Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивость разностных схем с переменными весовыми множителями. Монография
.pdf
С. Л. Дегтярёв
УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕСОВЫМИ
МНОЖИТЕЛЯМИ
Монография
Москва
2011
МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет экономики и управления
Кафедра прикладной математики и информатики
С. Л. Дегтярёв
УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕСОВЫМИ МНОЖИТЕЛЯМИ
Монография
2011
Издательство Московского гуманитарного университета
ББК 22
Д26
Рецензенты:
О. Б. Бутусов, доктор физико-математических наук,
заведующий кафедрой прикладной математики и информатики МосГУ
А. П. Фаворский, доктор физико-математических наук, профессор кафедры
вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова
Автор
С. Л. Дегтярёв, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
прикладной математики и информатики МосГУ
Дегтярёв, С. Л.
Д26 Устойчивость разностных схем с переменными весовыми
множителями : монография / С. Л. Дегтярёв. — М. : Изд-во Моск.
гуманит. ун-та, 2011. — 100 с.
ISBN 978-5-98079-740-9
Получены необходимые и достаточные условия устойчивости двухслойных
разностных схем с переменными по пространству весовыми множителями для
одномерного и двумерного уравнения теплопроводности. Для численного решения
уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами изучены локально
неявные разностные схемы с переменными весовыми множителями на
неравномерной сетке. Для некоторых специальных случаев распределения весовых
множителей двумерной разностной схемы решение спектральной задачи об
устойчивости получено в явном виде.
Для студентов старших курсов и аспирантов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика» и
специализирующихся в области численного решения задач математической
физики.
Утверждено на заседании методической комиссии факультета
экономики и управления (протокол № 6 от 30.05.2011 г.)
ISBN 978-5-98079-740-9
© Московский гуманитарный университет, 2011
© Дегтярёв С. Л., 2011
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………………………………………………………………5
Глава 1. Критерий устойчивости двухслойных разностных схем
с переменными весовыми множителями и его применение
к одномерному уравнению теплопроводности………………………………21
§1.1. Теория устойчивости двухслойных разностных схем
с переменными весовыми множителями…………………………………………21
§1.2. Критерий устойчивости разностной схемы с переменными
весовыми множителями для одномерного уравнения
теплопроводности………………………………………………………………………………27
§1.3. Численное исследование устойчивости разностной схемы
с переменными весовыми множителями для одномерного
уравнения теплопроводности…………………………………………………..……….35
Глава 2. Устойчивость разностных схем с переменными весовыми
множителями для двумерного уравнения теплопроводности……..39
§2.1. Критерий устойчивости разностной схемы с переменными
весовыми множителями для двумерного уравнения
теплопроводности………………………………………………………………………………39
§2.2. Численное исследование устойчивости разностной схемы
с переменными весовыми множителями для двумерного
уравнения теплопроводности……………………………………………………………52
Глава 3. Аналитическое исследование устойчивости разностных схем c
4
переменными весовыми множителями для двумерного уравнения
теплопроводности с постоянными коэффициентами……….…………..58
§3.1. Редуцированная матрица устойчивости и её
спектральные свойства………………………………………………………………………58
§3.2. Решение спектральной задачи для редуцированной матрицы
в случае шахматного распределения весовых множителей…………….67
§3.3. Решение спектральной задачи для редуцированной матрицы
в случае распределения весовых множителей в виде полос…………..85
Литература…………………..…………………………………………………………………………………..97
5
Введение
0.1.Теория устойчивости разностных схем для нестационарных задач
математической физики стала самостоятельной областью исследований уже
в 50-ые годы, после того как были опубликованы известные работы Дж.
Неймана и Р. Рихтмайера [1], В.С. Рябенького и А.Ф. Филиппова [2]-[4], П.
Лакса и Р. Рихтмайера [5].
В основу настоящего исследования положена теория устойчивости
разностных схем, разработанная А.А. Самарским. В его работах [6]-[9] была
дана общая формулировка и изложены основы конструктивного
направления в теории разностных схем. Основные положения этой теории
сводятся к следующим:
введение разностной схемы как самостоятельного объекта
исследования, формально независящего от тех или иных дифференциальных
уравнений;
единая (каноническая) форма записи линейных разностных схем;
формулировка условий устойчивости в терминах операторных
неравенств.
Изучению устойчивости разностных схем с несамосопряжёнными
операторами посвящены работы А.А. Самарского [9], [10], А.В. Гулина и А.А.
Самарского [11], А.В. Гулина [12]. Оказалось, что нарушение
самосопряжённости приводит к более сложным условиям устойчивости, а
именно, в случае самосопряжённых разностных схем условие устойчивости
формулируется в виде линейных операторных неравенств, а в случае
несамосопряжённых схем – в виде нелинейных операторных неравенств.
Проверка таких неравенств для конкретных схем является трудно
выполнимой задачей. Однако развитие техники операторных неравенств
позволило в ряде случаев преодолеть возникающие трудности [13]-[15].
0.2.Несмотря на активное развитие теории устойчивости разностных
схем, потребности практических вычислений ставят перед ней всё новые
задачи. Так, интенсивное внедрение в вычислительную практику
6
многопроцессорных ЭВМ [16], [17] привело к необходимости адаптации
алгоритмов к их архитектуре [18], [19]. В связи с этим возрос интерес к
явным разностным методам решения нестационарных задач
математической физики. Однако выбор шага по времени при расчёте по
явной схеме существенно ограничен из соображений устойчивости
величиной шага пространственной сетки, а также величиной коэффициентов
в исходном уравнении. Такие ограничения являются, как правило,
локальными по пространству. Тем не менее, они могут приводить к столь
сильному ограничению на шаг по времени, что становится невозможным
использование явных схем.
Отметим два подхода, снимающих указанную трудность. Первый из них
– явные многошаговые методы решения нестационарных задач,
использующие полиномы Чебышева. Возможность решения параболических
задач по явным схемам с шагом по времени, превышающим предельную
величину, была сформулирована О.В. Локуциевским и В.О. Локуциевским
[20], [21]. Основу такого подхода составляют явные итерации при переходе к
новому временному слою, параметры которых являются корнями
полиномов Чебышева первого рода. Такие итерации были названы
локальными, а сами методы – методами локальных итераций. Подобные
методы для решения различных уравнений, включая жёсткие системы
дифференциальных уравнений, были построены и обоснованы В.И.
Лебедевым в [22]. В работах [23], [24] В.Т. Жуковым предложены и
исследованы модификации метода локальных итераций для численного
решения параболических уравнений.
Второй подход связан с методами декомпозиции исходной области на
подобласти. В этом подходе в качестве основы используется неявная
разностная схема, а переход на новый временной слой реализуется
приближённо. Основными в методе декомпозиции являются два момента.
Первый – связан с декомпозицией разностного оператора по пространству,
обусловленной декомпозицией области. Второй – с выбором и
использованием схемы расщепления для перехода на новый временной
слой. Для параболических задач такой подход сформулирован В.И.
Лебедевым в работе [25]. Ю.М. Лаевским в работе [26] была рассмотрена
симметричная декомпозиция эллиптического разностного оператора и
аналоги схем переменных направлений для перехода на новый временной
7
слой. В работах [27], [28] П.Н. Вабищевичем проведено сравнение
симметричных и несимметричных декомпозиций оператора разностной
задачи, установлена безусловная устойчивость и получены оценки точности.
Здесь же приведены различные численные примеры, показывающие
ухудшение точности численного решения, полученного методом
декомпозиции области, по сравнению с однородными неявными схемами.
Возникает вопрос, нельзя ли за счёт использования локально неявной
схемы в области мелкого пространственного шага сетки и больших значений
коэффициентов уравнения снять влияние этих факторов на ограничение
величины временного шага. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо
изучить устойчивость разностных схем для нестационарных задач с
переменными по пространству весовыми множителями. Предметом
настоящей работы является исследование устойчивости таких схем для
уравнения теплопроводности в случае одной и двух пространственных
переменных.
0.3.Остановимся подробнее на результатах А.А. Самарского и А.В.
Гулина [29]-[31], имеющих непосредственное отношение к объекту
настоящего исследования. Пусть дана двухслойная операторно-разностная
схема, записанная в каноническом виде [32]
где
шаг по времени, – евклидово
(0.1)
пространство со скалярным произведением , и – линейные
операторы, действующие в и не зависящие от . Предполагается, что
существует. Схему (0.1) можно записать в разрешённом относительно
виде
,
где
Разностная схема (0.1) называется симметризуемой, если существует
невырожденный оператор такой, что оператор
(0.2)
является самосопряжённым.
8
Устойчивость схемы (0.1) исследуется в нормах, порождённых
некоторым самосопряжённым положительным оператором , действующим
в . Через
пространства и снабжённое скалярным произведением
и нормой
обозначается линейное пространство, состоящее из элементов
. Разностная схема (0.1) называется
устойчивой в пространстве , если при любом для решения задачи
(0.1) выполняются оценки
В работе [8]
доказана
Т е о р е м а 0.1. Пусть . Для устойчивости схемы (0.1) в
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось операторное неравенство
(0.3)
В работе [13] выяснено, при каких требованиях к операторам
условие (0.3) является необходимым для устойчивости схемы (0.1) в любом
пространстве
, то есть неулучшаемым. В [13] доказана
Т е о р е м а 0.2. Пусть и хотя бы один из операторов
или положителен. Если схема (0.1) устойчива в каком-либо пространстве
и выполнено операторное неравенство (0.3).
В работе [14] показано, что существуют устойчивые схемы с
не удовлетворяющие условию (0.3).
Отметим, что класс разностных схем, выделенных в теореме 0.2 ,
является классом симметризуемых схем, причём
[9], [15].
Устойчивость ещё одного класса симметризуемых разностных схем, а
именно, схем (0.1), с операторами и , удовлетворяющими условиям
(0.4)
где – единичный оператор, а - самосопряжённый оператор в , изучена в
работах [29], [30]. Преобразование подобия (0.2), приводящее к
самосопряжённому виду, осуществляется здесь оператором
9
Разностная схема (0.1) с оператором где - оператор
в , получила название схемы с переменными весовыми множителями. Она
является обобщением известной схемы [15] с постоянным весом .
Если операторы и - не перестановочны, то оператор
не является самосопряжённым. В этом случае для схем (0.1), (0.4) получено
неулучшаемое (за счет выбора нормы) условие устойчивости в виде
операторного неравенства, выполнение которого необходимо для
устойчивости в любом и достаточно для устойчивости в некотором
[29], [30]. Основной в этих работах является
Т е о р е м а 0.3. Если схема (0.1), (0.4) устойчива в каком-либо
пространстве
, то справедливо операторное неравенство
(0.5)
где . Обратно, если выполнено условие (0.5), то схема (0.1),(0.4)
устойчива в пространстве
Если выполнено (0.5) и существует
схема (0.1), (0.4) устойчива и в пространстве
.
, то
В [29] показано, что если , где то
неравенство (0.5) эквивалентно операторному неравенству в евклидовом
пространстве
(0.6)
В качестве примера в [29] рассмотрена разностная схема с
переменными по пространству весовыми множителями, аппроксимирующая
одномерное уравнение теплопроводности с постоянным коэффициентом и
краевыми условиями первого рода на равномерной сетке с шагом
Применение теоремы 0.3 с заменой операторного неравенства (0.5) на
эквивалентное (0.6) позволило сформулировать необходимые и достаточные
условия устойчивости указанной схемы в терминах собственных значений
симметричной трёхдиагональной матрицы, представляющей оператор и
зависящей только от параметров
и данной схемы.
В отдельных случаях задания весовых множителей
собственные значения матрицы оператора найдены в явном виде.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]