Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фильтрация сигналов и согласование нагрузок. Учебное пособие
.pdf
1.4.Нормированиефункцийэлектрическихцепей
L
3
CCL
1
a
C
a
L
C
L12
pj
1
12
Tj
1
1
.
0
0 1
2
|T(jW)|
-1
C
ср
L
R
ср
.
ср 2
Аналогично
L
— нормированное значение индуктивности.
R
Соотношение (1.17) будет записано в виде
p
()
1
pp
2
, (1.18)
где
— нормированная операторная передаточная функция.
Соотношение (1.18) описывает функцию передачи фильтра, со-
противление нагрузки которого равно 1 Ом, величины элементов
и
определяются соответственно в генри и фарадах.
Рассмотрим частотную зависимость функции передачи (1.18) при
2
,
и соответственно при
jj
2
12
2
2
:
,
2
2
1
(1.19)
4
Соотношение (1.19) является записью квадрата модуля нормированной функции передачи простейшего фильтра нижних частот
с максимально-гладкой АЧХ (рис. 1.9). Как видно из графика, функция квадрата модуля передачи является симметричной относительно
нулевой частоты.
а б
1.0
a
L
a
I
C
1
0.5
1
W
Рис. 1.9. Фильтр с нормированными элементами (а) и его АЧХ (б)
Значения элементов фильтра для заданных значений сопротивления нагрузки R и частоты среза wср рассчитываются по формулам денормирования:
C
,
R
L
(1.20)
21
1.Основныезаконытеориилинейныхэлектрическихцепей
U
U
Z
U
U
Z
0
IYUI
00
00
... ...
IY
nn
1.5. Метод кумулянтов
1.5.1. Описание метода
Если использовать оба закона Кирхгофа, анализ лестничных схем
можно существенно упростить [8]. Рассмотрим схемы, изображенные
на рис. 1.10.
а
I
1
2
1
I
2
Y
1
4
3
I
4
Y
3
5
I
6
Y
5
n
Y
n
0
б
E
1
~
Рис. 1.10. Нумерация напряжений, токов и элементов на лестничных схемах:
а — исходная схема; б — схема дуальная исходной
Z
1
I
1
U
Z
3
2
I
3
Y
2
U
Z
5
4
I
5
Y
4
Z
n
I
n
Как следует из рис. 1.10, элементы схем просто нумеруются по порядку слева направо: Y1, Z2, Y3, …, Yn — для схемы на рис. 1.10, а и Z1,
Y2, Z3, …, Zn — для схемы на рис. 1.10, б соответственно. Аналогично
нумеруются напряжения узлов и токи между узлами: U1, I2, U3, …, Un.
Используя последовательно первый и второй законы Кирхгофа,
составим систему уравнений для схемы на рис. 1.10, а:
1112
00
UZIU
1223
IYUI
2334
... ...
.... ...
... ... ... ... ... ... ...
0
0
... ... ... ...
... ..
.. ... ...
ZI U
11
nn n
U
n1
(1.21)
22
1.5.Методкумулянтов
I
Y
10 00
...
U
,
D
i
Система (1.21) в матричной форме выглядит следующим образом:
1
1
Z
0
0
...
0
0
11 00
2
01 00
... ... ... ... ... ...
000 1
0
0001
...
Y
...
3
Z
...
...
1
n
Y
1
I
2
U
3
(1.22)
...
I
n
1
U
n
n
В системе (1.22) левее знака равенства расположена матрица-столбец возмущений (источников), правее — квадратная матрица кумулянтов или континуант [9, с. 524], умноженная на матрицу-столбец
искомых напряжений и токов. В матрице кумулянтов главная диагональ заполнена последовательностью элементов Y
, Z2, Y3, …, Yn, об-
1
рамлена снизу и сверху отрицательными и положительными единичными элементами.
Для того чтобы найти любое неизвестное из ряда U1, I2, U3, …, Un,
можно воспользоваться методом Гаусса, выражая из первого уравнения неизвестное с первым номером (в данном случае U1) и подставляя его выражение во второе уравнение, исключив его (U1) из системы
уравнений (1.21). Затем такую же процедуру проделаем с неизвестным I2 и т. д., пока не получим одно уравнение относительно, например, Un.
В общем случае для операторных выражений в матричной форме
такая процедура записывается следующим образом:
где
— определитель матрицы, полученный путем замены i‑го столб-
() ()
ii
Ip
или
i
ца исходной матрицы матрицей-столбцом возмущений; D — определитель матрицы кумулянтов.
Найдем в качестве примера напряжение на выходе (i = n) схемы:
(),
n
n
23
1.Основныезаконытеориилинейныхэлектрическихцепей
YI
11
10 0
00
00
...
01
.
Z
...
110
.
11
II
D
1n
Ip
Up
()
()
.
1
1
a
10 00
00
00
01
...
01
n
KaKK
nnnn12
,
Z
где
11
2
01
n
... ... ... ... ... ...
...
Y
...
3
000
00
...
nn1
0
Z
0...
Вычисляя этот определитель по элементам последнего столбца,
получим:
2
Y
01 0
1
n
1
()
n
I
00 10
1
...
3
...
1
nn n
() () ()
111
12
1
I
... ... ... ... ...
..
..
000
1
Здесь множитель (–1) возводится в степень, число которой равно сумме номера строки (1) и номера столбца (n), а второй определитель (минор
) получен из первого путем вычеркивания первой строки и последнего столбца. Второй определитель является треугольным
определителем, и его значение равно произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Следовательно,
()
n
1
или
n
Ip
()
(1.23)
Заменим конкретные элементы (Y, Z) на обобщенные аi. При этом
соотношения становятся более наглядными и матрица кумулянтов получается следующей:
1
−
a
11
2
−
01
... ... ... ... ... ...
...
a
...
3
00
000
Аналогично раскрывая определитель
мента главной диагонали, получим рекуррентную формулу
24
...
a
n
−
1
....− a
начиная с последнего эле-
(1.24)
1.5.Методкумулянтов
K
n
Kaaa
nn
= {, , ..., };
12
K
n−1
K
n−2
K
n−1
K
n−2
,
K
n
a
i
K
2
K
1
Kaa
212
1,
Ka
11
= ,
K01= .
Ip
Up
Ip
()
()
.
1
1
1
a
a
a
где
— кумулянт (определитель), который достаточно записать как
последовательный перечень элементов по порядку (т. е. стоящих
на главной диагонали),
— определитель, полу-
ченный из исходного Кn путем вычеркивания последней строки и последнего столбца;
— определитель, полученный из исходного Кn
путем вычеркивания двух последних строк и столбцов.
Далее, раскрывая аналогичным образом определители
записываем определитель
определители
и
:
как произведение элементов
(1.25)
и
, а также
1.5.2. Принцип дуальности
Выполняя аналогичные процедуры для схемы, изображенной
на рис. 1.10, б, получим
Заметим, что при численном совпадении значений проводимостей
и сопротивлений схемы (см. рис. 1.10, а) с сопротивлениями и проводимостями схемы (см. рис. 1.10, б) определители D в соотношениях
(1.23) и (1.26) равны друг другу с точностью до размерного множителя.
В качестве примера рассмотрим две схемы, приведенные
на рис. 1.11.
а б
1
I
1
()
n
2
a
a
1
1
3
Рис. 1.11. Схемы ФНЧ:
а — исходная; б — дуальная
или
n
Up
U
1
()
(1.26)
1
a
3
I
2
2
1
1
U
2
~
25
1.Основныезаконытеориилинейныхэлектрическихцепей
KaKK pppp
21
123
11 11(){( )}()
221 3
123
()
pp
Up
()
()
.
123
21 3
123
1
Ip
()
()
.
123
21 3
123
1
Up
()
,
1
1
В соответствии с выражениями (1.23)–(1.25) запишем для схемы
рис. 1.11, а определитель D и функцию передачи:
nnnn12 31
p
3
Tp
()
а
Ip
2
()
1
2
2()
,
(1.27)
1
3
pp p
()
2
2
Выполняя аналогичные процедуры для схемы рис. 1.11, б, получим
Tp
()
б
2
Up
1
()
(1.28)
1
3
pp p
()
2
2
Таким образом, рассчитав одну цепь (см. рис. 1.11, а), мы сразу
находим цепь дуальную исходной (см. рис. 1.11, б) с такой же функцией передачи. Причем все параллельные соединения превращаются
в последовательные, а нормированные индуктивности превращаются
в нормированные емкости такого же значения (см. a
на рис. 1.11, а, б).
1
Последовательные элементы превращаются в шунтирующие (см. a
на рис. 1.11, а, б). Однако входные и выходные сопротивления цепей
различны.
2
1.5.3. Теорема взаимности
Рассмотрим еще раз рис. 1.10 и соотношение (1.23). Функция передачи, например, для схемы на рис. 1.10, а определяется соотношением (1.23):
()
Ip
()
n
p
где D — определитель матрицы кумулянтов.
Кумулянт раскрывается как определитель D матрицы начиная с последнего элемента аn (1.24). Однако значение определителя не зави-
26
1.5.Методкумулянтов
KaKK
n 11 2
,
K
1
K
2
I
1
n
U
0
Z
Z
I
1
n
,
сит от того, с какого элемента он раскрывается. В частности, можно
начать процедуру начиная с первого элемента:
где
— определитель, полученный из исходного Кп путем вычерки-
вания первой строки и первого столбца;
(1.39)
— определитель, получен-
ный из исходного путем вычеркивания первой и второй строки и первого и второго столбца.
Это соответствует цепи, у которой источник сигнала
на выходные зажимы, а выходная величина
регистрируется на вход-
перенесен
ных зажимах (рис. 1.12).
n
Рис. 1.12. Схема переноса источника тока на выходные зажимы цепи
2
Y
1
Таким образом, если перенести источник сигнала
зажимы, то на входных зажимах появится напряжение
4
I
1
Y
3
Y
Y
5
n
на выходные
а функция
передачи не изменится.
1.5.4. Теорема об эквивалентном генераторе
Существуют два варианта теоремы об эквивалентном источнике:
вариант с источником напряжения (теорема Тевенина) и вариант с источником тока (теорема Нортона). Содержание теорем состоит в следующем: любую сколь угодно сложную цепь, состоящую из пассивных и активных линейных элементов относительно некоторой ветки,
можно заменить активным двухполюсником, который может представлять собой:
§ генератор напряжения в виде последовательно соединенных
источника напряжения и пассивного элемента (теорема Тевенина);
27
1.Основныезаконытеориилинейныхэлектрическихцепей
I
1
,
2
U
§ генератор тока в виде параллельно соединенных источника
тока и пассивного элемента (теорема Нортона).
Для последовательного соединения ЭДС источника равна напряжению холостого хода на зажимах ветви, а сопротивление пассивного элемента равно сопротивлению цепи относительно этой же ветви.
Для параллельного соединения задающий ток источника равен току
короткого замыкания данной ветви, а внутренняя проводимость равна
эквивалентной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви.
Схема генератора напряжения эквивалентна схеме генератора тока,
если выполнены условия
= =и
R
где U, R — величины генератора напряжения; I, G — параметры генератора тока.
Приведем примеры применения принципа дуальности и теоремы взаимности.
На рис. 1.13 показаны возможные преобразования схем.
а
α
2
I
1
г
α
1
1
1
α
1
1
1
α
2
∼
Рис. 1.13. Применение теоремы взаимности (а, б, в, д) и принципа дуальности (г)
U
б
1 α
2
I
1
д
U
I
1
2
∼
2
α
1
1
α
α
2
1
U
в
U
2
1
1
α
2
U
α
1
∼
I
2
Применяя принцип взаимности к схеме на рис. 1.13, а получим
схему на рис. 1.13, б, причем напряжения на резисторе (рис. 1.13, а)
и на емкости a
(рис. 1.13, б) совпадают.
1
Применяя теорему об эквивалентном генераторе (рис. 1.13, в) можно получить схему на рис. 1.13, б. Интересно, что напряжение на резисторе параллельного контура (или ФНЧ) (рис. 1.13, а) совпадает
с напряжением на емкости последовательного контура (рис. 1.13, в).
28
Контрольныевопросыкглаве1
21()
n
Схема на рис. 1.13, г дуальна по отношению к рис. 1.13, а. Схема
рис. 1.13, д получена из рис. 1.13, г с помощью принципа взаимности.
Следует отметить, что АЧХ передаточных функций схем (рис. 1.13),
а также их выходных величин по форме идентичны, отличаются только размерными множителями.
Контрольные вопросы к главе 1
1. Как связаны действующие и амплитудные значение синусоидального тока или напряжения?
2. Чему равен фазовый сдвиг между синусоидальным током,
протекающим через емкость (индуктивность), и напряжением на ней?
3. В какой части р плоскости могут располагаться нули и полюсы сопротивления и проводимостей L‑, C‑, R‑цепей?
4. Могут ли свободные колебания в пассивных электрических цепях увеличиваться с течением времени?
5. Зачем нормируют значения электрических цепей?
6. Может ли в функцию квадрата модуля передачи входить частотная переменная W в нечетной степени, например
7. Чем отличаются дуальные цепи?
29
1
W
F
0 1-1
2. Синтез фильтров нижних частот
2.1. Аппроксимация
2.1.1. Постановка задачи синтеза
редположим, что необходимо создать фильтр, который пропускает сигналы в полосе частот от нуля до частоты среза
П
(рис. 2.1).
ИД
Рис. 2.1. Идеальная АЧХ ФНЧ
Интуитивно ясно, что идеальную прямоугольную характеристику квадрата модуля функции передачи создать невозможно. Известно, какими характеристиками могут обладать операторные функции
входных, выходных сопротивлений (проводимостей), а также передаточные функции R‑, L‑, C-цепей [3]. Данные характеристики ограничены условиями физической реализуемости:
§ все коэффициенты при комплексной (операторной) частоте
р — вещественные числа;
§ нули и полюсы входных, выходных сопротивлений (проводи-
30
мостей), а также полюсы передаточных функций могут располагаться только в левой части р-плоскости;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]