Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фильтрация сигналов и согласование нагрузок. Учебное пособие
.pdf
2.1.Аппроксимация
BB B
m
2
42
42
1
12
n
()
2
Tj()
2
Tj()
2
x
x
x
!
!
!
1
2
2
23
Рx
()
():
2
Fx
x
,
0
11
AB
11
= .
§ АЧХ или квадраты модулей функций передачи являются чет-
ными рациональными функциями переменной W;
§ полюсы аналитического продолжения квадрата модуля функции передачи располагаются симметрично относительно обеих осей.
Квадрат модуля функции передачи в общем случае является дроб-
но-рациональной функцией частоты W 2. Для упрощения дальнейших
2
преобразований введем переменную x = W
:
2
Tj
()
1
1
AA A
1
1
Bx B
1
1
Ax Ax Ax
2
2
2
2
xBx
22
2
m
n
n
m
m
n
при m < n.
Задача заключается в выборе элементов Вi и Ai (или, что то же са-
мое, нормированных элементов фильтров ai) таким образом, чтобы
Tj
W
функция
можно решить путем приведения функций
как можно меньше отличалась от Fид. Данную задачу
W
и Fид к одному виду
и составления системы уравнений, приравнивая коэффициенты при
равных степенях частоты.
2.1.2. Аппроксимация Баттерворта
Попробуем разложить функции
W
и F
в ряд Тейлора в точ-
ид
ке W = 0, то есть по существу в ряд Маклорена, и затем приравнять коэффициенты при равных степенях частоты в этих рядах:
Для F
fx f
все производные в точке W = 0 (x = 0) равны нулю. Будем
ид
0
f
()
0
f
приравнивать к нулю производные функции
PxPx PxPx
() () () ()
после чего получим
()
12 21
2
Px
()
2
()
0
f() ()
()
0
Tj
BA
11
2
2
1
.
1
Px
0
Fx()
()
31
2.Синтезфильтровнижнихчастот
AB
AB
AB
AB
A
mm
n
11
22
33
1
0
Fx()
Fx
10
2
12
m
F
A
AA
n
m
.
2
1
22
AA A
m12
,,...,
B BB
m12
,,...,
Tj()
2
W
Продолжая приравнивание производных к нулю, получим следу-
ющий ряд:
...
A
0
m
1
Максимальное число производных, которое можно приравнять
к нулю, равно (n — 1), функция
при этом выглядит следующим
образом:
m
m
0
1
1
F
n
n
n
,
2
()
) можно определить,
2
()
где
n
Коэффициенты
()
Ax Ax Ax Ax
12
11
1
Ax Ax Ax
n
1
Ax Ax Ax
1
12
2
m
m
1
n
Ax
n
2
m
(или
m
задав точки на частотной оси W01, W02, …, W0m, в которых функция
W
обращается в ноль (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Расположение нулей W0i квадрата модуля функции передачи | T(jΩ) |2
32
2
|T|
0 1-1
на частотной оси W
W01W02W
03
2.1.Аппроксимация
A
n
()
2
,:10
2
F
m
1
05
12
AААА
nm
1
12
.
FА
nn
n
,
22
Tj
n
.
1
Tj
,,10
2
.
1
1
Tj()
2
Fp(),−
2
(),
2
Fp
nn
.
1
Коэффициент
Tj
W
на граничной частоте W = 1, например
можно определить, задав значение функции
(),.1
Tj()
1
1
A
n
АА А
(2.1)
5
=
Из формулы (2.1) получим
Если потребовать, чтобы все нули функции передачи были сосре-
доточены в бесконечности (W
= W02 =…= W0m → ∞), вид аппроксими-
01
рующей функции существенно упростится:
Если
()
=
()
5
то
2
Tjn()
2
()
2
2
n
A
1
(2.2)
Выражение (2.1) — аппроксимация квадрата модуля функции пе-
редачи по Баттерворту.
W
Проверим, удовлетворяет ли
УФР:
§ четная положительная — да;
§ коэффициенты при частоте вещественны — да.
2.1.3. Расположение полюсов
Для проверки мест расположения полюсов функции
ющейся аналитическим продолжением функции
приравнять к нулю ее знаменатель:
2
()()
Известно, что уравнение n-й степени имеет n корней. Решение
уравнения (2.3) приведено в табл. 2.1 для четных и нечетных n.
Tj
2
22
p
11
()
p
Tj
W
необходимо
(2.3)
2
явля-
33
2.Синтезфильтровнижнихчастот
2
p
n
2
p
n
pe
njk22
1
()
pe
njk221
1
()
k
k
()22
k
k
k
()21221
n
jk
n
ss
k
n
k
n
ss
21
2
21
2
22
1
Fp()−
2
()
2
W
2
|T|
0 1
-1
Вычисление полюсов функции F(–p
Таблица 2.1
2
)
Промежуточные
вычисления
При n нечетном При n четном
Уравнения:
исходные
преобразованные
Формулы для вычисления полюсов
Графические
иллюстрации
Конечные соотношения
Модуль любого полюса
p
3
pk
j
pe e
p
2
p
4
co
k
pkk
jk
n
jW
n = 3
p
60°
p
in
cossin
k
n
1
p
6
s
5
p
p
p
k
j
pe e
2
3
co
j
n
jW
45°
n = 2
j
n
2
p
1
s
p
4
in
равен единице.
Представим, что в точках полюсов расположены стержни, уходящие в бесконечность. Действительно, полюсы — это точки разрыва,
в которых значение функции
равно бесконечности. Если «наки-
нуть» на эти стержни «покрывало», в промежутках между стержнями
оно (покрывало) будет провисать, приближаясь к плоскости р тем ближе, чем дальше оно отстоит от полюсов. Сечение этого покрывала пло-
Tj
W
скостью, проходящей через ось jW, будет функцией
(рис. 2.3).
34
1
n = 2
0,5
Рис. 2.3. Примеры функций | T(jΩ) |2 разного порядка
n = 3
2.1.Аппроксимация
Fp()−
2
().
2
.
11
Таким образом, в результате анализа функции
до больше информации, чем в результате анализа функции
имеем гораз-
Tj
W
2.1.4. Сомножители полиномов Баттерворта
Исходя из условия, что полюсы функций передачи могут располагаться только в левой части р-плоскости, можно рассчитать полюсы,
отвечающие этому условию, согласно алгоритму, описанному выше
(см. табл. 2.1). Запишем сомножители полиномов Баттерворта V (p)
в следующем виде:
§ p 2 + 1,4142p + 1 при n = 2;
§ (p + 1) (p
2
+ p + 1) = (p
3
+ 2p
2
+ 2p + 1) при n = 3;
§ (p 2 + 0,7654p + 1) (p 2 + 1,8478p + 1) при n = 4;
§ (p + 1) (p 2 + 0,6180p + 1) (p 2 + 1,6180p + 1) при n = 5;
§ (p 2 + 0,5176p + 1) (p 2 + 1,4142p + 1) (p 2 + 1,9319p + 1) при n = 6;
§ (p + 1) (p 2 + 0,4450p + 1) (p 2 + 1,2470p + 1) (p 2 + 1,8019p +1) при
n = 7;
§ (p 2 + 0,3902p + 1) (p 2 + 1,1111p + 1) (p 2 + 1,6629p + 1) (p 2 +
+ 1,9616p + 1) при n = 8;
§ (p + 1) (p 2 + 0,3473p + 1) (p 2 + p + 1) (p 2 + 1,5321p + 1) (p 2 +
+ 1,8794p + 1) при n = 9;
§ (p
+ 1) (p
2
+ 0,3129p + 1) (p
2
+ 1,9754p + 1) при n = 10.
2
+ 0,9080p + 1) (p
2
+ 1,4142p + 1) (p
2
+ 1,7820p +
Функции передачи легко определяются как произведения сомно-
жителей, например, для функции третьего порядка (n = 3):
Теперь, записав, например, с помощью кумулянтов функцию передачи конкретного полиномиального ФНЧ, сопоставив ее с функцией
и приравняв коэффициенты при равных степенях частоты,
можно составить систему уравнений и найти величины элементов
фильтра. Для функций второго порядка такой алгоритм приводит к решению квадратного уравнения, которое находится аналитически. Да-
p
()
Vp ppp
()
32
221
(2.4)
35
2.Синтезфильтровнижнихчастот
R R
г1
=
R R
н2
= .
R
U
Z
вх
2
Р
U
IZ
2
2
(),
I
U
.
Р
н max
ZR
вх 1
=
Р
U
1
2
,
Р
н max
()
.
ZR
2
лее трудности возрастают. Возникает вопрос: нельзя ли найти более
удобный метод вычисления величин элементов фильтра?
2.2. Связь коэффициентов передачи и отражения
Запишем для согласующего устройства (фильтра) (рис. 2.4) выражения для мощности в нагрузке и функции передачи. В дальнейшем
для сокращения записей будем использовать обозначения
и
1
1
I
вх
∼
LC
U
R
2
Рис. 2.4. Схема для определения коэффициентов передачи и отражения
Мощность в нагрузке определяется по выражению
где
вх
1
RZ
1
вх
Максимальная мощность
венстве
:
= =
нвх
R
н max
Re
вх
будет передана в нагрузку при ра-
1
=
R
4
2
2
где 1 — эффективное значение напряжения генератора.
Квадрат модуля нормированной к
Tj
Р
н max
Р
2
()|Re( )
I
н
U
вх
4
1
функции передачи:
ZR
вх 1
4
Re
вх 1
RZ
1вх
2
36
2.3.Реализацияфильтров
ZR
ZR
.
вх 1
22
()
()
1в
1в
вх 1
Tj
.
22
Sj() ,,05
Fp
().
22
p
nn
nn
()
.
2
1
Запишем выражение для коэффициента отражения:
j
()
вх 1
(2.5)
Преобразуем следующее соотношение:
)
х
22
)
х
2
2
Tj
Jm(
Jm(
(),
Sj
2
()
1
(Re( ))
4
Re()
RZ
1вх
ZR
вх
ZR Z
вх
P
н
2
Р
н max
ZR Z
(Re( ))
то есть квадрат модуля функции передачи и квадрат модуля коэффициента отражения связаны простым и очень важным соотношением
Sj() ()
1
(2.6)
В соотношении (2.6) квадрат модуля функции передачи характеризует долю мощности, поступающей в нагрузку, а квадрат модуля коэффициента отражения — долю мощности, отраженной к генератору.
Например, если
то 25 % мощности отражается от нагрузки
к генератору, а 75 % поступает в нагрузку.
Соотношение (2.6) остается справедливым и для функций аналитического продолжения:
Sp()
1
(2.7)
2.3. Реализация фильтров
Аналитическое продолжение квадрата модуля коэффициента отражения получим для аппроксимации по Баттерворту (2.3) из соотношения (2.7):
22
pFp
() ()
11
11111
()
Из выражения (2.8) следует, что полюсы коэффициента отражения
совпадают с полюсами функции передачи (2.4), а все нули расположены в точке р = 0. Используя формулу (2.4), можем записать функцию коэффициента отражения:
2
nn
p
()
(2.8)
2
p
37
2.Синтезфильтровнижнихчастот
Vp
n
()
.
ppp
3
221
Zp
()
вх
1
1
Zp
Sp
()
()
.
1
Zp
ppp
2221
2
Zp
21
32
Zp
ppp
pp
()
()
.
12221
221
32
2
вх
.
p
при
32
m,
1СР
СR
1
p
()
p
(2.9)
Например, при n = 3 функция коэффициента отражения (2.9) име-
ет вид
и
p
()
вх
(2.10)
1
(2.11)
Sp
При R
p
().
= R2 = 1 из соотношения (2.5) следует
1
()
p
Zp
вх
()
32
Используя соотношение (2.10) со знаком «+» в числителе запишем
входное сопротивление в следующем виде:
pp
(),
вх
221
32
(2.12)
при использовании знака «–» в соотношении (2.10) входное сопротивление имеет другой вид:
().
вх
2
pp
221
ppp
22
Для реализации выберем соотношение (2.12) и инвертируем его:
(2.13)
Исследуя поведение соотношения (2.13) при частоте р, стремящей-
ся к бесконечности, устанавливаем, что проводимость
ведет себя
как линейная функция р, то есть как проводимость емкости со значением a
, полюс которой также расположен в бесконечности:
1
32
2221
ppp
im
221
2
pp
p
(2.14)
1
Из выражения (2.14) получим
Yp
()
lim
1
p
2221
ppp
li
2
221
pp p
где 1 — нормированное значение первой емкости,
Местоположение
38
показано на рис. 2.5.
1
pпри
1
.
2.3.Реализацияфильтров
1
32
221
221
22
pp
pp
.
Zp
pp
ост
1221
2
2
()
m.
Zp
1
a
Z (p)
ОСТ
Zў(p)
ОСТ
′
Zp
ост
(),
Zp
ост
()
Zp
pp
2
221
1
a
(p)=1/Z(p)
Рис. 2.5. Выделение первого элемента фильтра
1
ОСТ
Найдем остаточную проводимость, вычитая из проводимости
проводимость найденной емкости:
2221
YpYp p
() ()
ост
32 3
pppp
22212
1
ppp
2
221
pp
2
22
pp
p
1
p
С учетом сопротивления
() ()
ост
p
Y
p
1
найдем нормированное значение продольной индуктивности 2
(рис. 2.6):
22111
ост
lim
2
Y(p)=1/Z(p)
p
a
1
li
pp
pp
2
при
p
2
Найдем остаточное сопротивление
ления
сопротивление найденной индуктивности:
остост
Рис. 2.6. Выделение второго элемента фильтра
вычитая из сопротив-
p
Zp p
() ().
2
p
1
2
p
1
39
2.Синтезфильтровнижнихчастот
остост
1()
3
1
1
a
u
1
1
1
2
U
Если остаточную проводимость представить в виде
то фильтр заканчивается параллельным соединением нормированной
емкости
и проводимости (сопротивления), равной единице
(рис. 2.7).
2
(t)
Рис. 2.7. Схема синтезированного фильтра
a
~
1
a
3
Если в соотношении (2.10) выбрать числитель со знаком минус,
то получим схему фильтра дуальную по отношению к приведенной
на рис. 2.7.
Обе схемы с численными значениями элементов показаны
на рис. 2.8.
а б
1
1
1 1
1
~
U
1
1
2
1
~
,
Рис. 2.8. Фильтры нижних частот:
а — исходный; б — дуальный
Квадраты модулей функций передачи и коэффициентов отражения у этих ФНЧ совпадают, а частотные характеристики входных сопротивлений существенно различны.
В табл. 2.2 [10] приведены значения нормированных элементов
баттервортовских ФНЧ до 10-го порядка n.
Таблица 2.2
Значения элементов фильтров Баттерворта
n a
1 2,000
2 1,414 1,414
3 1,000 2,000 1,000
4 0,7654 1,848 1,848 0,7654
5 0,6180 1,618 2,000 1,618 0,6180
40
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]