Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивость разностных схем с переменными весовыми множителями. Монография
.pdf
90
Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение устанавливается подсчётом числа
различных пар
(3.3.14),
(3.3.15).
, принадлежащих или , исходя из определения
Л е м м а 3.3.3. Если , то
где ,
.
Доказательство проводится непосредственной проверкой, исходя из
вида
(3.2.5).
Л е м м а 3.3.4. Имеют место следующие тождества
для
из
:
(3.3.16)
для
из :
. (3.3.17)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Подставляем в (3.3.16), (3.3.17) выражения
Получаем
Условие
выполняется, если а)
В случаях а), б) первый сомножитель в
(3.3.18)
(3.3.19)
, б)
91
(3.3.18), (3.3.19) равен нулю, то есть поскольку собственные функции
одномерной задачи с номерами
ортогональны, и,
значит, В случае в) второй сомножитель в (3.3.19) равен нулю,
то есть
как
ортогональности собственных функций одномерной задачи,
на основании тождеств (3.2.26), (3.2.29) из леммы 3.3.2, так
на (3.3.15). Учитывая, что при
, в силу
получаем и, значит, Лемма 3.3.4 доказана.
Т е о р е м а 3.3.1. Для распределения весовых множителей в виде полос
в случае оператор (3.1.6) имеет
различных собственных
значений.
Собственному значению соответствует ортогональная система
собственных функций (3.3.7), где
Каждому собственному значению
(3.3.15).
соответствует ортогональная система собственных функций (3.3.8), где
,
(3.3.14).
В целом система собственных функций (3.3.7), (3.3.8) с указанными
номерами
Д о к а з а т е л ь с т в о. Скалярное произведение для функций
в имеет вид
Отсюда для любых двух функций
образует базис в пространстве .
из системы (3.3.7) или из
.
системы (3.3.8) соответственно получаем
,
92
,
где
.
Из леммы 3.3.4 следует, что в обоих случаях скалярное произведение равно
нулю для любых пар
из множества или
соответственно. Следовательно, ортогональность функций в указанных
системах доказана.
Так как собственные значения и
различны, то
в целом система собственных функций (3.3.7), (3.3.8) с номерами из и
соответственно является системой линейно независимых функций. Общее их
число равно по лемме 3.3.2. Тем самым, теорема
3.3.1 доказана.
Т е о р е м а 3.3.2. Для распределения весовых множителей в виде полос
в случае оператор (3.1.6) имеет
различных собственных
значений.
Собственному значению соответствует ортогональная система
собственных функций (3.3.9), где
Каждому собственному значению
(3.3.14).
соответствует ортогональная система собственных функций (3.3.10), где
(3.3.15).
В целом система функций (3.3.9), (3.3.10) с указанными номерами
образует базис в пространстве .
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству
предыдущей теоремы с привлечением лемм 3.3.2, 3.3.4.
Т е о р е м а 3.3.3. Для распределения весовых множителей в виде полос
в случае оператор (3.1.6) имеет линейно
независимых собственных функций, где .
93
При этом, если
, где
Соответствующая система собственных функций
- нечётное, то собственные значения имеют вид
приведены в (3.3.13), а
(3.3.14).
(3.3.13) образует
базис в пространстве .
Если
собственные функции (3.3.11), где
собственным значениям
– чётное, то к системе функций (3.3.13) следует добавить
, отвечающие
. Образованная
система собственных функций является базисом в пространстве .
Д о к а з а т е л ь с т в о. В системе (3.3.13) для фиксированной пары
получаем два различных собственных значения
, которым соответствуют линейно независимые
собственные функции
из множества такие, что
собственные функции
Если существуют пары
будут ортогональны согласно лемме
, то соответствующие
3.3.4, и, следовательно, линейно независимы. Значит, система функций
(3.3.13), где
Если
- чётное, то к этой системе добавляется система функций
(3.3.11), где
- линейно независима.
. Так как все значения
при различны, то соответствующие
собственные функции линейно независимы. Ясно также, что любая функция
функции
из системы (3.3.11) ортогональна к любой
из системы (3.3.13) согласно лемме 3.3.4,
поскольку их номера различны. Значит, объединённая система функций
(3.3.11), (3.3.13) с указанными номерами является линейно независимой.
Общее количество найденных линейно независимых функций равно
если - нечётное, и если
- чётное. Согласно лемме
3.3.2 в обоих случаях это количество равно . Тем самым, теорема 3.3.3
доказана.
94
3.Вернёмся к вопросу об устойчивости схемы (3.1.2) для распределения
весовых множителей в виде полос (3.3.1) [42]. Согласно теореме 3.1.1
исследование устойчивости указанной разностной схемы сводится к
нахождению условий неотрицательности всех собственных значений
оператора . Как выяснено в п.1, значения удовлетворяют
квадратному уравнению (3.3.5), откуда для собственных значений
получаем уравнение (3.2.41), где
, (3.3.20)
,
Таким образом, аналогично шахматному распределению весовых
множителей исследование устойчивости разностной схемы (3.1.2), (3.3.1)
сводится к нахождению условий неотрицательности корней квадратного
уравнения (3.2.41), (3.3.20), что, согласно лемме 3.2.6, эквивалентно
выполнению неравенств
(3.3.21)
. (3.3.22)
Необходимо выяснить, при каких условиях на параметры и
неравенства (3.3.21), (3.3.22) выполняются для всех
где
Обозначим
(3.3.23)
95
Очевидно, что при неравенства (3.3.21), (3.3.22)
выполняются, поскольку в левых частях этих неравенств стоят суммы
неотрицательных слагаемых.
Далее, для имеем
при
при
где
Поэтому, если , то для
и неравенство (3.3.22) выполняется. Если
,
,
, то неравенство
(3.3.22) будет выполняться, если потребовать, чтобы
При неравенство (3.3.21) равносильно требованию
Неравенство (3.3.22) будет удовлетворено при тех же
условиях, что и в предыдущем случае.
Для имеем
при где при
Неравенство (3.3.21) эквивалентно требованию
При этом
для выполнения неравенства (3.3.22) необходимо и достаточно потребовать,
чтобы
При имеем
Если же , то
где
и, значит, неравенство (3.3.22) не выполняется.
и неравенство (3.3.22) будет выполнено при
и
.
условии
Наконец, в случае требование (3.3.21), (3.3.22)
эквивалентно условию
96
Итак, справедлива
Т е о р е м а 3.3.4. Для устойчивости разностной схемы (3.1.2), (3.3.1)
необходимо и достаточно выполнение хотя бы одной из групп неравенств
(3.3.24)
(3.3.25)
(3.3.26)
(3.3.27)
(3.3.30)
,
З а м е ч а н и е. Из доказательства видно, что в случае
схема неустойчива.
В неравенствах (3.3.25)-(3.3.30) через
квадратного трёхчлена (3.3.23),
обозначены корни
(3.3.28)
(3.3.29)
97
ЛИТЕРАТУРА
1. Нейман Дж., Рихтмайер Р. (Neumann J., Richtmyer R.D.). A method for
the numerical calculation of hydrodynamic shocks. J. Appl. Phys. 21, 3
(1950), P. 232-243.
2. Рябенький В.С. О применении метода конечных разностей к решению
задачи Коши. Докл. АН СССР, 1952, 86, №6, С. 1071-1074.
3. Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. Докл. АН СССР,
1955, 100, №6, С. 1045-1048.
4. Рябенький В.С., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных схем. М.,
Гостехиздат, 1956.
5. Лакс П., Рихтмайер Р. (Lax P.D., Richtmyer R.D.). Survey of the stability of
linear finite difference equations. Commun. Pure Appl. Math. 9, 2 (1956), P.
267-293.
6. Самарский А.А. К теории разностных схем. Докл. АН СССР, 1965, 165,
№5, С. 1007-1010.
7. Самарский А.А. О регуляризации разностных схем. Ж. вычисл. матем. и
матем. физ., 1967, Т. 7, №1, С. 62-93.
8. Самарский А.А. Классы устойчивых схем. Ж. вычисл. матем. и матем.
физ., 1967, Т. 7, №5, С. 1096-1133.
9. Самарский А.А. Необходимые и достаточные условия устойчивости
двухслойных разностных схем. Докл. АН СССР, 1968, 181, №4, С. 808-
811.
10. Самарский А.А. Итерационные двухслойные схемы для
несамосопряжённых уравнений. Докл. АН СССР, 1969, 186, №1, С. 35-
38.
11. Гулин А.В., Самарский А.А. Об устойчивости разностных схем с
несамосопряжёнными операторами. Докл. АН СССР, 1972, 206, №6, С.
1280-1283.
12. Гулин А.В. Об устойчивости трёхслойных разностных схем с
несамосопряжёнными операторами. Докл. АН СССР, 1973, 210, №3, С.
513-516.
98
13. Гулин А.В., Самарский А.А. О некоторых результатах и проблемах
теории устойчивости разностных схем. Матем. сборник, 1976, Т.
99(141), №3, С. 299-330.
14. Гулин А.В. Об устойчивости по начальным данным
несамосопряжённых разностных схем. Докл. АН СССР, 1979, 244, №4, С.
797-799.
15. Самарский А.А. Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М., Наука,
1973.
16. Хокни Р., Джессхоуп К. Параллельные ЭВМ. М., Радио и связь, 1986.
17. Транспьютеры. Архитектура и программное обеспечение. Пер. с англ.
под ред. Г. Харпа. М., Радио и связь, 1993.
18. Дж. Ортега. Введение в параллельные и векторные методы решения
линейных систем. М., Мир, 1991.
19. Parallel Computing Technologies, Ed. V. Malyshkin. Proceedings of Third
Int. Conf. PaCT-95, St-Petersburg, Russia 1995. Lecture Notes in Computer
Science-964, Springer.
20. Локуциевский В.О., Локуциевский О.В. Применение чебышевских
параметров для численного решения некоторых эволюционных задач.
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша АН СССР,
Препринт №99, 1984.
21. Локуциевский В.О., Локуциевский О.В. Об одном методе численного
решения задач для некоторых эволюционных уравнений. Вопросы
атомной науки и техники, серия: Методики и программы численного
решения задач математической физики, 1986, №2, С. 90-104.
22. Лебедев В.И. Как решать явными методами жёсткие системы
дифференциальных уравнений. Вычислительные процессы и системы.
Вып. 8, под ред. Г.И. Марчука. М., Наука, 1991.
23. Жуков В.Т. Численные эксперименты по решению уравнения
теплопроводности методом локальных итераций. Институт прикладной
математики им. М.В. Келдыша АН СССР, Препринт №97, 1984.
24. Жуков В.Т. Явно итерационные разностные схемы для параболических
уравнений. Вопросы атомной науки и техники, серия: Математическое
моделирование физических процессов, 1993, №4, С. 40-46.
25. Лебедев В.И. Метод композиции. М., ОВМ АН СССР, 1986.
99
26. Лаевский Ю.М. Об одном алгоритме декомпозиции области без
налегания подобластей решения параболических уравнений. Ж.
вычисл. матем. и матем. физ., 1992, 32, №11, С. 1744-1755.
27. Вабищевич П.Н. Разностные схемы декомпозиции расчётной области
при решении нестационарных задач. Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,
1989, 29, №12, С. 1822-1829.
28. Вабищевич П.Н. Регионально-аддитивные разностные схемы
стабилизирующей поправки для параболических задач. Ж. вычисл.
матем. и матем. физ., 1994, 34, №12, С. 1832-1842.
29. Гулин А.В., Самарский А.А. Об устойчивости одного класса разностных
схем. Дифференциальные уравнения, 1993, 29, №7, С. 1163-1173.
30. Самарский А.А. Гулин А.В. Критерий устойчивости семейства
разностных схем. Докл. РАН, 1993, 330, №6, С. 694-695.
31. Гулин А.В. К теории устойчивости симметризуемых разностных схем.
Матем. моделирование, 1994, 6, №6, С. 9-13.
32. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., Наука, 1989.
33. Гулин А.В., Гулин В.А. Границы устойчивости разностных схем с
переменными весовыми множителями. Институт математического
моделирования РАН. Препринт №4, 1994.
34. Вабищевич П.Н. Матус П.П. Операторно-разностные схемы с
переменными весами. Институт математического моделирования РАН.
Препринт №31, 1993.
35. Вабищевич П.Н. Матус П.П. Щеглик В.С. Трёхслойные операторно-
разностные схемы с переменными весами. Институт математического
моделирования РАН. Препринт №30, 1993.
36. Вабищевич П.Н. Матус П.П. Щеглик В.С. Операторно-разностные
уравнения дивергентного типа. Дифференциальные уравнения, 1994,
30, №7, С. 1175-1186.
37. Гулин А.В., Дегтярёв С.Л. Об устойчивости разностных схем с
переменными весовыми множителями. Вестник Московского
университета, вычислительная математика и кибернетика, 1994, №3, С.
23-29.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]