Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивость разностных схем с переменными весовыми множителями. Монография
.pdf
50
Определим элементы матрицы . Для любого
при любом
имеем
Из этих выражений следует, что блок матрица
, состоящая из блоков
элементы блока
представляют собой матрицы вида (2.1.11), где
. Ненулевые
для
для
Отметим, что элементы
каждого из блоков матрицы (2.1.10) имеют
,
глобальную нумерацию (то есть - номера строки и столбца элемента в
). Заметим также, что конкретная структура расположения ненулевых
элементов матрицы зависит от способа упорядочения координат векторов
51
в пространствах
и приведена нами для случая упорядочения,
специально оговоренного в начале п.3.
Отметим, что матрица (2.1.10) является симметричной при условии
равномерности сетки по каждому направлению. Если хотя бы по одному
направлению сетка не является равномерной, то матрица не является
симметричной.
Из леммы 2.1.2 следует
Т е о р е м а 2.1.1. Если схеме (2.1.2) устойчива в каком-либо
пространстве , то минимальное собственное значение
матрицы
(2.1.10) неотрицательно. Обратно, если минимальное собственное значение
матрицы неотрицательно, то схема (2.1.2) устойчива в
и в
.
52
§2.2.Численное исследование устойчивости разностной схемы
с переменными весовыми множителями для
двумерного уравнения теплопроводности
На основании теоремы 2.1.1, располагая явным выражением для
элементов матрицы устойчивости (2.1.10), полученным в §2.1, было
проведено численное исследование устойчивости разностной схемы (2.1.2)
[40]. Минимальное собственное значение
определялось методом
обратных итераций [41]. Целью численного исследования, как и в случае
одномерного уравнения теплопроводности, являлось выяснение влияния на
границу устойчивости схемы (2.1.2) переменности коэффициента
теплопроводности и неравномерности сетки.
Известно [15,стр.114], что для схемы (2.1.2) с
при постоянных по пространству весовых множителях необходимым
и достаточным условием устойчивости в любой норме
является выполнение неравенства
где
максимальное собственное значение пятиточечного разностного
оператора Лапласа. На равномерной по каждому направлению сетке
, (2.2.1)
имеем
.
Для явной схемы при условие (2.2.1) даёт
Отсюда следует, что достаточным условием устойчивости явной
схемы (2.1.2) является неравенство (при конечном числе узлов)
53
или
(2.2.2)
Обобщением (2.2.2) на переменную по каждому направлению сетку и
переменный коэффициент
где
минимальные шаги по направлениям
является неравенство
, (2.2.3)
соответственно.
Для разностной схемы на квадратной сетке с постоянными
коэффициентами
неравенство (2.2.3) принимает
вид
Применение общей теории к исследованию границы устойчивости
разностной схемы с переменными по пространству весами для одномерного
уравнения теплопроводности [38] позволяет предположить, что за счёт
выбора весовых множителей в разностной схеме (2.1.2) неравенство (2.2.3)
можно заменить на неравенство
где вводится следующим образом. Для конкретных коэффициентов
некоторый набор весовых множителей
и фиксированной пространственной сетки рассмотрим
. Затем, увеличивая до тех
пор, пока минимальное собственное значение матрицы Q (2.1.10) остаётся
положительным, получим максимальное значение (назовём его
), при
котором наша конкретная схема (2.1.2) является устойчивой. Очевидно,
чтобы увидеть во сколько раз набор
устойчивости явной схемы, надо положить равной
позволил поднять границу
54
Численные расчёты подтвердили это предположение. Методом
обратных итераций [41, стр.191] проведено три группы расчётов для
квадратной области
В первой группе расчётов исследована зависимость при
постоянном коэффициенте
. Рассмотрены два предельных случая выбора массива весовых
на квадратной сетке с
множителей . Для явной разностной схемы во всех узлах сетки за
исключением одного узла
получаем, что для различных положений точки
. В
другом предельном случае для неявной схемы на всей сетке за исключением
одного узла
получаем, что для различных положений точки
Естественно ожидать, что для всех промежуточных случаев, относительно
.
указанных, выбора для
будет выполнено неравенство
, где и
Действительно, для чередующегося заполнения нулями и единицами
массива
величина достигает значения .
Отметим, что, как показали расчёты других примеров, величина
определяется не только общим числом элементов массива , которые равны
единице, но и их расположением на сетке. Так, для неявной схемы
везде, кроме узлов сетки на прямой , где , общее число
55
единичных элементов массива значительно превышает их число в
предыдущем примере, однако здесь
Во второй группе расчётов исследована зависимость
постоянном коэффициенте
. В качестве примера
.
при
выбрана следующая кусочно-постоянная по каждому направлению сетка
где . В результате исходная область разделилась
на четыре подобласти
,
,
,
,
для
для
для
для
для
для
,
.
На введённой сетке рассмотрим следующее семейство локально
неявных схем с целочисленным параметром
Увеличение расширяет зону «неявности» схемы в подобласти
исходной
области, где сетка имеет шаг по каждому направлению. Естественно
ожидать рост с увеличением . Для значений результаты
расчётов
приведены в таблице 1.
Таблица 1
56
Дальнейшее расширение «неявности» схемы в подобластях и
для и для
повышает величину до .
Итак, условие устойчивости неявной в ,
схемы имеет вид
или
неравенство
, что с хорошей точностью повторяет
, так как
и .
Следовательно, значение соответствует условию устойчивости
явной схемы на квадратной сетке с шагом . Отметим сильную зависимость
величины от расширения единичных значений массива на все узлы
сетки, содержащие мелкий шаг, которую показывает следующий пример при
Здесь, по сравнению с предыдущим примером, величина
упала до
значения .
Таким образом, использование неявной схемы в областях малых
величин шага сетки по пространству исключает их влияние на границу
устойчивости.
В третьей группе расчётов исследована зависимость
квадратной сетке с шагом
квадратной области
при переменных коэффициентах
, имеющих «выброс»
:
в центре
Пусть разностная схема является неявной
в узлах
на
сетки,
попадающих в область «выброса» коэффициента
57
а в остальных узлах – явной
«неявности» схемы в зоне «выброса»
. Увеличение расширяет область
. Результаты расчётов
в
зависимости от для и приведены в таблице 2.
Таблица 2
Для , когда неявная схема полностью покрывает область
«выброса», условие устойчивости имеет вид
или (с хорошей точностью)
,
то есть соответствует условию устойчивости явной схемы с
единичным коэффициентом. Очевидно, аналогичное утверждение верно для
.
Итак, использование неявной схемы в полной области «выброса»
целиком «гасит» его влияние на границу устойчивости схемы.
Полученные выше выводы об исключении влияния мелкого шага сетки
и «выброса» коэффициента
на границу устойчивости с помощью
локально неявной схемы подтверждаются расчётами и других примеров.
58
Глава3.Аналитическое исследование устойчивости разностных
схем с переменными весовыми множителями
для двумерного уравнения теплопроводности
с постоянными коэффициентами
§3.1.Редуцированная матрица устойчивости и её спектральные
свойства
1.В настоящем параграфе задача на собственные значения для
оператора , полученная в §2.1, преобразуется в задачу на собственные
значения для некоторого оператора
существенно меньшей размерности, и
изучаются её свойства.
В прямоугольной области
с границей рассматривается краевая задача
(3.1.1)
Введём в области равномерную по каждому направлению сетку
,
,
где - внутренние узлы сетки, - граничные узлы сетки .
59
Рассмотрим для задачи (3.1.1) двухслойную разностную схему с
переменными по пространству весовыми множителями
Здесь
– шаг по времени,
- разностное решение в узле сетки
(3.1.2)
в момент времени
Схема (3.1.2) принадлежит семейству схем (1.1.1),(1.1.2), где
и является частным случаем схемы (2.1.2), когда
сетка – равномерная по каждому направлению, то есть
для всех ,
. Следовательно, устойчивость схемы
, а
,
(3.1.2), согласно теореме 2.1.1, определяется оператором устойчивости
где операторы
согласно (2.1.8) и в случае
, (3.1.3)
представляют собой
определены
разностный градиент и разностную дивергенцию со знаком минус
соответственно.
В случае равномерной сетки удобно от операторов
перейти к
операторам левой разности Таким образом,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]