Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивость разностных схем с переменными весовыми множителями. Монография
.pdf
40
где внутренние узлы, - граничные узлы сетки .
Рассмотрим для задачи (2.1.1) двухслойную разностную схему с
переменными по пространству весовыми множителями
Здесь
- разностное решение в узле сетки в момент времени
- шаг по времени,
(2.1.2)
Приведём схему (2.1.2) к каноническому виду и попытаемся
воспользоваться теоремой 1.1.4. Для этого введём евклидово пространство
, размерности элементами которого являются сеточные
функции , определённые в узлах сетки и обращающиеся в нуль на её
границе . Определим скалярное произведение по формуле
Пусть - евклидовы пространства,
, порождаемые соответственно сетками
41
,
со скалярными произведениями
Определим оператор по формуле
(2.1.3)
и оператор по формуле
.
Тогда схема (2.1.2) имеет канонический вид (1.1.1), где .
2.Обозначим через
произведением
- евклидово пространство, являющееся прямой
. Покажем, что оператор представим
в виде произведения , где - линейный оператор: , сопряжённый к оператор.
Введём оператор
и оператор
.
(2.1.4)
по формуле
(2.1.5)
Найдём оператор
имеем
по формуле
, сопряжённый к . Для любых и
.
42
Применим к внутренней сумме формулу суммирования по частям [32, стр.99]
в направлении
для любого фиксированного k . Учитывая (2.1.4), получим
Тем самым,
где
(2.1.6)
Отметим, что
Аналогично находим оператор
любых и
имеем
, сопряжённый к
,
.
. Для
Применим к внутренней сумме формулу суммирования по частям [32] в
направлении
для любого фиксированного i . Учитывая (2.1.5), получим
Тем самым,
,
где
(2.1.7)
Отметим, что
Оператор
образом
действует, учитывая (2.1.4), (2.1.6), следующим
43
то есть
Аналогично из (2.1.5), (2.1.7) получим
то есть
Таким образом, основной оператор (2.1.3) имеет вид
Следовательно, , где
(2.1.8)
причём то есть
44
Таким образом, справедлива
Л е м м а 2.1.1. Для разностного оператора, определённого согласно
2.1.3, справедливо разложение где операторы
определены согласно (2.1.4)-(2.1.8).
Отметим, что в случае
то есть оператор - сеточный аналог градиента, а
- сеточный аналог
дивергенции со знаком минус.
Л е м м а 2.1.2. Схема (2.1.2) удовлетворяет всем условиям теоремы
1.1.4.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Принадлежность схемы (2.1.2) семейству схем
(1.1.1), (1.1.2) доказана в п.1. Возможность представления оператора A в
виде произведения установлена в лемме 2.1.1. Известно также [32],
что оператор A является положительным оператором, то есть
Отметим, наконец, что существование оператора
будет
гарантировано, если потребовать выполнение условий диагонального
преобладания элементов матрицы B, обеспечивающих её невырожденность
[44]. Матрица пятидиагональная. Условия диагонального
преобладания принимают вид неравенств для весовых множителей, а
именно
,
(2.1.9)
где
45
Заметим, что для используемых на практике неотрицательных значений
условия (2.1.9) всегда выполнены.
Чтобы воспользоваться теоремой 1.1.4, необходимо построить
оператор
для схемы (2.1.2).
Л е м м а 2.1.3. Оператор Q может быть представлен в виде операторной
матрицы
,
где единичные операторы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, согласно (2.1.8) имеем
Следовательно, для любых
имеем
=
46
что и требовалось.
Построим матрицу оператора
Пусть
матрица оператора
матрица оператора
матрица оператора
матрица оператора
Видно, что матрица оператора имеет блочную структуру, а именно
Определим элементы матрицы . Для любого
, учитывая (2.1.4), (2.1.6), получаем
при любом
47
Условимся, что координаты вектора
упорядочены по
горизонталям, то есть
Напротив, координаты вектора
упорядочены по вертикалям, то есть
На основании приведённых выражений делаем вывод о том, что блок
в матрице (2.1.10) – трёхдиагональная квадратная матрица порядка
вдоль главной диагонали. Ненулевые элементы блока
, состоящая из
блоков порядка
, расположенных
имеют вид :
для
Значения
введены для удобства записи элемента
имеют отношения к набору весовых множителей.
Определим элементы матрицы . Для любого
, учитывая (2.1.5), (2.1.7), получаем
и не
при любом
48
,
.
Следовательно, блок в матрице (2.1.10) – трёхдиагональная матрица
порядка
, состоящая из
расположенных вдоль главной диагонали. Ненулевые элементы блока
блоков порядка
имеют вид
,
Для
Значения
введены для удобства записи элемента
имеют отношения к набору весовых множителей.
Определим элементы матрицы . Для любого
, имеем
и не
при любом
49
,
Из этих выражений следует, что блок
– матрица
, состоящая из блоков
элементы блока
представляют собой матрицы вида
, (2.1.11)
где
для
для
. Ненулевые
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]