
α
2
2
Окончание табл. 2.2
n a
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
10
6 0,5176 1,414 1,932 1,932 1,414 0,5176
7 0,4450 1,247 1,802 2,000 1,802 1,247 0,4450
8 0,3902 1,111 1,663 1,962 1,962 1,663 1,111 0,3902
9 0,3473 1,000 1,532 1,879 2,000 1,879 1,532 1,000 0,3473
10 0,3129 0,9080 1,414 1,782 1,975 1,975 1,782 1,414 0,9080 0,3129
Значения элементов, приведенные в табл. 2.2, позволяют рассчи-
тывать фильтры, изображенные на рис. 2.9.
а
U
1
~
б
1
α
2
α
1
1
α
3
α
3
U
1
U
U
1
α
2
1
~
Рис. 2.9. Исходная (а) и дуальная (б) схемы ФНЧ
В подглавах 2.1–2.3 рассмотрены задачи аппроксимации и реализации ФНЧ Баттерворта. Существуют фильтры, АЧХ которых лучше
(при одинаковом порядке фильтра) описывают идеальную АЧХ, — это
фильтры Чебышева и Кауэра.
2.4. Аппроксимация амплитудно‑частотных
характеристик полиномиальных фильтров
полиномами Чебышева
В 1854 году Пафнутий Львович Чебышев опубликовал работу «К теории механизмов, известных под названием параллелограммы». Одним из интересных решений этой работы стали полиномы, получившие в дальнейшем название полиномов Чебышева. Это — полиномы,
значения которых на интервале переменной x (в нашем случае W) от –1
41
2.Синтезфильтровнижнихчастот
Fn
n
() cosarccos.
F
F
4
42
21
43
() ,
.
FFF
nnn
11
2 () ()
Tj
()
.
1
1
1
до 1 не превышают значения ±1, а за пределами этого интервала возрастают (убывают) быстрее всех других полиномов:
Например, первые четыре полинома записываются следующим
образом:
1
F
() ,
2
F
() ,
3
()
881
2
3
(2.15)
Используя рекуррентную формулу
[8], мож-
но вычислить полином произвольного порядка n. Следует отметить,
что полиномы нечетного порядка на частоте W = 0 имеют значение 0,
а полиномы четного порядка имеют значение ±1.
Графики полиномов F1(W), F2(W), F3(W) приведены на рис. 2.10.
F (W)
3
F (W)
2
F (W)
1
1
W
0
1-1
-1
Рис. 2.10. Графики полиномов Чебышева
По аналогии с выражением (2.2) квадрат модуля функции передачи с использованием полиномов Чебышева можно записать в следующем виде:
()
42
2
22
F
1
()
n
1
F
(2.16)
2
n
2.4.Аппроксимацияамплитудно‑частотныххарактеристикполиномиальныхфильтровполиномамиЧебышева
1
.
РР
Р
max
max
.
min
W
1-1
-0,5 0,5 0,866-0,866
2
|T(jW)|
2
max
|
0
L
FF
nn
)().
11
11
2
2
10
,
(/)
L
min
2
Параметры аппроксимации [5] e и d в соотношении (2.16) связа-
ны очевидным соотношением
2
Причем величина d является удобной характеристикой для оцен-
ки пульсации мощности в нагрузке в полосе пропускания:
maxmin
111
Р
min
|()|
Р
Tj
2
(2.17)
В соотношении (2.17) учтено, что минимальное в полосе пропу-
скания значение мощности
достигается на частоте среза фильтра
при W = 1. В качестве примера на рис. 2.11 приведен график квадрата
модуля функции передачи при n = 3.
1
1-d
|S(jW)|
|S
Рис. 2.11. Квадраты модуля функций передачи и отражения
с использованием полинома Чебышева третьего порядка (n = 3)
2
В литературе [10]– [15] часто используют частотную характеристи-
ку затухания фильтра LA, дБ:
10 lg
A
Частотная характеристика затухания фильтра третьего порядка
приведена на рис. 2.12.
С учетом соотношения (2.6) связь уровней пульсации мощности
можно установить с помощью следующего соотношения:
1
()
Tj
10 lg( 10 lg
2
|| ||
TS
22 2
()
A
10
1
43
2.Синтезфильтровнижнихчастот
min
2
min
2
= 1
2
2
2
A
1
0,5 0,866
L , дБ
A
дБ;
2
A
дБ;,%.
2
где
в полосе пропускания,
|T
— минимальное значение квадрата модуля функции передачи
;
— максимальное значение ква-
драта модуля функции коэффициента отражения в полосе пропускания;
— значение пульсаций мощности в полосе пропускания, дБ.
A
DL
A
W
0
Рис. 2.12. Частотная характеристика затухания при n = 3
Минимальное значение коэффициента отражения таких фильтров
является вещественной величиной S1 = 0.
Связь уровней пульсации мощности
а также коэф-
фициента стоячей волны по напряжению КСВН представлена
в табл. 2.3.
Связь коэффициента отражения с параметрами неравномерности АЧХ фильтров
Коэффициент
отражения |S2 | %
ΔL
Параметры неравномерности АЧХ
, дБ
A
d
КСВН
1 0,00044 0,0001 1,02
5 0,011 0,0025 1,105
10 0,044 0,01 1,222
25 0,28 0,0625 1,667
31,6 0,46 0,1 1,926
50 1,24 0,25 3,0
70,7 3,1 0,5 5,84
В табл. 2.4–2.6 [10] приведены значения нормированных элементов
ФНЧ с чебышевскими АЧХ для некоторых значений уровней пульсаций
44
При синтезе фильтров четного порядка n = 4, 6, 8 ис-
Таблица 2.3
2.4.Аппроксимацияамплитудно‑частотныххарактеристикполиномиальныхфильтровполиномамиЧебышева
пользованы модифицированные полиномы Чебышева, значения которых на частоте W = 1 равны нулю, что позволило синтезировать фильтры,
нагруженные с обеих сторон на сопротивления равные единице.
Таблица 2.4
Значения элементов при ΔL
n a
1
a
2
a
3
a
4
3 0,6395 0,9786 0,6395
4 0,6349 1,203 1,203 0,6349
5 0,7664 1,310 1,588 1,310 0,7664
6 0,7275 1,380 1,607 1,607 1,380 0,7275
7 0,8068 1,397 1,757 1,634 1,757 1,397 0,8068
8 0,7670 1,433 1,718 1,754 1,754 1,718 1,433 0,7670
9 0,8242 1,431 1,813 1,712 1,913 1,712 1,813 1,431 0,8242
Значения элементов при ΔL
n a
1
a
2
a
3
a
4
3 0,8533 1,1036 0,8533
4 0,7994 1,354 1,354 0,7994
5 0,9732 1,372 1,803 1,372 0,9732
6 0,8989 1,478 1,721 1,721 1,478 0,8989
7 1,010 1,437 1,941 1,622 1,941 1,437 1,010
8 0,9430 1,507 1,828 1,808 1,808 1,828 1,507 0,9430
9 1,025 1,462 1,985 1,677 2,066 1,677 1,985 1,462 1,025
= 0,011 дБ; |S2 | = 5 %
A
a
5
= 0,044 дБ; |S2 | = 10 %
A
a
5
a
6
a
6
a
7
a
7
a
8
Таблица 2.5
a
8
a
9
a
9
Таблица 2.6
n a
Значения элементов при ΔL
1
a
2
a
3
a
4
= 0,28 дБ; |S2 | = 25 %
A
a
5
a
6
a
7
a
8
3 1,3451 1,1412 1,3451
4 1,146 1,513 1,513 1,146
5 1,456 1,307 2,283 1,307 1,456
6 1,277 1,528 1,878 1,878 1,528 1,277
7 1,488 1,343 2,388 1,451 2,388 1,343 1,488
8 1,340 1,508 2,019 1,844 1,844 2,019 1,508 1,340
9 1,502 1,357 2,420 1,481 2,480 1,481 2,420 1,357 1,502
Значения элементов, приведенные в табл. 2.4–2.6, позволяют рас-
считывать фильтры, структура которых изображена на рис. 2.9.
a
9
45
2.Синтезфильтровнижнихчастот
α
α
2.5. Фильтры Кауэра
Наилучшее приближение к идеальной АЧХ обеспечивают фильтры
Кауэра. Пример фильтра Кауэра шестого порядка и его частотные характеристики приведены на рис. 2.13. Значения нормированных элементов некоторых фильтров Кауэра пятого и шестого порядков [10]
приведены в табл. 2.7, 2.8.
а б
2
α
1
1
α
3
α
4
5
α
6
α
α
8
1
7
α
α
1
α
1
α
2
α
α
3
α
4
5
6
7
α
1
8
в
г
Рис. 2.13. Исходный (а) и дуальный (б) ФНЧ Кауэра и их характеристика
L , дБ
A
L
S
∆L
A
0
Н
ω
S
ω /2=
0
затухания (в), ось нормированных частот W (г)
Ω /2
S
S
4
ω
ω
С В
ω = ω
Ω
Ω
1
4
S
Ω
ω
2
ω
Ω
2
Были использованы следующие обозначения:
§ ΔLA, дБ — значение пульсаций мощности в полосе пропуска-
ния;
§ LS — гарантированное затухание в полосе задерживания;
§ W
— нормированная частота, начиная с которой обеспечива-
S
ется гарантированное затухание в полосе задерживания;
46
2.6.Использованиефильтровдляфильтрациигармоникврадиопередающихустройствах
§ W2 и W4 — нормированные частоты, затухание на которых стре-
мится к бесконечности (для реальных элементов с потерями затухание на этих частотах конечно);
§ WS/2 — нормированная частота, начиная с которой и заканчи-
вая частотой среза W =1, вторая и высшие гармоники источника сигнала (например, гармоники тока коллектора оконечного каскада) будут подавлены до уровня LS.
Таблица 2.7
Значения элементов ФНЧ Кауэра для n = 5
LS,
|S2 |
0,01 20,7 1,524 0,3496 0,8704 0,2032 2,378 1,040 0,4434 0,8997 1,583 0,0115
20,0 1,221 0,5460 0,9868 0,3242 1,769 1,166 0,4467 1,4190 1,256 0,1073
0,05
30,2 1,414 0,6265 1,110 0,1920 2,166 1,271 0,7125 0,6535 1,465 0,3494
40,8 1,701 0,6798 1,187 0,1148 2,709 1,373 0,9214 0,3456 1,772 0,5070
0,1 40,7 1,524 0,8613 1,216 0,1454 2,378 1,498 0,9195 0,4338 1,583 0,6533
40,2 1,367 1,144 1,153 0,2017 2,073 1,670 0,8338 0,5990 1,415 0,8750
0,2
50,5 1,624 1,202 1,224 0,1241 2,566 1,823 1,006 0,3480 1,690 1,024
дБ
W
a
S
a
1
a
2
W
3
a
2
a
4
a
5
W
6
a
4
7
Таблица 2.8
Значения элементов ФНЧ Кауэра для n = 6
LS,
|S2 |
0,01
W
дБ
a
S
a
1
a
2
W
3
a
2
a
4
a
5
W
6
a
4
a
7
8
20,0 1,304 0,1535 0,6774 0,4905 1,735 0,920 0,5176 1,081 1,337 0,5110 0,6320
31,1 1,513 0,2702 0,8153 0,2841 2,078 1,023 0,7697 0,5361 1,256 0,1070 0,5047
0,05 40,0 1,409 0,5153 1,067 0,2572 1,909 1,210 0,9923 0,4810 1,447 0,7357 1,070
40,0 1,305 0,6461 1,112 0,2989 1,735 1,227 0,9890 0,5656 1,337 0,8981 1,125
0,1
51,2 1,513 0,7304 1,230 0,1883 2,078 1,375 1,213 0,3401 1,557 0,8993 1,237
40,4 1,222 0,8466 1,116 0,3541 1,590 1,229 0,9668 0,6629 1,249 1,138 1,145
0,2
50,9 1,386 0,9439 1,2421 0,2298 2,566 1,871 1,211 0,4078 1,423 1,146 1,256
2.6. Использование фильтров для фильтрации гармоник
в радиопередающих устройствах
Для структурной схемы, показанной на рис. 2.14, выбрать и рассчитать фильтр, который обеспечит гарантированное затухание гармоник сигнала в нагрузке (например, LS = 40 дБ).
47
2.Синтезфильтровнижнихчастот
Оконечный
каскад
передатчика
Рис. 2.14. Структурная схема связи оконечного каскада передатчика с нагрузкой
Согласующее
устройство
Фильтр
гармоник
R
Н
Оконечный каскад (ОК) передатчика, выполненный на лампах
или транзисторах, для достижения высокого КПД работает, как правило, в режиме с отсечкой тока. Уровень гармоник при этом может
быть достаточно большим. Например, при угле отсечки q = 90 о уровень второй гармоники составит примерно 40 % от первой. В нагрузке
уровень гармоник должен быть намного меньше. Допустимое значение уровня гармоник определяется в разных диапазонах соответствующими нормами.
После ОК установлено согласующее устройство (СУ), которое
преобразует (трансформирует) стандартное сопротивление дальнейшего тракта (фильтра гармоник, фидера) к значению, необходимому
для оптимальной работы ОК (например, Rа для лампового передатчика или RК — для транзисторного).
Фильтр гармоник должен обеспечить подавление гармоник до допустимого значения в том диапазоне частот, в котором работает радиопередатчик.
Подавление гармоник колебательным контуром. В простейших передатчиках функции СУ и фильтра гармоник может выполнять одно
устройство, например контур, служащий нагрузкой ОК в ламповом
передатчике (рис. 2.15).
При работе передатчика на частоте w0 вторая гармоника 2 w0 и все
гармоники более высокого порядка будут подавлены до значения LS.
В таком передатчике для работы на другой частоте необходимо перестраивать контур и, возможно, элементы связи с лампой и нагрузкой,
что усложняет его обслуживание.
Подавление гармоник фильтрами. В широкополосных передатчиках, работающих в ограниченном диапазоне частот без перестройки
схем связи, используют в качестве фильтров гармоник полосно-пропускающие фильтры (ППФ) или ФНЧ. Частотные характеристики затуханий фильтров для этого применения показаны на рис. 2.16–2.17.
48
2.6.Использованиефильтровдляфильтрациигармоникврадиопередающихустройствах
С
L
0
2
0
L , дБ
w
Н
w
В
2w
Н
L , дБ
RZj
()
()
.
КЭ вх
а б
1
С
2
а — контур в качестве элемента связи с нагрузкой; б — частотная характеристика
A
L
S
1
L
2
R
а
A
L
R
Н
S
w
Рис. 2.15. Схема связи ОК с нагрузкой:
затухания контура
w
w
w
Рис. 2.16. Частотная характеристика затухания ППФ
В передатчике с ППФ вторая гармоника частоты большей или рав-
ной wН попадает на частотной характеристике в область, где затухание
больше, чем L
. Поэтому перестройки элементов ППФ при работе
A доп
передатчика в диапазоне частот от wН до wВ не требуется.
На рис. 2.17 показаны выбранные из таблиц и рассчитанные фильтры Чебышева (табл. 2.3, n = 7) и Кауэра (табл. 2.7, LS = 40 дБ) для значений коэффициента отражения |S2 | = 5 %. Необходимо учитывать, что
входное сопротивление фильтра с учетом трансформирующих свойств
СУ является нагрузочным сопротивлением для активного прибора
(лампы или транзистора). При этом коэффициент отражения
является мерой отличия входного сопротивления фильтра от значения нагрузочного сопротивления, требуемого для обеспечения расчетного режима активного прибора, например:
()
j
КЭ вх
RZj
49
2.Синтезфильтровнижнихчастот
a
a
a
a
a
a
a
50
а б
2
1
4
3
5
6
7
L , дБ
A
1
1,11
257
в г
a
3
1
50
a
1
0,85500,79 0,85
560
a
a
a
2
4
5
a
6
a
7
82 153
164
385
234
1,111,3
560
1
257
a
8
1
50
L , дБ
40
DL
A
0
8,5
10
17
0
W /2
1
S
A
W
S
f, МГц
W
40
DL
A
f, МГц
0
14,1
7,05
10
14,5
0
W
W
1
W /2
S
4
S
W
19,1
W
2
Рис. 2.17. ФНЧ Чебышева и Кауэра и их частотные характеристики:
а — ФНЧ-прототип с чебышевской АЧХ и денормированный ФНЧ; б — характеристика за-
тухания фильтра Чебышева; в — ФНЧ-прототип фильтра Кауэра и денормированный ФНЧ,
г — характеристика затухания фильтра Кауэра (денормирование проведено для сопротивления нагрузки 50 Ом и частоты среза 10 МГц, значения элементов указаны в пикофарадах
(пФ) и микрогенри (мкГн))
Чем меньше значение коэффициента отражения, тем ближе сопротивление нагрузки к расчетному значению, поэтому в радиопередатчиках для решения задач согласования и фильтрации гармоник используют фильтры со значением |S
50
| < 5 %.
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]