Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивость разностных схем с переменными весовыми множителями. Монография
.pdf
10
В работе [33] показано, что устойчивость указанной разностной схемы
зависит не только от величины весовых множителей, но и от их
расположения на сетке.
Схемам с переменными весовыми множителями посвящены работы
П.Н. Вабищевича, П.П. Матуса и В.С. Щеглика [34]-[36]. В работе [34]
рассматривается задача Коши для эволюционного уравнения первого
порядка с линейным конечно-разностным оператором ,
действующим в евклидовом пространстве . Построены два типа
двухслойных операторно-разностных схем с переменными по пространству и
времени весами: с взвешиванием самого решения и взвешиванием
оператора. Исходя из общих результатов теории устойчивости двухслойных
операторно-разностных схем и метода энергетических неравенств, авторы
получили достаточные условия устойчивости таких схем по начальным
данным и правой части. В работе [35] рассмотрены трёхслойные разностные
схемы с переменными по пространству и времени весами для
эволюционного уравнения второго порядка. Теми же методами, что и в [34],
получены достаточные условия устойчивости схем с переменными весами
обоих типов по начальным данным и правой части. В работе [35] для
эволюционных уравнений первого и второго порядка предложены
соответственно двух- и трёхслойные разностные схемы дивергентного типа с
переменными по пространству и времени весами. Найдены достаточные
условия абсолютной – для двухслойных и условной – для трёхслойных схем
устойчивости по начальным данным и правой части и приведены
соответствующие априорные оценки. В случае одной пространственной
переменной для гиперболического уравнения и квазилинейного
параболического уравнения получены оценки сходимости.
0.4. Остановимся на содержании данной работы.
Глава 1 посвящена исследованию устойчивости разностных схем с
весами для одномерного уравнения теплопроводности.
В §1.1 излагается теория устойчивости двухслойных операторно -
разностных схем с переменными весовыми множителями [37]. Доказана
11
Т е о р е м а 0.4. Пусть операторы и не зависят от , существует
и выполнены условия (0.4). Предположим, что ,
. Если схема (0.1) устойчива в каком-либо пространстве, то в
справедливо неравенство (0.6), где . Обратно, если выполнено
(0.6), то схема (0.1),(0.4) устойчива в
(0.1),(0.4) устойчива и в
Если
существует, то схема
Теорема 0.4 является обобщением на случай вырожденного оператора
теоремы, приведённой в работе [30].
В §1.2 рассматривается двухслойная разностная схема с переменными
по пространству весовыми множителями на неравномерной сетке для
одномерного уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом
и краевыми условиями второго рода [38]. Схема имеет вид
где
- разностное решение в узле сетки в момент времени -
(0.7)
шаг по времени,
,
– заданные вещественные числа.
Показано, что схема (0.7) принадлежит семейству схем (0.1), (0.4), где
оператор определяется согласно формулам
12
а - оператор, задаваемый диагональной матрицей
Построено разложение оператора в произведение и доказано,
что схема (0.7) удовлетворяет всем условиям теоремы 0.4. Выписана матрица
, соответствующая оператору устойчивости
для схемы (0.7). Эта матрица является якобиевой, её ненулевые элементы
имеют вид
(0.8)
Доказана
Т е о р е м а 0.5. Если схема (0.7) устойчива в каком-либо
пространстве, то минимальное собственное значение
матрицы
(0.8) неотрицательно. Обратно, если минимальное собственное значение
матрицы (0.8) неотрицательно, то схема (0.7) устойчива в
Отмечается, что при рассмотрении краевых условий первого рода
или смешанного типа
оператор соответствующей разностной задачи становится положительным.
Для такой схемы, как и в случае краевых условий второго рода, выполнены
все условия применимости теоремы 0.4. Матрица оператора в этом случае
имеет вид (0.8) с небольшой коррекцией элементов. Условие
неотрицательности минимального собственного значения такой матрицы
необходимо для устойчивости в любом
и в
.
и достаточно для устойчивости в
13
Установлены достаточные условия устойчивости схемы (0.7) в виде
системы неравенств между элементами матрицы (0.8), на основании
которых получен ряд следствий относительно устойчивости схем с
конкретными наборами весовых множителей.
В §1.3 описаны результаты численного исследования устойчивости
разностной схемы (0.7) с переменными весовыми множителями для
одномерного уравнения теплопроводности [38]. Минимальное собственное
значение
[39]. Из требования неотрицательности
матрицы устойчивости (0.8) определялось методом бисекции
устанавливалось условие
устойчивости разностной схемы (0.7) и её вариантов в случае краевых
условий первого рода или смешанного типа.
Приведены результаты двух серий расчётов.
Первая – охватывает случай постоянного и равномерной сетки.
Вторая серия расчётов относится к случаю переменного и
неравномерной сетки. Существенное внимание в работе уделено
исследованию устойчивости локально неявных разностных схем, то есть схем
явных везде за исключением небольшого числа узлов, где схема является
неявной. Установлено, что использование локально неявной схемы в
областях мелкого шага пространственной сетки и большого значения
коэффициента теплопроводности позволяет исключить влияние этих
факторов на границу устойчивости.
Глава 2 посвящена исследованию устойчивости разностных схем с
переменными весовыми множителями для двумерного уравнения
теплопроводности [40].
В §2.1 критерий устойчивости двухслойной операторно-разностной
схемы (глава 1, теорема 0.4) применён к разностной схеме с переменными
по пространству весовыми множителями для двумерного уравнения
теплопроводности с переменными коэффициентами. Схема имеет вид
14
(0.9)
где внутренние узлы, граничные узлы сетки неравномерной по
каждому направлению,
разностное решение в узле сетки в момент времени
сеточные аналоги коэффициентов и в исходном
уравнении,
заданные вещественные числа.
Показано, что схема (0.9) принадлежит семейству схем (0.1), (0.4), где
операторы и действующие в евклидовом пространстве определены
равенствами
Построено разложение оператора в произведение где
определены согласно равенствам
а евклидово пространство
причём линейные операторы
является прямой суммой евклидовых
пространств и
.
15
Установлено, что схема (0.9) удовлетворяет всем условиям теоремы 0.4,
получена матрица устойчивости
, для схемы (0.9).
, соответствующая оператору
В результате доказана
Т е о р е м а 0.6. Если схема (0.9) устойчива в каком-либо пространстве
, то минимальное собственное значение
матрицы устойчивости
этой схемы неотрицательно. Обратно, если минимальное собственное
значение матрицы
.
неотрицательно, то схема (0.9) устойчива в
и в
В §2.2 описаны результаты численного исследования устойчивости
разностной схемы (0.9) с переменными весовыми множителями для
двумерного уравнения теплопроводности. Минимальное собственное
значение
матрицы устойчивости схемы (0.9) определялось методом
обратных итераций [41].
Проведено три группы расчётов, позволивших исследовать условие
устойчивости в зависимости от выбираемого набора весовых множителей
1) при постоянном коэффициенте теплопроводности
на квадратной сетке;
2) при постоянном коэффициенте на неравномерной сетке;
3) при переменном коэффициенте
имеющем локальный выброс величиной на квадратной
сетке.
Наибольший интерес представляют результаты, связанные с изучением
условия устойчивости схемы в случае переменного коэффициента
теплопроводности и неравномерной сетки. Подтверждён вывод, сделанный
в одномерном случае: использование локально неявных схем в областях
мелкого шага пространственной сетки и большого значения коэффициента
теплопроводности позволяет устранить зависимость условия устойчивости от
этих факторов.
16
В главе 3 проведено аналитическое исследование устойчивости
разностной схемы с переменными весовыми множителями для двумерного
уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами на
равномерной по каждому направлению сетке с шагами
[42].
и
Эта схема является частным случаем схемы (0.9), рассмотренной в
предыдущей главе, когда
Следовательно, её
устойчивость, согласно теореме 0.6, определяется оператором
, где операторы
определены в
главе 2 и являются в случае постоянных коэффициентов
сеточным аналогом градиента и дивергенции (со знаком минус)
соответственно.
В §3.1 задача на собственные значения для оператора преобразуется
в задачу на собственные значения для оператора
где
операторы левой разности,
единичный оператор в пространстве Матрица оператора
называется редуцированной матрицей устойчивости. Установлено, что
спектр матрицы представляет собой объединение спектра матрицы
и
собственного значения 1 кратности .
Из теоремы 0.6 следует
Т е о р е м а 0.7. Если разностная схема (0.9) устойчива в каком-либо
пространстве
, то все собственные значения задачи
(0.10)
17
неотрицательны. Обратно, если все собственные значения задачи (0.10)
неотрицательны, то разностная схема (0.9) устойчива в пространствах
.
Изучена связь решений спектральных задач для оператора
и
и
исходного оператора . Эта связь устанавливается в следующих двух
теоремах.
Т е о р е м а 0.8. Пусть
- собственная пара оператора
1) если , то - собственная пара оператора , где
. Тогда
;
2) если , то - собственная пара оператора , где - решение
уравнения
, имеющего линейно независимых
решений ( – число нулевых ).
Т е о р е м а 0.9. Пусть
1) если , то - собственная пара оператора , где
- собственная пара оператора . Тогда
,
2) если , то - собственная пара оператора , где – решение
уравнения , имеющего линейно независимых решений
только в случае вырожденного оператора .
Редуцированный оператор , в отличие от оператора , не является
самосопряжённым оператором. Однако установлено, что
- оператор
простой структуры, а именно, доказана следующая
Т е о р е м а 0.10. У оператора существует линейно
независимых собственных функций, где
В §3.2 приведено решение спектральной задачи для редуцированной
матрицы (0.10) в случае шахматного распределения весовых множителей. В
шахматном разбиении множество внутренних точек сетки представляется
в виде объединения двух подмножеств , причём требуется, чтобы
центральная точка пятиточечного шаблона
и её
окрестность принадлежали разным подмножествам. Весовые множители
выбираются в соответствии с правилом
18
где и
- заданные постоянные.
(0.11)
Для трёх возможных случаев выбора значений
в шахматном распределении:
1)
2)
3)
спектральная задача для оператора
решена в явном виде, найдены
собственные значения и базис из собственных функций.
Исследование устойчивости рассматриваемой разностной схемы для
шахматного распределения весовых множителей (0.11) сводится, согласно
теореме 0.7, к нахождению условий неотрицательности всех собственных
значений оператора
. Такие условия содержит
Т е о р е м а 0.11. Для устойчивости разностной схемы (0.9) в случае
шахматного распределения весовых множителей (0.11) необходимо и
достаточно выполнение хотя бы одной из групп неравенств
где соответственно
минимальное и максимальное собственные значения пятиточечного
разностного оператора Лапласа.
В §3.3 получено решение задачи на собственные значения для матрицы
в случае распределения весовых множителей в виде чередующихся полос
(0.12)
19
где
заданные постоянные. Для каждого из трёх
возможных вариантов выбора значений приведённых выше,
спектральная задача для оператора
решена в явном виде, найдены
собственные значения и базис из собственных функций.
Доказан следующий критерий устойчивости.
Т е о р е м а 0.12. Для устойчивости разностной схемы (0.9) в случае
распределения весовых множителей в виде чередующихся полос (0.12)
необходимо и достаточно выполнение хотя бы одной из групп неравенств
(0.13)
(0.14)
(0.16)
(0.15)
В неравенствах (0.14)-(0.19) через
трёхчлена
причём
обозначены корни квадратного
(0.17)
(0.18)
(0.19)
Подводя итог сказанному, приведём основные результаты данной
работы:
1. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости
двухслойных разностных схем с переменными по пространству
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]