Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивость разностных схем с переменными весовыми множителями. Монография
.pdf
30
.
Если весовые множители выбрать в соответствии с
условиями
то полученная матрица
будет обладать свойством диагонального
преобладания. Такая матрица – невырожденная [44, стр.200]. Значит, при
условиях на , приведённых выше, оператор
Выпишем матрицу
, соответствующую оператору
существует.
для схемы (1.2.2). Эта матрица является якобиевой (при её
ненулевые элементы имеют вид
(1.2.3)
Будем называть эту матрицу матрицей устойчивости схемы (1.2.2).
Таким образом, непосредственно из леммы 1.2.1 и теоремы 1.1.4
следует
Т е о р е м а 1.2.1. Если схема (1.2.2) устойчива в каком-либо
пространстве то минимальное собственное значение
матрицы
(1.2.3) неотрицательно. Обратно, если минимальное собственное значение
матрицы (1.2.3) неотрицательно, то схема (1.2.2) устойчива в
.
31
При рассмотрении краевых условий первого рода
или смешанного типа
оператор A соответствующей
разностной задачи становится положительным. Для такой схемы, как и в
случае краевых условий второго рода, выполнены все условия
применимости критерия устойчивости, приведённого в теореме 1.1.4.
Матрица оператора Q в этом случае имеет тот же вид (1.2.3) с небольшой
коррекцией элементов. В частности, для краевых условий первого рода
следует взять а для условий смешанного - Условие
неотрицательности минимального собственного значения такой матрицы
необходимо для устойчивости в любом и достаточно для устойчивости в
и в
.
Заметим, что в случае можно говорить об устойчивости
схемы в
. Известно [9], что необходимым и достаточным условием
устойчивости схемы в является условие . В работе [29] в случае
краевых условий первого рода и коэффициента на равномерной
сетке построен пример схемы с весами, устойчивой
. Приведём аналогичный пример для краевых условий смешанного типа
. Обозначим
, где h – шаг равномерной сетки.
в и неустойчивой в
Заменим неравенство эквивалентным неравенством где
Так как оператор
является самосопряжённым оператором в пространстве H ,
условие равносильно условию неотрицательности собственных чисел
оператора P . Матрица оператора P для рассматриваемой схемы имеет
симметричный трёхдиагональный вид с элементами
Для весовых множителей собственными числами
матрицы являются 1 (кратности N-2) и
. Следовательно,
32
необходимое и достаточное условие устойчивости рассматриваемой схемы в
приобретает вид
.
С другой стороны, матрица устойчивости Q (1.2.3) в
имеет собственные значения 1 (кратности N-1) и
Значит, необходимое и достаточное условие устойчивости схемы в
в случае
.
эквивалентно требованию
Следовательно, если
множителями устойчива в
и не устойчива в
, то схема с предложенными весовыми
.
2.В следующей теореме приведены достаточные условия устойчивости
схемы (1.2.2), легко применимые на практике при выборе весовых
множителей.
Т е о р е м а 1.2.2. Если выполнены условия
,
(1.2.4)
,
,
то схема (1.2.2) устойчива в
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - любое собственное значение матрицы
(1.2.3). Согласно теореме Гершгорина [43] можем написать
. Следовательно, для выполнения неравенства достаточно
.
33
потребовать
или, учитывая (1.2.3), приходим к
условиям (1.2.4).
С л е д с т в и е 1.2.1. Условия (1.2.4) в случае и равномерной
сетки принимает простой вид [37]
(1.2.5)
Условия (1.2.5), не будучи необходимыми, являются тем не менее близкими
к необходимым условиям устойчивости схемы (1.2.2). Из них следует, в
частности, что схема с постоянным устойчива при условии
.
На основании (1.2.5) можно сделать также следующие выводы об
устойчивости в
1)схема с весовыми множителями для чётного, для
нечётного устойчива при условии ;
2)все схемы с абсолютно устойчивы, то есть
устойчивы при любых
3)если для некоторого , а для остальных , то
схема (1.2.2) устойчива при ;
4)если
, то схема устойчива при условии
схемы (1.2.2) при и :
;
(схема повышенного порядка точности) и
;
5)если
, ,
, то схема абсолютно устойчива.
В случае и равномерной сетки матрицу (1.2.3)
можно представить в виде
, (1.2.6)
34
где - единичная - матрица,
и
– симметричная
трёхдиагональная матрица, ненулевые элементы которой определяются
только весовыми множителями
и имеют вид
Пусть
минимальное собственное значение матрицы .
Поскольку элементы матрицы не зависят от , из теоремы 1.2.1 и
представления 1.2.6 следует справедливость приведённых ниже
утверждений для схемы (1.2.2) при и
1.Если
при любых
то схема абсолютно устойчива, то есть устойчива
.
2.Если для данного схема устойчива
(неустойчива) при некотором
любом
3. Если
. Для данного схема устойчива при
) .
, то существует граница устойчивости
всех и неустойчива при
, то она устойчива (неустойчива) и при
, где
.
Отметим, что аналитическое исследование границы устойчивости схемы
для некоторых наборов весовых множителей в случае краевых условий
первого рода и постоянного коэффициента на равномерной сетке
проведено в работе [29].
35
§1.3. Численное исследование устойчивости разностной
схемы с переменными весовыми множителями
для одномерного уравнения теплопроводности
1.Целью настоящего раздела является выяснение влияния на границу
устойчивости переменности коэффициента теплопроводности и
неравномерности сетки. Получить ответы на эти вопросы аналитически
затруднительно, поэтому были проведены численные расчёты.
Минимальное собственное значение
матрицы устойчивости (1.2.3)
определялось методом бисекции [39], позволяющим находить все
собственные значения якобиевой матрицы с заданной точностью (все
расчёты проведены с ). Из требования неотрицательности
устанавливалось условие устойчивости разностной схемы (1..2.2) или её
вариаций в случае условий первого рода или смешанного типа [38].
Первая серия расчётов охватывает случай постоянного коэффициента
и равномерной сетки.
Рассмотрим набор весовых множителей
где - задаваемый параметр. В таблице 1 (N=20) для краевых условий
смешанного типа и условий второго рода приведены результаты расчётов
устойчивости разностной схемы для различных значений . Даны значения
соответствующие
. Наблюдается быстрый рост значения , что согласуется с
. Для
схема является устойчивой
выводом, следующим из условий (1.2.5): все схемы с абсолютно
устойчивы.
36
схема
0.0
0.05
0.10
0.20
0.40
условия смешанного
типа
1.00
1.10
1.25
1.60
5.00
условия второго
рода
1.00
1.11
1.25
1.66
5.00
схема
4
8
16
24
32
64
условия смешанного
типа
0.556
0.516
0.504
0.502
0.501
0.500
условия второго
рода
0.513
0.503
0.501
0.500
0.500
0.500
Таблица 1
Для кусочно-постоянного веса
зависимость значения
схемы (1.2.2) от величины
приведена в
таблице 2 (N=64).
Таблица 2
Результаты показывают, что использование явной схемы даже в
небольшом числе точек приводит к условиям устойчивости, близким к
условию устойчивости чисто явной схемы, когда для
. В то же время, чередование через точку явной и неявной схем
приводит к условию . Отметим, что аналогичные результаты
справедливы также в случае краевых условий первого рода. Детальное
исследование границы устойчивости схемы для постоянного коэффициента
на равномерной сетке в случае краевых условий первого рода
проведено в [33].
2.Вторая серия расчётов относится к случаю переменного коэффициента
и неравномерной сетки. Выбор шага по времени при расчёте по явной
схеме существенно ограничен из соображений устойчивости величиной шага
37
явная схема
0.307
0.132
0.045
0.012
0.010
пространственной сетки и величиной коэффициента теплопроводности
. Такие ограничения могут являться локальными по
пространству, однако они приводят к ограничению на шаг по времени для
всей задачи. Возникает вопрос: можно ли снять эти ограничения за счёт
использования локально неявной схемы?
Приведём результаты, позволяющие ответить на этот вопрос
(рассматриваются краевые условия первого рода). Выберем
В окрестности точки
разрыва коэффициента
;
уменьшим шаг сетки в
(1.3.1)
два раза, так что
где
. Для явной схемы
достаточным условием устойчивости является условие
,
что для даёт . Расчёт величины для явной схемы,
исходя из оценки
величину
, даёт близкое значение
, характеризующую “нахлёст” неявной схемы на
. Введём
область . Из таблицы3 видно, что локальное использование неявной
схемы позволяет получить условие устойчивости, не зависящее от
. Действительно, при имеем
Таблица 3
.
и
38
Заметим, что положение точки разрыва
величины разрыва (значение
) не влияют на качественный характер
коэффициента
и
полученных результатов.
Приведём для случая краевых условий первого рода результаты
расчётов границы устойчивости
схемы для коэффициента
имеющего локальный “выброс”:
Выбираем весовые множители следующим образом
Обозначим
локального “выброса”
. Сетка равномерная:
использована чисто неявная схема, в остальных
. В области
,
узлах – явная. Таблица 4 наглядно убеждает, что в этом случае влияние
величины на значение границы устойчивости
полностью
отсутствует.
Таблица 4
Положение «выброса»
на сегменте
и «ширина» его не изменяют
основного вывода об исключении влияния величины коэффициента
теплопроводности на границу устойчивости за счёт использования локально
неявной схемы.
39
Глава 2. Устойчивость разностных схем с переменными
весовыми множителями для двумерного уравнения
теплопроводности
§2.1. Критерий устойчивости разностной схемы с переменными
весовыми множителями для двумерного уравнения
теплопроводности
1.Применим критерий устойчивости двухслойной операторно-
разностной схемы, приведённый в теореме 1.1.4, к разностной схеме с
переменными по пространству весовыми множителями для двумерного
уравнения теплопроводности с краевыми условиями первого рода [40].
Пусть прямоугольная область на плоскости
с границей
Рассмотрим краевую задачу
Введём в
прямоугольную неравномерную по каждому направлению
(2.1.1)
сетку
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]