Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивость разностных схем с переменными весовыми множителями. Монография
.pdf
70
Ранг матрицы этой системы равен 1 и, следовательно, её решением является
единственный с точностью до постоянного множителя вектор
В итоге, при система (3.2.7) имеет решение:
(3.2.10)
В случае аналогично получаем, что решение системы
(3.2.7) имеет вид
(3.2.11)
Наконец, при система (3.2.7) приобретает форму
Её решения имеют следующий вид:
1)если
2)если
то
то
(3.2.12)
задаётся формулой (3.2.9), а
71
Заметим, что при
значение
то есть
является конечной величиной.
Имея решение (3.2.10)-(3.2.13) системы (3.2.7), из представления (3.2.4)
получаем решение системы (3.2.3) в каждом из указанных случаев выбора
а именно:
I.
1)
2)
(3.2.14)
(3.2.15)
II.
1)
2)
III. .
(3.2.16)
(3.2.17)
(3.2.18)
(3.2.19)
72
Формально все приведённые выше пары удовлетворяют системе
(3.2.3). Однако собственными парами будут лишь те, для которых
Естественно также, что при переборе ,
часть функций
окажутся линейно зависимыми. В следующем пункте
обосновывается выбор множества номеров
совокупность {
образует базис в пространстве в каждом из
указанных случаев I, II, III. При этом соответствующий набор
для которых
образует
спектр оператора
3.Установим ряд вспомогательных утверждений. Для удобства
дальнейшего изложения, без ограничения общности, будем считать, что узел
Это значит, что
(3.2.21)
Л е м м а 3.2.1. Для функций
определённых согласно
(3.2.5), (3.2.6), имеют место соотношения
(3.2.23)
(3.2.24)
Если
- чётные, то
где
.
(3.2.22)
73
Д о к а з а т е л ь с т в о. Нетрудно видеть, что
. (3.2.22)
Отсюда, учитывая 3.2.21, непосредственно следует (3.2.22).
Соотношение (3.2.23) получается из определения функции
Наконец, (3.2.24) следует из выражения
где
.
Л е м м а 3.2.2. Имеют место следующие тождества.
При - чётном:
(3.2.26)
где
(3.2.6).
(3.2.25)
где
При - нечётном:
где
(3.2.27)
(3.2.28)
(3.2.29)
74
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
(3.2.30)
и - чётное. Тогда при
, используя формулу для суммы членов геометрической
получаем, что
то есть (3.2.25) доказано.
прогрессии со знаменателем
При
Тождество (3.2.26) непосредственно следует из (3.2.25). Действительно,
. (3.2.31)
При получаем
Таким образом, (3.2.26) есть следствие трёх последних тождеств.
Докажем (3.2.27). Так как
, то
. (3.2.32)
Из (3.2.25) имеем
75
что совместно с (3.2.32) даёт (3.2.27).
Пусть теперь - нечётное. Тогда при получаем по
аналогии с (3.2.25)
Если , то
.
Тождество (3.2.29) следует из(3.2.31), (3.2.28), так как
, поскольку
при
Докажем (3.2.30). Имеем
.
,
где при - нечётном из (3.2.28)
, поскольку , то есть
.
Лемма 3.2.2 доказана.
Л е м м а 3.2.3. Для каждой из приведённых групп функций (3.2.14)-
(3.2.20) имеют место тождества
где множитель равен или .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение является следствием соотношений
(3.2.22), (3.2.23), приведённых в лемме 3.2.1.
76
Принимая во внимание лемму 3.2.3, отделим пары
, причём
от пар
Назовём совокупность таким образом отобранных пар
множеством . Ясно, что
, если
(3.2.33)
, если
- чётное.
- нечётное,
Введём так же множество
(3.2.34)
Назовём размерностью множества число различных пар
принадлежащих .
,
Л е м м а 3.2.4.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение устанавливается подсчётом
различных пар
, принадлежащих , исходя из определения
(3.2.33).
Л е м м а 3.2.5. Имеют место следующие тождества
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любых двух функций
для любых
для любых
из
из
согласно (3.2.5), (3.2.21) имеем
77
Если
функции {
, то
} оператора второй производной
ортогональны. Значит,
Тогда из (3.2.35) при
получаем
так как собственные
(3.2.35)
,
(3.2.36)
предполагает три
, в
,
. В
получаем
Аналогично из (3.2.35) при
Выбор двух различных пар
возможности: а)
случаях а) и б)
имеет вид (3.2.36), а в случае в) – вид (3.2.37).
,
, б)
В случае а) первый сомножитель в представлении (3.2.36) равен нулю,
так как
собственных функций {
при
} , а
в силу ортогональности
78
зависимости от чётности или нечётности , так как
из представления
В случае б)
Если
, то первый сомножитель в (3.2.36) равен нулю, так как
из (3.2.27) или (3.2.30). Если, то из (3.2.34) следует, что
на основании (3.2.26) или (3.2.29) в
, что видно
(3.2.34).
и возможны два варианта: 1) 2)
и, значит, обратится в нуль второй сомножитель в (3.2.36) на основании
(3.2.26) или (3.2.29).
В случае в) имеет место представление (3.2.37). Так как
множестве
и поэтому первый сомножитель равен нулю на
, то на
основании (3.2.26) или (3.2.29).
,
Тождество доказано.
Преобразуем
. Учитывая (3.2.21), имеем
Из (3.2.38) следует, что
при
(3.2.38)
(3.2.39)
79
при
Правые части (3.2.39), (3.2.40) совпадают с точностью до знака с правыми
частями (3.2.36), (3.2.37) соответственно. Таким образом, для любых пар
из множества получаем . Лемма 3.2.5 доказана.
Т е о р е м а 3.2.1. Для шахматного распределения весовых множителей
в случае оператор
(3.1.6) имеет только два различных
собственных значения. Собственному значению соответствует
ортогональная система собственных функций (3.2.14), где
Собственному значению
соответствует ортогональная
.
система собственных функций (3.2.15), где
В целом система собственных функций (3.2.14), (3.2.15) с указанными
номерами
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любых двух функций
образует базис в пространстве .
из
семейства (3.2.14) имеем
согласно лемме 3.2.5 для
Аналогично для функций
из множества
из семейства (3.2.15) имеем
в соответствии с леммой 3.2.5 для
из множества
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]