Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивость разностных схем с переменными весовыми множителями. Монография
.pdf
80
Поскольку собственные функции оператора
, отвечающие различным
собственным значениям, линейно независимы, то в целом система функций
(3.2.14), (3.2.15) с номерами из и
соответственно является линейно
независимой. Общее число собственных функций в ней равно
в соответствии с леммой 3.2.4 и
определением
(3.2.34).
Таким образом, теорема 3.2.1 доказана.
Т е о р е м а 3.2.2. Для шахматного распределения весовых множителей
в случае оператор
(3.1.6) имеет только два различных
собственных значения. Собственному значению соответствует
ортогональная система собственных функций (3.2.16), где
(3.2.34). Собственному значению
соответствует
ортогональная система собственных функций (3.2.17), где
(3.2.33).
В целом система функций (3.2.16), (3.2.17) с указанными номерами
образует базис в пространстве .
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству
теоремы 3.2.1 и мы его опускаем.
Переходим к рассмотрению случая
множества и
. Введём
где определено в (3.2.33).
Имеет место
Т е о р е м а 3.2.3. Для шахматного распределения весовых множителей
в случае оператор имеет линейно
независимых собственных функций, где .
81
При этом, если множество
функций (3.2.18) с номерами
Если
соответствует ортогональная система собственных
- не пусто, то собственному значению
- не пусто, то собственному значению
.
соответствует ортогональная система собственных функций (3.2.19) с
номерами
Собственные функции (3.2.20) оператора
значениям
.
, отвечающие собственным
с номерами
, образуют
линейно независимую систему.
В целом система собственных функций оператора
(3.2.20) с указанными номерами
является базисом в пространстве .
(3.2.18), (3.2.19),
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ортогональность функций в системе (3.2.18)
может обсуждаться только при условии и следует из леммы
3.2.5. То же самое можно сказать о системе функций (3.2.19).
В системе (3.2.20) для фиксированной пары
два различных собственных значения
,
получаем
,
которым соответствуют линейно независимые собственные функции
. Если существуют пары
такие, что
будут ортогональны в соответствии с леммой 3.2.5 и,
, то соответствующие собственные функции
из множества
следовательно, линейно независимы. Значит, вся совокупность функций
(3.2.18), (3.2.19), (3.2.20) является системой линейно независимых функций.
Так как их общее количество равно
, то утверждение теоремы доказано.
4.Вернёмся к вопросу об устойчивости схемы (3.1.2) для шахматного
распределения весовых множителей (3.2.2) [42]. Согласно теореме 3.1.1
исследование устойчивости указанной схемы сводится к нахождению
условий неотрицательности всех собственных значений оператора
. Как
выяснено в п.2, значения удовлетворяют квадратному уравнению
(3.2.8), откуда для собственных значений получаем уравнение
82
(3.2.41)
где
, (3.2.42)
,
2
а - соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения
пятиточечного разностного оператора Лапласа:
.
При переходе от уравнения (3.2.8) к уравнению (3.2.41) использованы
тождества
Таким образом, исследование устойчивости разностной схемы (3.1.2),
(3.2.2) сводится к нахождению условий неотрицательности корней
квадратного уравнения (3.2.41), (3.2.42) при всех Элементарно
доказывается
Л е м м а 3.2.6. Для того чтобы оба корня
вещественными коэффициентами удовлетворяли условию
уравнения (3.2.41) с
,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства
Применяя сформулированный критерий к уравнению (3.2.41), (3.2.42),
видим, что для неотрицательности при фиксированном необходимо
и достаточно, чтобы
(3.2.43)
(3.2.44)
где обозначено
83
Остаётся выяснить, при каких условиях на параметры
неравенство (3.2.44) выполняется для всех . Обозначим через
квадратный трёхчлен
(3.2.45)
с коэффициентами
(3.2.46)
Л е м м а 3.2.7. Квадратный трёхчлен (3.2.45), (3.2.46) неотрицателен для
всех тогда и только тогда, когда выполнена хотя бы одна из групп
неравенств
(3.2.47)
(3.2.48)
где
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если то из (3.2.44) получаем условие
(3.2.48). Пусть В этом случае
многочлена
которое совпадает каждым из неравенств (3.2.47),
является точкой минимума
Тем самым, второе
из неравенств (3.2.47) означает, что для всех вещественных . Если
, то минимум на отрезке достигается на границе, причём
Поэтому второе из неравенств (3.2.48) гарантирует неотрицательность
.
для всех . Объединяя неравенства (3.2.43), (3.2.47), (3.2.48),
убеждаемся в том, что справедлива
Т е о р е м а 3.2.4. Для устойчивости разностной схемы (3.1.2), (3.2.2)
необходимо и достаточно выполнение хотя бы одной из групп неравенств
(3.2.49)
(3.2.50)
84
где
С л е д с т в и е. Если то схема (3.1.2), (3.2.2) абсолютно
устойчива.
85
§3.3.Решение спектральной задачи для редуцированной матрицы
в случае распределения весовых множителей в виде полос
1.Рассмотрим ещё один частный случай распределения весовых
множителей {
}, когда задачу на собственные значения для
редуцированной матрицы (3.2.1) удаётся решить в явном виде.
Будем говорить, что весовые множители заданы на сетке в виде
полос, если
где
заданные постоянные.
(3.3.1)
В этом случае задача на собственные значения (3.2.1) представляет
собой систему разностных уравнений
(3.3.2)
,
где
Нас интересует решение системы (3.3.2) в случае
собственный вектор
в виде
(3.3.3)
. Будем искать
где числовые множители подлежат определению и вектор
определён согласно (3.2.5).
Подставляя (3.3.3) в уравнения (3.3.2), получаем, что коэффициенты
должны удовлетворять системе уравнений
86
(3.3.4)
Условие равенства нулю определителя системы (3.3.4) приводит к
уравнению
(3.3.5)
которому удовлетворяют собственные значения задачи (3.3.2). Решения
уравнения (3.3.5) имеют вид
(3.3.6)
.
Условие (3.3.5) обеспечивает существование нетривиального решения
системы (3.3.4). Приведём эти решения для
.
Если то
Если то
Если то
1)Если
то
87
2)Если
то
задаётся формулой (3.3.6), а
.
Имея приведённое выше решение
системы (3.3.4), из
представления (3.3.3) получаем решение системы (3.3.2) в каждом из
указанных случаев выбора
, а именно:
I.Для :
(3.3.7)
(3.3.8)
II.Для :
2)
III.Для
:
(3.3.9)
(3.3.10)
88
1)
2)
(3.3.11)
Формально все приведённые выше пары
(3.3.12)
(3.3.13)
,
удовлетворяют системе
(3.3.2). Однако собственными парами будут лишь те, для которых .
Естественно также, что при переборе
часть функций
обосновывается выбор множества номеров
совокупность
указанных случаев I, II, III. При этом соответствующий набор
спектр оператора
окажутся линейно зависимыми. В следующем пункте
образует базис в пространстве в каждом из
.
для которых
образует
2.Докажем ряд вспомогательных утверждений.
Л е м м а 3.3.1. Для каждой из приведённых групп функций (3.3.7)-
(3.3.13) имеют место тождества
89
,
где множитель равен или .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение является следствием соотношений
Принимая во внимание лемму 3.3.1, отделим пары
, причём
Назовём совокупность таким образом отобранных пар
от пар
множеством . Ясно, что
(3.3.14)
Введём также множество
(3.3.15)
Назовём размерностью множества (соответственно
различных пар (), принадлежащих (соответственно
).
Л е м м а 3.3.2.
) число
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]