Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивость плоских стержневых систем. Учебное пособие.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
О.Б. Завьялова, И.А. Кузьмин
УСТОЙЧИВОСТЬ
ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Электронное учебное пособие
для подготовки бакалавров по направлению 08.03.01 – «Строительство»
(профиль «Промышленное и гражданское строительство»)
и магистров по направлению 08.04.01 – «Строительство»
(письмо УМО АСВ № 102-15/892 от 10.06.2015)
© О.Б. Завьялова, И.А. Кузьмин, 2021
© М.С. Медведева, рисунок на обложке, 2015
© ГАОУ АО ВО «Астраханский государственный
архитектурно-строительный университет», 2021
ISBN 978-5-93026-123-3
Об издании: 1, 2
УДК 624.046.3
ББК 38.112я73
З-13
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом
Астраханского государственного архитектурно-строительного университета
Авторы:
Завьялова Ольга Борисовна,
кандидат технических наук, доцент;
Кузьмин Игорь Анатольевич,
инженер-программист
Рецензенты:
заведующий кафедрой «Строительная и теоретическая механика»
Московского государственного строительного университета,
доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН
В.Л. Мондрус;
заведующий кафедрой «Механика»
Пензенского государственного университета архитектуры и строительства,
доктор технических наук, профессор
А.И. Шеин
Завьялова О.Б., Кузьмин И.А.
Устойчивость плоских стержневых систем : [Электронный
ресурс] : учебное пособие / О.Б. Завьялова, И.А. Кузьмин. – 2 изд., доп.
и испр. – Электрон. текстовые данные (1,7 Мб). – Астрахань : Астраханский
государственный архитектурно-строительный университет, 2021. – 1 опт.
диск (CD-R).
Приведены краткие сведения по теории устойчивости прямолинейных стержней
и плоских стержневых систем. Подробно рассмотрены примеры решения задач по
расчёту устойчивости первого и второго рода методами сопротивления материалов и
строительной механики. Решение задач сопровождается компьютерными программами,
выполняющими итерационные расчёты. Также представлены методы, упрощающие
определение критических нагрузок в регулярных рамах.
ISBN 978-5-93026-123-3
Минимальные системные требования для воспроизведения электронного издания:
Процессор с тактовой частотой 1,5 ГГц и выше, Windows 7 SP1/8, 8.1/10, 1 ГБ ОЗУ,
380 МБ свободного пространства на жестком диске; программа для чтения файлов
формата PDF, наличие CD\DVD-привода.
© О.Б. Завьялова, И.А. Кузьмин
© М.С. Медведева, рисунок на обложке
© ГАОУ АО ВО «Астраханский государственный
архитектурно-строительный университет»
Издание публикуется в авторской редакции
Техническая обработка и подготовка материалов
А.В. Гранкиной
Подготовлено к изданию 22.01.2021
Астраханский государственный архитектурно-строительный университет
414056, г. Астрахань, ул. Татищева, 18
Тел./факс: (8512) 49-42-15
Е-mail: iic@aucu.ru
Заказ № 4354
Тираж 200 экз. (первый завод – 10 экз.)
Оттиражировано в Астраханской цифровой типографии
(ИП Сорокин Роман Васильевич)
414040, г. Астрахань, пл. К. Маркса, 33, 5-й этаж, 1-й офис
Тел./факс: (8512) 54-00-11
Е-mail: RomanSorokin@list.ru
СОДЕРЖАНИЕ
1 Устойчивость стержневых систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Основные положения классической теории устойчивости . . 5
1.2 Определение критических нагрузок . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Общее уравнение упругой линии при продольном изгибе . . 15
1.4 Определение усилий в центрально сжатом стержне
при единичном смещении опор . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Расчёт рам на устойчивость методом перемещений . . . . . 24
1.6 Решение задач по расчёту рам на устойчивость второго рода.
Деформационный расчёт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Приближённый метод расчёта рам на устойчивость . . . . . . . . 52
2.1 Замена многопролётной регулярной рамы на однопролёт-
ную при расчёте на устойчивость первого рода . . . . . . . . 52
2.2 Замена регулярной рамы условным сдвиго-изгибным
стержнем при расчёте на устойчивость первого рода . . . . 57
2.3 Применение условного составного стержня
в задачах устойчивости многоэтажных регулярных рам . . . 62
2.4 Учёт переменной жёсткости стоек . . . . . . . . . . . . . . . 66
3 Расчёт рам на устойчивость с использованием программ «Рамус»
для ПЭВМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1 Программа «Рамус-Определитель» . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2 Программа «Рамус-Плоский расчёт» . . . . . . . . . . . . . . 84
Исходные данные к расчётно-проектировочной работе . . . . . . . . 104
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1 УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМ
1.1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Устойчивостью сооружений называют их способность сохранять
первоначальное положение или соответствующую первоначальной нагрузке форму равновесия в деформированном состоянии и возвращаться
к ним в упругой стадии работы полностью, а в упруго-пластической полностью или частично, при любых весьма малых отклонениях, если случайные причины, вызвавшие эти отклонения, исчезают.
Переход из устойчивого состояния в неустойчивое называется поте-
рей устойчивости, а соответствующие нагрузки называют критическими.
Основная задача в расчётах устойчивости — определение критических на-
грузок.
Обеспечение устойчивости является важной задачей теории сооружений, так как потеря устойчивости развивается очень быстро и фактически приводит к разрушению сооружения.
В момент потери устойчивости конструкция переходит в новое
устойчивое положение равновесия, при этом происходит изменение её
формы, что называют раздвоением (бифуркацией) форм равновесия. Примеры конструкций, потерявших устойчивость, приведены на рис. 1.1. Все
они характеризуются внезапным изменением первоначальной формы под
действием сжимающих напряжений. В инженерной практике такой вид
потери устойчивости называют потерей устойчивости первого рода, или
потерей устойчивости по Эйлеру.
На рис. 1.2 приведены конструкции, изначально испытывающие деформации изгиба и сжатия, т. е. при любой величине сжимающей нагрузки форма их элементов не является строго прямолинейной. Увеличение
сжимающей нагрузки в этих конструкциях приводит к увеличению дефор-
5
а)
P
кр
б)
P
f
0
а)
P
P
кр
e
б)
P
q
в)
Рис. 1.1 — Потеря устойчивости
маций изгиба. Раздвоения форм равновесия здесь не происходит, перемещения все время растут в одном направлении. При небольших нагрузках
перемещения от изгиба растут пропорционально росту нагрузок. При увеличении нагрузки пропорциональность нарушается, деформации растут
быстрее нагрузки, и в какой-то момент может произойти резкое увеличение прогибов даже при незначительном увеличении нагрузки. Это явление называют потерей устойчивости второго рода. Реально оно означает
потерю несущей способности. Критической силой в этом случае считают
величину нагрузки, при которой перемещения резко начинают расти.
Рис. 1.2 — Продольный изгиб стержня, имеющего начальное искривление f0(а),
в котором линия действия силы не совпадает с геометрической осью стержня (б),
и продольно-поперечный изгиб (в)
Ранее в курсе «Сопротивления материалов» нами рассматривалась
тема: «Устойчивость центрально сжатых прямолинейных стержней». Напомним основные положения классической теории устойчивости.
Потеря устойчивости стержня может происходить как в упругой ста-
6
дии работы материала, так и в упруго-пластической. Критерием здесь служит величина гибкости стержня, определяемая по формуле:
µ
=
i
l
,
min
λ
гдеλ— гибкость; i
=I/A — радиус инерции в плоскости потери
min
устойчивости;µ— коэффициент приведения длины, зависящий от условий закрепления стержня в рассматриваемой плоскости (рис. 1.3); l —
свободная длина стержня, на которой возможна потеря устойчивости.
l
l l
µ
= 1
Рис. 1.3 — Зависимость коэффициента приведения длины от условий закрепления
µ
≈ 0,7
µ
= 0,5
µ
= 2
стержня
µ
= 1
µ
= 1 (на длине l)
µ
= 0,5 (на длине 2l)
Критическая сила и соответствующее ей критическое напряжение
могут быть определены по формулам Эйлера (в упругой стадии работы
материала) или по формулам Ясинского (в упруго-пластической стадии).
Если гибкостьλ>
λ
, расчёт ведут по формуле Эйлера. При этом кри-
пред
тическое напряжение меньше предела пропорциональности:
2
π
P
σ
Э
кр
Э
кр
=
=
σ
Э
кр
λ
A =
E
6
σ
, (1.1)
2
пц
2
π
E
A (1.2)
2
λ
или
2
π
EI
(µl)
min
. (1.3)
2
P
Э
кр
=
7
Еслиλнаходится в интервале
Ясинского, в этом случае
σ
пц
6
σ
Я
σ
кр
Я
= a −b
кр
6
λ
λ6λ
6
0
σ
.
т
λ
, (1.4)
, применяют формулу
пред
P
Я
кр
=
Я
A = (a −b
σ
кр
λ
)A. (1.5)
График зависимости критического напряжения от гибкости для конструкций, изготовленных из пластичного материала, приведен на рис. 1.4.
Постоянные, используемые в расчётах устойчивости, для некоторых материалов приведены в табл. 1.1. Короткие стержни, имеющие развитое поперечное сечение и, соответственно, малую гибкость (λ<
λ
), теряют не
0
устойчивость, а прочность. Для них максимальные напряжения в расчётах
ограничиваются пределом текучести.
Таблица 1.1
Материал a, МПа b, МПа
Сталь Ст2 264 0,70 60 105
Сталь Ст3 310 1,14 60 100
λ
0
λ
пред
Сталь 20, Ст4 328 1,15 60 96
Сталь 45 449 1,67 52 85
Дюралюмин Д16Т 406 1,83 30 53
Древесина (сосна, ель) 29,3 0,194 0 75
Условие устойчивости имеет вид:
σ
кр
6
, (1.6)
n
у
— площадь поперечного сечения
A
брутто
где P/A
брутто
— фактическое нормальное напряжение в стержне; P —
продольная сила в стержне; A
P
брутто
стержня, не учитывающая ослаблений (отверстий под болты, проточек
и т. д.). Дело в том, что ослабление сечений обычно имеет место не по
всей длине стержня, а лишь на отдельных небольших участках. Сопротив-
8
λ
σ
λ
0
λ
пред
σ
пц
σ
т
σ
кр
=
σ
т
σ
Я
кр
= a− b
λ
σ
Э
кр
=
π
2
E
λ
2
Рис. 1.4 — График зависимости критического напряжения
ление же стержня выпучиванию зависит от жёсткости стержня на всем его
σ
от гибкости
кр
λ
протяжении. Поэтому местные ослабления практически не влияют на величину критической силы. nу— коэффициент запаса устойчивости, принимаемый обычно в интервале 1,5. . .2,0, то есть намного больше, чем в
расчётах прочности. Это объясняется тем, что в расчётах устойчивости не
учитывается начальное искривление стержней, внецентренность приложения нагрузки, неоднородность стержня.
Проектный расчёт по условию (1.6) выполнять затруднительно, поэтому на практике подбор сечений центрально-сжатых прямолинейных
стержней производится методом последовательных приближений по выражению:
P
σ
=
6φ[σ], (1.7)
A
гдеφ— коэффициент продольного изгиба (0 6φ6 1), принимаемый по
таблицам в зависимости от материала и гибкости стержня (табл. 1.2); [σ] —
допускаемое нормальное напряжение в задачах прочности.
Ниже приведён алгоритм подбора сечения центрально сжатого
стержня методом последовательных приближений:
1. Задаются значением
φ
в интервале 0 .. . 1, допустим,
1
φ
1
= 0,5.
Определяют требуемую площадь поперечного сечения по формуле A > P/(
φ
[σ]).
1
2. Проектируют поперечное сечение заданной формы. Вычисляют
9
его фактическую площадь, минимальный радиус инерции и зависящую от него гибкость. По таблице 1.2 линейной интерполяцией
находят
3. Проверяют выполнение условияσ= P/A
φ
′
.
1
φ
′
1
6 [σ].
4. Если условие проверки не выполняется, расчётный цикл повторяют. В каждом последующем приближении коэффициент продольного изгиба принимают равным
φ
i+1
= (
φ
′
+
φ
i
)/2, т. е. сред-
i
нему арифметическому между начальным и конечным значением
в предыдущем приближении.
Сечение считается правильно подобранным, если разница напряжений в
условии (1.7) составляет не более 5 % по модулю.
Для более сложных стержневых систем расчёт устойчивости выпол-
няют методами строительной механики.
10