Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивость плоских стержневых систем. Учебное пособие.pdf
ниеµ= 0,555 входит в указанный интервал. Следовательно, Pкрнайдено
3EI
1
h
3
1
3EI
2
h
3
2
η
1
(
ν
)
r
11
верно.
Задача 6. Определить величину критической силы для рамы
(рис. 1.19, а) в следующих случаях: 1) изгибная жёсткость левой стойки
EI1= 0; 2) EI1= ∞; 3) EI1= EI2. Во всех случаях h2= 2 h1.
P
EA = ∞
1
h
EI
1
EI
2
2
h
1
V
1
M
1
3EI
1
2
h
1
3EI
h
2
ϕ
ν
)
(
1
2
2
l
а)
б)
в)
Рис. 1.19 — Расчётная схема (а), деформированная схема (б) и эпюра
изгибающих моментов в основной системе с учётом продольных сил (в)
Р е ш е н и е. Система один раз кинематически неопределима. Накладываем горизонтальную линейную связь в уровне ригеля. Задаём единичное перемещение и строим эпюру изгибающих моментов по таблицам МП.
В правой стойке — с учётом продольной силы (рис. 1.19,б, в).
Записываем уравнение метода перемещений для задач устойчивости:
r11V1= 0.
Коэффициент r11определим из условия равновесия верхней части
рамы (рис. 1.20). Значения поперечных сил равны значениям опорных реакций в опорных шарнирах (прил. А).
Рис. 1.20 — К определению r
11
31
Получим:
r11=
3EI
3
h
1
3E I
1
+
2
·
η
(ν) = 0,
3
h
2
1
откуда
3
h
2
h
. (1.19)
1
η
(ν) = −
1
EI
h
EI
1
3
1
2
:
3
h
2
= −
I
1
I
2
Рассмотрим первый случай: изгибная жёсткость левой стойки
EI1= 0. Из выражения (1.19) получим:
η
(ν) = 0. Определим параметр
1
устойчивостиν. Используя таблицы прил. Б, получим:
для
η
ν
) = 0; значениеν=π/2 = 1,5708.
(
1
π
Тогда коэффициент приведения длиныµ=π/ν=
= 2, что соответ-
π
/2
ствует консольному стержню, т. е. в этом случае левая стойка и ригель не
оказывают поддерживающего действия на правую стойку. Значение критической силы будет равно:
EI
2
2
Pкр=
·
ν
=
2
h
2
Во втором случае E I1= ∞, из выражения (1.19) получим:
2
π
2
EI
2
·
2
h
2
= 2,467
EI
h
2
.
2
2
η
(ν) = ∞.
1
Определим параметр устойчивостиν. Используя таблицы прил. Б (значению ∞ соответствует переход от отрицательных значений
η
к положи-
1
тельным), получим:
дляν= 4,48;
для
ν
= 4,50;
η
ν
) = −117,7150;
(
1
η
(ν) = +221,1792.
1
Линейной интерполяцией получимν≈ 4,487, тогда коэффициент приве-
дения длиныµ=π/ν=π/4,487 = 0,700, что соответствует шарнирному
опиранию верхнего конца стойки. Значение критической силы будет равно:
Pкр=
EI
2
ν
2
·
= 4,4872·
2
h
2
EI
h
2
= 20,1
2
2
EI
h
2
.
2
2
32
Таким образом, для любых других случаев соотношения жесткостей
стоек интервал нахожденияµбудет от 0,7 до 2,0.
Рассмотрим третий случай: EI1= EI2.
Из выражения (1.19) получим:
η
(ν) = −
1
I
1
·
I
2
3
h
2
h
= −23= −8.
1
Используя таблицы прил. Б, определимν:
дляν= 4,04;
дляν= 4,06;
η
(ν) = −7,8952;
1
η
(ν) = −8,1088.
1
4,06 −4,04
Линейная интерполяция даётν= 4,04 +
·(8 −7,8952) =
8,1088 −7,8952
= 4,0498 ≈ 4,05.
Коэффициент приведения длиныµ=π/4,05 = 0,775, что соответ-
ствует интервалу 0,7 <µ< 2, т. е. задача решена правдоподобно.
Значение критической силы будет равно:
Pкр=
EI
2
2
·
ν
= 4,052·
2
h
2
EI
h
2
= 16,4
2
2
EI
h
2
.
2
2
Анализируя полученные значения Pкрдля рассмотренных случаев,
делаем вывод, что увеличение изгибной жёсткости левой стойки приводит
к увеличению значения критической нагрузки для рамы в целом, т. к. при
этом растёт поддерживающее влияние левой стойки на правую, подверженную сжатию.
Задача 7. Определить значение критической нагрузки на однопролётную раму (рис. 1.21, а). Расчёт выполнить методом перемещений. Исходные данные: P2/P1= 1,5; E I = 17,55МН ·м2.
P
1
3I
I
h = 4м
l = 6м
а)
2I
P
2
V
1
О.С.
б)
V
2
V
3
Рис. 1.21 — Расчётная схема (а) и основная система МП (б)
33
Р е ш е н и е. Переходим к основной системе метода перемещений
(МП). Система трижды кинематически неопределима. Накладываем три
связи: две угловые — в жёсткие узлы и линейную в уровне ригеля
(рис. 1.21, б).
Запишем систему канонических уравнений МП для этой задачи:
r11V1+ r12V2+ r13V3= 0
r21V1+ r22V2+ r23V3= 0
.
r31V1+ r32V2+ r33V3= 0
Составим определитель устойчивости:
∆ =
r
11r12r13
r
21r22r23
r
31r32r33
= 0.
Определим коэффициенты r
. Задаём единичные перемещения на-
i j
ложенным связям, выявляем положение деформированных осей и строим
эпюры изгибающих моментов с использованием таблиц стандартных элементов метода перемещений для задач устойчивости (см. прил. А). Деформированные схемы и соответствующие им эпюры изгибающих моментов
показаны на рис. 1.22–1.24.
V1= 1
а)
Рис. 1.22 — Деформированная схема (а) и эпюра изгибающих моментов (б)
от единичного смещения 1-й связи
4EI
h
(
ϕ
2
4· 3EI
l
2EI
h
)
ν
1
2· 3EI
l
M
1
(
)
ϕ
ν
3
1
б)
Из условия равновесия левого узла на эпюре M1получим r11:
r11=
12EI
l
+
4EI
h
·
φ
ν
(
) = 2 EI +EI ·
2
1
φ
ν
(
) = EI (2+
2
1
φ
ν
(
2
34
1
)).
V2= 1
а)
2· 2EI
h
ϕ
3
(
ν
2
)
4· 2EI
h
ϕ
2
(
ν
2
)
2· 3EI
l
4· 3EI
l
M
2
б)
Рис. 1.23 — Деформированная схема (а) и эпюра изгибающих моментов (б)
от единичного смещения 2-й связи
V3= 1
6EI
2
h
(
)
ϕ
ν
4
1
M
3
6· 2EI
ϕ
4
2
h
(
)
ν
2
6EI
а)
Рис. 1.24 — Деформированная схема (а) и эпюра изгибающих моментов (б)
от единичного смещения 3-й связи
(
)
ϕ
ν
4
2
h
1
б)
6· 2EI
h
Из условия равновесия правого узла на эпюре M1найдём r21:
2 ·3 EI
r21=
= EI.
l
Из условия равенства нулю суммы проекций на горизонтальную ось
r31и поперечных сил в стойках получим r31:
6E I
r31= −
·
φ
(
ν
) = −0,375 EI ·
4
2
h
1
φ
(
ν
).
4
1
Из эпюры M2находим:
2 ·3 EI
r
=
12
12EI
r
=
22
l
= EI = r21;
l
8E I
+
·
φ
(
ν
) = 2 EI +2EI ·
2
h
2
φ
(
ν
) = EI (2+ 2
2
2
12EI
r
32
= −
·
φ
ν
(
) = −0,75 EI ·
4
2
h
2
φ
ν
(
).
4
2
(
)
ϕ
ν
4
φ
2
(
ν
));
2
2
2
35
Из эпюры M3следует:
r
= −0,375 EI ·
13
r
= −0,75 EI ·
23
r
=
33
Формируем определитель устойчивости:
∆ = (EI)
12EI
3
h
3
−0,375
φ
4
φ
(
4
·
η
(
ν
) +
2
1
2 +
φ
(
ν
2
1
1 2 + 2
φ
(
4
(
ν
) = r31;
1
ν
) = r32;
2
24EI
·
η
(
ν
) = EI (0,1875
2
3
h
2
η
2
) 1 −0,375
φ
(
ν
) −0,75
2
2
ν
) −0,75
1
φ
(
ν
4
1
) 0,1875
η
(
ν
2
1
(
ν
) + 0,375
1
φ
(
ν
4
1
φ
(
ν
)
4
2
) + 0,375
η
(
ν
)).
2
2
)
= 0.
η
2
(
ν
)
2
(1.20)
Выразим параметры устойчивости обеих стоек через
= h
= h
P
= 4
EI
1,5P
2E I
= 4
P
17,55
1,5P
35,10
= 0,955√P;
= 0,827√P = 0,866
P
ν
= h
1
EI
1
1
P
ν
= h
2
EI
2
2
ν
:
1
ν
.
1
Определим интервал нахождения критической силы. Для любой системы критической силой будет являться такое значение силы P, при котором хотя бы одна из стоек потеряет устойчивость.
P
для левой и правой стойки определим из условия равенства ну-
min
лю изгибной жёсткости остальных конструкций. В этом случае расчётная
схема каждой стойки будет иметь вид консольного стержня, защемлённого в основании и свободного от опирания сверху. При этомµ= 2, и мини-
мальная критическая сила Pкрбудет равна:
2
π
для левой стойки: P
для правой стойки: P
1стойки
кр
2стойки
кр
=
=
EI
(µh)
2
π
·2 EI
(µh)
3,14162·17,55
=
2
(2 ·4)
3,14162·35,10
=
2
2
(2 ·4)
= 2,706 МН;
2
= 5,413 МН.
Учитывая, что P1= P, из условия устойчивости левой стойки полу-
36
чим P
= 2,7МН. Однако, принимая во внимание, что P2= 1,5P, из усло-
min
вия устойчивости правой стойки будем иметь: P
= 5,4/1,5 = 3,6 МН.
min
Из этих двух значений наименьшее значение силы P для рассматриваемой рамы будет P
P
для левой и правой стойки определим из условия бесконечной
max
= 2,7 МН.
min
изгибной жёсткости остальных конструкций. В этом случае расчётная схема каждой стойки будет иметь вид стержня, защемлённого в основании и
закреплённого от поворота и горизонтального смещения сверху. При этом
µ
= 0,5, и максимальная критическая сила Pкрбудет равна:
2
π
для левой стойки: P
для правой стойки: P
1стойки
кр
2стойки
кр
=
=
EI
(µh)
2
π
·2 EI
(µh)
3,14162·17,55
=
2
(0,5 ·4)
3,14162·35,10
=
2
2
(0,5 ·4)
= 43,30 МН;
= 86,61 МН.
2
Учитывая, что P1= P, из условия устойчивости левой стойки полу-
чим P
правой стойки будем иметь: P
= 43,30 МН. Учитывая, что P2= 1,5 P, из условия устойчивости
max
= 86,61/1,5 = 57,74 МН.
max
Из этих двух значений правой границей критическойсилы P
max
будет
опять же наименьшее значение, что следует из определения критической
силы, т. е. P
= 43,30 МН.
max
Таким образом, интервал нахождения критической силы Pкрдля всей
конструкции [2,7; 43,3] МН, а интервал коэффициента приведения длины
µ
для обеих стоек [0,5;2,0].
Начинаем вычислять определитель устойчивости. Первое значение
силы принимаем равной P
= 2,7 МН.
min
Параметры устойчивости стоек:
ν
= 0,955√P = 0,955√2,7 = 1,57;
1
ν
= 0,866
2
ν
= 0,866 ·1,57 = 1,36.
1
37
По таблицам определяем значения функций устойчивости:
ν φ
ν
)
φ
ν
)
η
ν
(
2
(
4
)
(
2
1,57 0,9150 0,9582 0,7528
1,36 0,9368 0,9688 0,8146
Подставив полученные значения в определитель (1.20) и выполнив
его вычисление, находим значение, соответствующее принятой в первом
приближении силе P = 2,7 МН, а именно:
= (EI)
∆(2,7) = (EI)
3
2,9150
3,8736 −0,7266
−0,7266 0,4466
2,9150 1 −0,3593
3
1 3,8736 −0,7266
−0,3593 −0,7266 0,4466
−1
1 −0,3593
−0,7266 0,4466
=
−
−0,3593
1 −0,3593
3,8736 −0,7266
=
= (EI)3(2,9150 ·1,2020 −0,1855 −0,3593 ·0,6652) =
= 3,0793 (EI)3≈ 16 645МН3·м ≫ 0.
Увеличиваем отправное значение критической силы примерно на
1
/10 часть интервала, примем Р = 7 МН. Тогда:
ν
= 0,955√P = 0,955√7 = 2,53;
1
ν
= 0,866
2
ν
= 0,866 ·2,53 = 2,19.
1
Значения функций устойчивости:
ν φ
ν
)
φ
ν
(
2
)
(
4
η
ν
)
(
2
2,53 0,7659 0,8881 0,3547
2,19 0,8289 0,9172 0,5175
38
Значение определителя устойчивости:
∆(7,0) = (EI)
= (EI)
−0,333 ·
2,7659 1 −0,3330
3
1 3,6578 −0,6879
−0,3330 −0,6879 0,2606
3
2,7659 ·
3,6578 −0,6879
3,6578 −0,6879
−0,6879 0,2606
1 −0,3330
=
=
−
1 −0,3330
−0,6879 0,2606
= (EI)3(2,7659 ·0,4800 −0,0315 + 0,3330 ·0,5301) =
= 1,1196 (EI)3≈ 6 052МН3·м > 0.
Вновь увеличиваем отправное значение критической силы, примем
−
P = 10 МН. Тогда:
ν
ν
Значения функций устойчивости:
Значение определителя устойчивости:
∆(10) = (EI)
= (EI)
3
3
−0,3139 ·
= 0,955√P = 0,955√10 = 3,02;
1
= 0,866
2
ν φ
ν
= 0,866 ·3,02 = 2,62.
1
ν
)
φ
ν
)
η
(
2
(
4
ν
(
2
)
3,02 0,6507 0,8370 0,0769
2,62 0,7470 0,8795 0,3075
2,6507 1 −0,3139
1 3,4940 −0,6596
−0,3139 −0,6596 0,1297
2,6507 ·
3,4940 −0,6596
3,4940 −0,6596
−0,6596 0,1297
1 −0,3139
=
−
−0,6596 0,1297
;
1 −0,3139
−
39
∆(10) = (EI)3(2,6507 ·0,0181 + 0,0773 −0,3139 ·0,4372) =
P
∆(P)
7 10
6052
65
x
3
6117
= −0,012 (EI)3≈ −65 МН3·м < 0.
Таким образом, критическая сила находится в интервале
Pкр∈ [7,10] МН. Считая, что на указанном интервале определитель
устойчивости обращается в нуль ровно один раз, уточним значение
критической силы методом хорд. Из подобия треугольников (рис. 1.25)
составляем пропорцию:
6052 −(−65)
Рис. 1.25 — Уточнение значения критической силы
Очередное значение P:
10 −7
=
6052
.
x
P = 7 + x = 7 +
6052 ·3
6117
Полагая P = 9,97МН:
√
ν
1
ν
2
= 0,955
= 0,866
P = 0,955√9,97 = 3,015;
ν
= 0,866 ·3,015 = 2,611.
1
Значения функций устойчивости:
ν φ
2
(ν)
φ
3,015 0,6520 0,8375 0,0800
2,611 0,7490 0,8804 0,3123
40
= 9,9681 МН.
4
(ν)
η
2
(ν)