Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивость плоских стержневых систем. Учебное пособие.pdf
Составляем определитель устойчивости и приравниваем его к нулю:
1 + c
sinkl −kl
k3EI
coskl −1
c
k2EI
sinkl
k
coskl
Раскрывая определитель, получим выражение:
= 0.
tg kl = kl −
;
c
выполним замену: kl = x, получим:
x3EI
k3EI
tg x = x −
.
l3c
Решение этого уравнения при известных l, c, EI можно получить в
любой математической программе, например, в Mathcad.
Рассмотрим поиск решения в графическом виде. Поскольку l, c, EI
не заданы, условно примем EI = l3c.
Построим графики двух функций и найдём первую точку пересечения:
y1= tg x
y2= x −x3.
Решение получим из графика: первое пересечение функций y1и y
соответствует координате x1(см. рис. 1.13).
Учитывая, чтоµ=
π
kl
π
=
, можно вычислить значение коэффици-
x
1
ентаµ.
Следует отметить, что в данной задаче величинаµзависит от жёсткости упругой опоры c, но при любом случае она должна попадать в интервал [0,7 . .. 2,0]. Минимальное значениеµ= 0,7 соответствует c = ∞, т. е.
шарнирному опиранию верхнего конца стержня. Максимальное значение
µ
= 2 получится при жёсткости опоры c = 0, что будет иметь место при
свободном верхнем конце рассматриваемой стойки.
21
2
x
y
y1= tgx
y2= x− x
3
1
1
x1≈ 1,8093
Рис. 1.13 — Графики функций y1и y
2
1.4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В ЦЕНТРАЛЬНО
СЖАТОМ СТЕРЖНЕ ПРИ ЕДИНИЧНОМ
СМЕЩЕНИИ ОПОР
Используя уравнения (1.12–1.15), можно получить таблицу стандартных элементов метода перемещений для задач устойчивости.
Рассмотрим стержневой элемент с тремя обобщёнными перемещениями, испытывающий центральное сжатие силой P. Зададим единичный
угол поворота в заделке (рис. 1.14, а).
0
Q
y′(0) = 1
0
l
а)
3EI
l
ϕ
ν
)
(
1
3EI
2
l
(
ϕ
ν
)
1
б)
3EI
2
l
(
ϕ
ν
)
1
M
P P
Рис. 1.14 — Элемент с тремя обобщёнными перемещениями (а),
эпюра изгибающих моментов и реакции от единичного угла поворота (б)
22
Граничные условия для рассматриваемого стержня:
на верхнем конце 0 0 1 ? ?
на нижнем конце l 0 ? 0 ?
Подставим в выражение y(x) и M (x) значение x = l, получим систему
двух уравнений:
y (l) = 1 ·
sinkl
k
x y (x) y′(x) M (x) Q (x)
coskl −1
+ M
0
k2EI
+ Q
0
sinkl −kl
= 0
k3EI
M (l) = 1 ·kEI sinkl + M0coskl + Q
sinkl
0
k
= 0.
Учитывая, что для рассматриваемой задачи поперечная сила по
длине стержня постоянна и равна отношению приращения момента к
длине стержня, т. е. Q = Q0= (0 −M0)/l = −M0/l, перепишем первое урав-
нение в виде:
1 ·
sinkl
+ M
k
coskl −1
0
k2EI
−M
sinkl −kl
0
k3EI ·l
= 0.
Выразим момент:
(kl)
2
= 3 i
φ
(ν),
1
где
ν
= kl = lP/EI – параметр устойчивости для рассматриваемого
стержня;
M0=
φ
(ν) — функция, зависящая от параметра устойчивости, зна-
1
·
l
3 (1 −kl/tg kl)
3EI
чения которой сведены в специальную таблицу функций устойчивости.
Результирующая эпюра изгибающих моментов от единичного угла
поворота заделки представлена на рис. 1.14, б. Величина реакции в левой
и правой опоре будет равна:
3i
R =
φ
ν
).
(
1
l
Аналогичным образом находят реакции от единичных смещений
опор и для других схем стержней.
23
1.5 РАСЧЁТ РАМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
P
1
P
2
P
3
МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Метод перемещений (МП) — это статический метод расчёта, который удобно применять для статически неопределимых систем. При этом
число возможных форм потери устойчивости и число критических нагрузок будет равно кинематической степени свободы сооружения, т. е. числу
возможных перемещений узлов системы.
Рассмотрим систему, находящуюся под действием сосредоточенных
сил, связанных между собой некоторыми соотношениями (рис. 1.15).
Примем допущения:
1) сосредоточенные нагрузки приложены только в узловых точках;
2) деформации растяжения и сжатия стержней пренебрежимо малы;
3) критические напряжения не превышают предела пропорциональности
σ
, т. е. для определения критической силы можно исполь-
пц
зовать формулу Эйлера;
4) начальное искривление стержней отсутствует.
Рис. 1.15 — Рама с узловым приложением нагрузки
Переходим к основной системе метода перемещений, накладываем
линейные и поворотные связи (рис. 1.16).
Запишем систему уравнений метода перемещений (МП) для задачи
c n связями:
r11V1+ r12V2+ . .. + r1nVn= 0
r21V1+ r22V2+ . .. + r2nVn= 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rn1V1+ rn2V2+ . .. + rnnVn= 0
(1.16)
24
P
1
P
2
P
3
1 2 3
4
Рис. 1.16 — Основная система метода перемещений
Свободные члены R1P,R2P, ... ,RnPв этих уравнениях равны нулю,
т. к. при действии узловых вертикальных нагрузок реакции в поворотных
и горизонтальных связях не возникают. Чтобы найти критические силы,
которые в явном виде не входят в систему уравнений (1.16), нужно, чтобы
r
зависели от P; в этом отличие коэффициентов уравнений устойчивости
i j
от обычных уравнений метода перемещений. Полученная система уравнений, ввиду отсутствия свободных членов, является однородной. Из курса
математики известно, что однородная система совместна, т. е. имеет ненулевые решения, если определитель, составленный из коэффициентов при
её неизвестных, равен нулю. Составим такой определитель (его называют
определителем устойчивости):
∆ =
r
11r12
r
21r22
r
n1rn2
··· r
··· r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
··· r
1n
2n
= 0. (1.17)
.
.
.
nn
Раскрыв определитель, найдём критические силы. Следует отметить,
что определитель n-го порядка имеет n корней. Из них нас будет интересовать наименьшее значение силы, соответствующее критической нагрузке.
Коэффициенты r
определителя устойчивости находят статическим
i j
способом, рассматривая равновесие узлов при единичных смещениях наложенных связей. Эпюры изгибающих моментов от единичных смещений
строят с использованием таблиц стандартных элементов метода перемещений для задач устойчивости (прил. А). Их отличие от обычных таблиц
МП заключается в том, что здесь учитываются продольные силы в сжатых
25
стержнях (как правило, в стойках). Если в каких-либо стержнях (обычно в
V1= 1
а)
2EI
ст
h
ст
ϕ
3
(
ν
1
)
4EI
ст
h
ст
ϕ
2
(
ν
1
)
4EI
р
l
р
2EI
р
l
р
M
1
б)
ригелях) продольные силы не возникают, построение эпюр моментов для
них выполняют по обычным таблицам стандартных элементов МП.
Рассмотрим на примере (см. рис. 1.15, 1.16) вычисление коэффициентов уравнений устойчивости.
Зададим единичное перемещение (угол поворота) первой связи. Деформированные оси стержней рамы и единичная эпюра моментов показана на рис. 1.17.
Рис. 1.17 — Деформированная схема (а) и эпюра изгибаюших моментов (б)
от единичного перемещения по направлению первой наложенной связи
Используя статический способ, определим:
4E I
r
=
11
l
р
2EI
r
=
21
l
р
4EI
р
+
р
; r
ст
·
φ
(
ν
); r
2
l
ст
1
31
41
= 0;
6EI
=
ст
·
φ
(
ν
).
4
l
ст
1
Функции
φ
i
(ν) и
η
(ν) определяются по формулам (1.18) или табли-
i
це прил. Б в зависимости от параметра устойчивостиν. Что представляет
26
собой этот параметр? Запишем выражение для критической силы Эйлера
и выполним в нём некоторые преобразования:
P
Э
кр
=
2
π
(µl)
EI
min
2
=
π
µ
2
EI
min
·
2
2
l
=
EI
min
2
ν
.
2
l
Таким образом,ν=π/µ, гдеµ— коэффициент приведения длины, или
ν
i
= l
Pi/(EIi) для сжатого стержня с номером i.
i
Так как по условию задачи все внешние силы можно выразить через одну из них, следовательно, параметры устойчивости всех стержней
можно выразить черезνдля какого-либо одного стержня, например,
ν
:
1
P
ν
= l
1
1
EI
1
,
1
ν
2
= k
1ν1
,
ν
3
= k
2ν1
.
Формулы для определения функций устойчивости имеют вид:
2
φ
(ν) =
1
φ
(
2
ν
) =
ν
3(1 −ν/tgν)
1 −ν/tg
tg (ν/2)
4
ν
/2
;
ν
−1
φ
(ν) =
4
;
η
ν
) =
(
1
φ
1
(2
φ
(ν) +
3
2
ν
) −
(
1
φ
(ν));
3
2
ν
;
3
φ
(ν) =
3
ν
tg (ν/2)
2
/sinν−1
−1
ν
/2
;
η
(ν) =
2
φ
4
(ν) −
ν
12
2
.
(1.18)
Таблицы вычисленных значений функций
φ
,
φ
,
φ
,
φ
,
η
,
η
1
2
3
4
1
даны в
2
прил. Б.
Напомним, чтоµв формуле критической силы Эйлера — коэффициент приведения длины, зависящий от условий опирания стержня. Если
учесть, что все стержни рассматриваемой рамы имеют условия опирания,
отличные от традиционных, то и коэффициентµдля них определить затруднительно. Но, зная интервал
µ
для различных случаев закрепления
концов стержня 0,5 6µ6 2, можем принять в первом приближении макси-
мально возможное значение:µ= 2. Этому значениюµбудет соответствовать наименьшее значение силы P — левая граница интервала нахождения
27
реальной критической силы. Правая граница этого интервала может быть
найдена из условияµ= 0,5. Таким образом определяются границы поиска
критической силы для заданной конструкции: P
последовательных приближений, начиная с P
min
min
и P
. Затем методом
max
и увеличивая в каждом
последующем приближении значение силы P на одну десятую часть полученного интервала, вычисляют значение определителя устойчивости и
сравнивают его с нулём. Удобно результаты вычислений оформлять в виде
графика ∆ (P). Если при очередном приближении значение определителя
станет меньше нуля, следует уменьшить интервал поиска критической силы, приняв за P
был больше нуля, а за P
последнее значение силы, при которой определитель
min
— значение силы, при которой определитель
max
стал меньше нуля. Алгоритм решения задачи можно представить следующим образом:
1) вычисляют интервал поиска критической силы P
min
и P
max
(ис-
пользуя граничные значенияµ);
2) делят полученный интервал на 10 частей;
3) в первом приближении принимают P = P
4) для принятой величины P вычисляют значения
ним — из таблиц прил.
Б или по (1.18) — функции устойчиво-
min
;
ν
ν
,
,. . . , а по
1
2
сти —φиη;
5) знаяφиη, вычисляют коэффициенты r
, подставляют их в опре-
i j
делитель и находят значение определителя, сравнивают его с нулём, строят график ∆(P);
6) если полученное значение определителя устойчивости ∆ > 0, выполняют следующее приближение, добавив к предыдущему значению силы1/10 часть интервала;
7) действия 4–6 выполняют до тех пор, пока определитель не станет
меньше нуля, после чего уточняют интервал поиска критической
силы;
8) значение силы, при которой ∆ ≈ 0 (но при этом пока больше нуля!), и есть критическая нагрузка.
28
Для определения формы потери устойчивости, соответствующей
критической нагрузке, требуется систему уравнений устойчивости превратить в неоднородную. Для этого в системе уравнений с коэффициентами,
вычисленными для последнего приближения (∆ ≈ 0, P = Pкр), примем любое узловое перемещение равным единице, например, V1= 1, — тогда все
остальные перемещения будут найдены в долях от первого.
Рассмотрим на примерах расчёт устойчивости методом перемещений.
Задача 5. Определить критическую нагрузку для рамы (рис. 1.18, а).
P
2I
I
h = 4м
l = 3м
а)
Рис. 1.18 — Расчётная схема (а), основная система МП (б) и эпюра изгибающих
моментов от единичного угла поворота по направлению наложенной связи (в)
V1= 1
б)
4EI
h
(
ϕ
ν
2
3· 2EI
l
2EI
)
M
1
ϕ
ν
)
(
3
h
в)
Р е ш е н и е. Расчёт ведём методом перемещений. Система один раз
кинематически неопределима. Накладываем связь, препятствующую угловому перемещению, в жёсткий узел (рис. 1.18, б). Записываем уравнение
метода перемещений для задачи устойчивости:
r11V1= 0.
Задаём единичное перемещение наложенной связи и строим эпюру
изгибающих моментов (в стойке с учётом продольной силы). Эпюра показана на рис. 1.18,в.
Вычисляем коэффициент канонического уравнения r11статическим
способом, т. е. рассматривая равновесие узла:
r11=
6E I
l
+
4E I
h
·
φ
ν
).
(
2
29
С учётом размеров рамы получим:
r11=
6E I
3
+
4EI
4
·
φ
(ν) = 2 EI +EI ·
2
φ
(ν) = EI (2+
2
φ
(ν)).
2
Согласно условию (1.17):
r11= 0 ⇒
φ
ν
(
2
) = −2.
Используя таблицы функции устойчивости (прил. Б), применив линейную интерполяцию, по вычисленному значению найдём значения параметра устойчивости:
для
φ
ν
) = −1,9920 значениеν= 5,66;
(
2
для
φ
ν
) = −2,0833 значениеν= 5,68.
(
2
Для нашего случая,
φ
(ν) = −2, имеем:
2
5,68 −5,66
ν
= 5,66 +
·(2 −1,992) = 5,6618.
2,0833 −1,992
Тогда критическая сила будет равна:
Pкр=
EI
2
ν
·
= 5,66182·
2
l
EI
= 2,003 EI.
2
4
Необходимо убедиться, что полученное Pкр— минимальное значение нагрузки.
Найдём коэффициент приведения длины:
π
ν
3,1416
=
5,6618
= 0,555.
µ
) и правое
min
µ
=
Найдём интервал нахожденияµ. Рассмотрим левое (
(
µ
) предельное состояние конструкции.
max
Для выявления правого состояния примем изгибную жёсткость ригеля равной нулю. В этом случае ригель не препятствует повороту стойки в верхнем сечении, а препятствует только горизонтальному смещению,
что соответствует шарнирной опоре, и коэффициент
го состояния примем E I
= ∞. Тогда ригель в верхнем сечении стойки
риг
µ
= 0,7. Для лево-
делает поворот невозможным, что будет соответствоватьµ= 0,5. Таким
образом, интервал нахожденияµот 0,5 до 0,7; и полученное нами значе-
30