Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивость разностных схем с переменными весовыми множителями. Монография
.pdf
20
весовыми множителями для одномерного и двумерного уравнения
теплопроводности.
2. Для численного решения уравнения теплопроводности с
переменными коэффициентами изучены локально неявные
разностные схемы с переменными весовыми множителями на
неравномерной сетке. Показано, что использование локально
неявных разностных схем позволяет исключить влияние величины
коэффициента теплопроводности и мелкого шага пространственной
сетки на условие устойчивости.
3. Для некоторых специальных случаев распределения весовых
множителей двумерной разностной схемы решение спектральной
задачи об устойчивости получено в явном виде.
21
Глава1. Критерий устойчивости двухслойных разностных схем
с переменными весовыми множителями и его применение
к одномерному уравнению теплопроводности
§1.1. Теория устойчивости двухслойных разностных схем
с переменными весовыми множителями
1.В [29], [30] введено семейство двухслойных операторно-разностных
схем
(1.1.1)
характеризующееся условиями
(1.1.2)
и получены критерии устойчивости данного семейства. Здесь
скалярным произведением
, евклидово пространство со
линейные операторы,
действующие в , – единичный оператор. Операторы - не
перестановочны, то есть .
В дальнейшем, не оговаривая этого специально, будем предполагать,
что операторы не зависят от . Пусть задан самосопряжённый
положительный оператор , действующий в . Через
обозначим
линейное пространство, состоящее из элементов и снабжённое
скалярным произведением
и нормой
Разностная схема (1.1.1) называется устойчивой в пространстве
любых для решения
выполняются оценки
(1.1.3)
, если при
.
22
Необходимые и достаточные условия устойчивости разностной схемы
(1.1.1) в пространствах и
получены в работе [9]. В [29], [30] показано,
что существуют пространства, устойчивость в которых имеет место при более
слабых требованиях к оператором и , чем требование устойчивости в
пространствах или
необходимое и достаточное условие устойчивости в пространствах
, не предполагающее самосопряжённости и знакоопределённости хотя
. В приведённой ниже теореме сформулировано
и
бы одного из операторов или [37].
Т е о р е м а 1.1.1. Пусть операторы и не зависят от ,
существует. Для устойчивости схемы (1.1.1) в пространстве
необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
(1.1.4)
Если, кроме того, существует
достаточно также для устойчивости в
, то условие (1.1.4) необходимо и
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Устойчивость схемы (1.1.4) в пространстве
эквивалентна выполнению операторного неравенства
(1.1.5)
где - оператор перехода. Переписывая (1.1.5) в виде
(1.1.6)
и подставляя сюда приходим к (1.1.4). Далее, подставляя в (1.1.6)
оператор получаем операторное неравенство, которое
эквивалентно (1.1.4) при условии существования
[15]. Теорема 1.1.1
доказана.
Выполнение операторного неравенства (1.1.4) не является, вообще
говоря, необходимым для устойчивости в нормах пространств, отличных от
и
. В следующей теореме выделяется класс разностных схем, в
котором условие устойчивости (1.1.4) нельзя ослабить за счёт выбора нормы
[37].
23
Т е о р е м а 1.1.2. Пусть операторы и не зависят от , существует
. Если схема (1.1.1) устойчива в каком-либо пространстве
и
выполнено условие
(1.1.7)
то выполняется и неравенство (1.1.4).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего отметим, что условие (1.1.7)
и
эквивалентно требованию самосопряжённости операторов
. Заметим, что
Пусть схема (1.1.1) устойчива в каком-либо пространстве
. Действительно, условие (1.1.7) равносильно тождеству
и, следовательно,
. (1.1.8)
. Из неравенства
(1.1.5) следует, что все собственные значения оператора не превосходят 1
по модулю. То же самое справедливо и для подобного ему оператора
определённого согласно (1.1.8). Поскольку
- самосопряжённый оператор,
все собственные значения которого не превосходят 1 по абсолютной
или
.
величине, справедливо операторное неравенство
Последнее неравенство эквивалентно неравенству
. (1.1.9)
Учитывая условие (1.1.7), получим
. Поэтому неравенство (1.1.9) примет вид .
и, следовательно,
Отсюда и из (1.1.7) приходим к неравенству (1.1.4).
2. Разностную схему (1.1.1) с оператором , где – оператор
в , назовём схемой с переменными весовыми множителями. Остановимся
,
здесь на частном случае схем с переменными весовыми множителями,
24
когда операторы и являются самосопряжёнными. При этом, очевидно,
условие (1.1.7) выполнено. Следствием теорем 1.1.1 и 1.1.2 является
Т е о р е м а 1.1.3. Пусть операторы и не зависят от , выполнены
условия (1.1.2) и оператор
существует. Если схема (1.1.1) устойчива в
каком-либо пространстве
, то справедливо операторное неравенство
, (1.1.10)
где . Обратно, если выполнено условие (1.1.10), то схема (1.1.1),
(1.1.2) устойчива в пространстве
схема устойчива и в пространстве
. Если, кроме того, существует
.
, то
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть схема (1.1.1) устойчива в каком-либо
пространстве Из условий (1.1.2) следует, что выполнено условие (1.1.7).
Согласно теореме 1.1.2 выполняется неравенство (1.1.4), которое
эквивалентно (1.1.10) при . Обратно, если выполняется (1.1.10),
что эквивалентно неравенству (1.1.4) при условиях (1.1.2), то, согласно
теореме 1.1.1, схема (1.1.1) устойчива в
.
и, если существует
, в
Отметим, что теорема 1.1.3 не предполагает знакоопределённости
оператора . Дальнейшие теоремы §1.1 относятся к случаю
самосопряжённого неотрицательного оператора .
Для многих конкретных разностных схем условие устойчивости (1.1.10)
можно заменить эквивалентным, но более простым для проверки
операторным неравенством, которое сформулировано в лемме 1.1.1.
Наряду с основным пространством введём евклидово пространство
, размерность которого не обязательно совпадает с размерностью
пространства . Предположим, что оператор можно представить в виде
произведения , где и - оператор, сопряжённый
.
25
Л е м м а 1.1.1. Если , , , то операторное
неравенство (1.1.10) эквивалентно неравенству в пространстве
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим .
Поскольку , неравенство очевидно следует из неравенства
. Докажем, что и обратно, из неравенства следует . Пусть
- любой элемент. Представим в виде суммы , где
и
. Тогда получим
Поскольку
. Лемма 1.1.1 доказана.
, имеем и, следовательно,
. Таким образом,
.
Из теоремы 1.1.3 и леммы 1.1.1 следует
Т е о р е м а 1.1.4. Пусть операторы A и не зависят от n, существует
и выполнены условия (1.1.2). Предположим, что
Если схема (1.1.1) устойчива в каком-либо пространстве
то в
справедливо неравенство
,
(1.1.11)
где Обратно, если выполнено (1.1.11) , то схема (1.1.1), (1.1.2)
устойчива в
.
Если
существует, то схема (1.1.1), (1.1.2) устойчива и в
С л е д с т в и е 1.1.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.1.4. Если
то схема (1.1.1) устойчива при любых
С л е д с т в и е 1.1.2. Если схема (1.1.1), (1.1.2) устойчива и , то
устойчива и схема (1.1.1) с оператором .
26
Замечание. Поскольку самосопряжённый оператор,
условие (1.1.11) эквивалентно требованию неотрицательности
минимального собственного значения оператора Q .
27
§1.2. Критерий устойчивости разностной схемы с переменными
весовыми множителями для одномерного уравнения
теплопроводности
1.Применим приведённый в §1.1 критерий к одномерному уравнению
теплопроводности с различными типами краевых условий. Начнём
изложение для задачи с краевыми условиями второго рода. Замечание о
задачах с граничными условиями первого и смешанного типов приведено
ниже.
Рассмотрим краевую задачу
(1.2.1)
Ведём на сегменте [0,1] неравномерную сетку
Рассмотрим для задачи (1.2.1) двухслойную разностную схему с
переменными по пространству весовыми множителями
(1.2.2)
28
Здесь
, –
заданные вещественные числа.
Отметим, что в случае равномерной сетки, когда
разностная схема (1.2.2) имеет второй порядок погрешности аппроксимации
по .
Приведём схему (1.2.2) к каноническому виду (1.1.1) и построим
разложение .
Пусть
узлах сетки . Введём евклидово пространство
- сеточная функция, определённая в
со
скалярным произведением
Определим оператор по формулам
Неотрицательность оператора A следует из первой формулы Грина [32]
Покажем, что оператор A допускает представление Введём
евклидово пространство
произведением
формуле
для любого
Определим оператор
со скалярным
по
Из соотношения
для любых
29
используя формулу суммирования по частям [32], находим, что сопряжённый
к L оператор : задаётся формулой
Покажем, что Действительно,
Пусть оператор:, определяемый диагональной матрицей
Тогда верна
Л е м м а 1.2.1. Схема (1.2.2) принадлежит семейству схем (1.1.1), (1.1.2)
и для неё выполнены все условия теоремы 1.1.4.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что схема (1.2.2) может быть записана
в каноническом виде (1.1.1), где а операторы определены
выше. Ясно, что Неотрицательность оператора A и его представление
в виде уже установлены. Покажем, что оператор
существует.
Действительно, матрица оператора является трёхдиагональной
матрицей с элементами
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]