Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивость разностных схем с переменными весовыми множителями. Монография
.pdf
60
Пусть операторы и
где
Л е м м а 3.1.1. Для схемы (3.1.2) оператор устойчивости
,
определены как
, - единичные операторы в
,
(3.1.4)
можно представить в виде
где
.
, (3.1.5)
Доказательство проводится непосредственным перемножением матриц
, и . Заметим, что матрица зависит только от сетки, а матрица -
только от весовых множителей.
Согласно теореме 2.1.1, для устойчивости схемы (3.1.2) необходимо и
достаточно, чтобы минимальное собственное значение матрицы (3.1.5)
было неотрицательным.
Наряду с матрицей (3.1.5) рассмотрим квадратную матрицу
(3.1.6)
порядка
, которую будем называть редуцированной
матрицей устойчивости.
Л е м м а 3.1.2. Спектр матрицы представляет собой объединение
спектра матрицы и собственного значения 1 кратности .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Матрица получена из перестановкой во
втором слагаемом прямоугольных матриц
и
. Поэтому [45, стр.
71] спектр матрицы состоит из спектра матрицы
и собственного значения
1 кратности . Отметим, что порядок матрицы
примерно в два раза меньше порядка матрицы .
61
Так как оператор - самосопряжённый, то все его собственные
значения вещественные. Тогда из леммы 3.1.2 следует, что все собственные
значения оператора
также вещественные.
Из теоремы 2.1.1 и леммы 3.1.2 следует
Т е о р е м а 3.1.1. Если разностная схема (3.1.2) устойчива в каком-либо
пространстве
, то все собственные значения задачи
(3.1.7)
неотрицательны. Обратно, если все собственные значения задачи(3.1.7)
неотрицательны, то разностная схема (3.1.2) устойчива в пространствах
.
и
2.Остановимся более детально на связи решений задач на собственные
значения для операторов и . Наряду с (3.1.7) рассмотрим задачу на
собственные значения
. (3.1.8)
Для удобства обозначим
,
. (3.1.9)
Оператор является невырожденным, то есть .
Покажем это. Действительно, уравнение
невырожденности оператора
, уравнению . Из определения
эквивалентно, в силу
оператора (3.1.4) получаем систему линейных алгебраических уравнений
для
Так как
, то отсюда следует, что . Следовательно, .
.
Это значит [45, стр.25], что Так как [45]
, то есть
оператор
- вырожденный.
62
Заметим, что произведение операторов является невырожденным,
так как
, где . (3.1.10)
С помощью введённых операторов ,
для (3.1.5),
(3.1.6) в виде, удобном для дальнейшего изложения, а
(3.1.9) перепишем выражения
именно
. (3.1.11)
Оператор - несамосопряжённый в отличие от оператора .
Отметим, что оператор задаваемый диагональной
матрицей со значениями на
диагонали, может быть как вырожденным (если хотя бы одно ), так
и невырожденным.
Докажем несколько вспомогательных утверждений.
Л е м м а 3.1.3. Для того чтобы пара
была собственной парой
оператора , необходимо и достаточно, чтобы .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если
- решение задачи (3.1.8) и , то из
(3.1.8), учитывая (3.1.11), получаем, что . Так как невырожденный оператор, то .
Обратно, если , то из (3.1.8) следует, что то есть
- собственная пара оператора .
Л е м м а 3.1.4. Пусть - вырожденный оператор. Тогда для того чтобы
пара
была собственной парой оператора
, необходимо и достаточно,
чтобы .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если
- решение задачи (3.1.7) и , то из
(3.1.7), учитывая (3.1.10), (3.1.11), получаем, что . Так как –
невырожденный оператор, то .
63
Обратно, если , то из (3.1.7) , то есть
собственная пара оператора
.
-
Л е м м а 3.1.5. Если – невырожденный оператор, то не является
собственным значением оператора
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что
.
, - собственная пара
оператора . Тогда, учитывая (3.1.10), (3.1.11), получаем, что . Так
как и - невырожденные операторы, то , что невозможно.
Л е м м а 3.1.6. Кратность собственного значения оператора
равна , где - число ненулевых значений
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для самосопряжённого оператора
алгебраическая кратность собственного значения совпадает с
геометрической кратностью, то есть с размерностью собственного
подпространства, соответствующего этому собственному значению. Согласно
лемме 3.1.3 собственные функции оператора , отвечающие собственному
значению , являются нетривиальными решениями уравнения
Следовательно,
. Известно [45], что для матриц имеет место
. Найдём
неравенство
(3.1.12)
В нашем случае
. Из неравенства (3.1.12) следует, что
то есть
Таким образом,
Связь между собственными функциями задач (3.1.7), (3.1.8) устанавливается
в следующих двух теоремах.
Т е о р е м а 3.1.2. Пусть
собственная пара оператора
. Тогда
64
1)если то собственная пара оператора где
2)если собственная пара оператора где
решение уравнения имеющего линейно независимых
решений (
Д о к а з а т е л ь с т в о.
1)По условию
- решение задачи(3.1.7). Подставляя
в (3.1.7) и
учитывая (3.1.11), получаем
(3.1.13)
Так как так как иначе не выполнялось бы тождество (3.1.13).
Но тогда поскольку – невырожденный оператор. Обозначим
Покажем, что собственная пара оператора
Применим оператор к тождеству (3.1.13). Получим
или то есть
2)Согласно лемме 3.1.3
является собственной парой оператора
тогда и только тогда, когда Как установлено в лемме 3.1.6, это
уравнение имеет линейно независимых решений.
Т е о р е м а 3.1.3. Пусть
собственная пара оператора Тогда
собственная пара оператора где
2) если то собственная пара оператора где решение
уравнения имеющего линейно независимых решений только в
случае вырожденного оператора
Д о к а з а т е л ь с т в о.
1)Так как то В противном случае по лемме 3.1.3
получили бы, что Обозначим Покажем, что
собственная пара оператора Подставим в (3.1.8) и применим к
полученному тождеству оператор Тогда
65
Отсюда для получаем
то есть
собственная пара оператора
2)Утверждение теоремы, касающееся является следствием лемм
3.1.4, 3.1.5.
3.Как отмечалось выше, оператор в отличие от оператора
не является самосопряжённым оператором. Поэтому вопрос о наличии у
оператора
системы собственных функций, являющейся базисом в
пространстве , требует отдельного изучения. Покажем, что имеет место
следующая
Т е о р е м а 3.1.4. У оператора существует линейно
независимых собственных функций, где
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как оператор
самосопряжённый, то у него существует линейно независимых
собственных функций [46, стр.137]. Пусть собственное значение оператора
имеет кратность Для самосопряжённого оператора это означает, что
существует линейно независимых собственных функций
отвечающих собственному значению
Пусть Тогда по теореме 3.1.3 получаем, что
собственные пары оператора Покажем, что функции
-
- линейно независимы. Составим линейную комбинацию
Обозначим
подпространстве оператор
или
- сужение оператора на подпространство
имеет обратный
. (3.1.14)
Так как (3.1.14)
. На этом
эквивалентно тождеству
66
то применяя к нему оператор
Поскольку
то есть функции
линейно независимые по условию, то
линейно независимые.
Рассмотрим систему {
получим, что
} собственных функций оператора
построенных вышеуказанным способом для всех Эта система –
линейно независимая в силу доказанного выше и известного свойства:
собственные функции оператора, отвечающие различным собственным
значениям, линейно независимы [ 46, стр.124]. Общее число функций в
системе {
функций {
} по построению равно общему количеству собственных
} оператора за исключением тех, что соответствуют значению
то есть равно где по лемме 3.1.6. Здесь
количество нулевых значений
Если оператор невырожденный то не является
собственным значением оператора
в построенной системе {
} равно
по лемме 3.1.5, а общее число функций
что и требовалось доказать.
Если оператор вырожденный, то является собственным
значением оператора
а количество собственных функций, отвечающих
собственному значению , согласно теореме 3.1.3 равно где
Тогда система собственных функций оператора (построенных для и
тех, что соответствуют ) образует линейно независимую систему, а их
число равно
Тем самым, теорема 3.1.4 полностью доказана.
67
§3.2. Решение спектральной задачи для редуцированной матрицы
в случае шахматного распределения весовых множителей
1.Запишем задачу на собственные значения для редуцированной
матрицы в разностной форме:
(3.2.1)
Решить систему (3.2.1) в явном виде удаётся лишь в частных случаях.
Рассмотрим один из таких случаев, когда всё множество
состоит из двух
параметров, чередующихся в определённом порядке.
Представим множество внутренних точек сетки в виде объединения
двух непересекающихся подмножеств и , определённых следующим
образом. Для фиксированной точки
обозначим через
пятиточечный шаблон
используемый при аппроксимации оператора Лапласа. Пусть
множество узлов с индексами
-
. Будем говорить, что
множества и образуют шахматное разбиение сетки , если для всех
выполнено условие:
если
если
то
то
Иначе говоря, для всей сетки центральная точка шаблона и её окрестность
принадлежат разным подмножествам.
Предположим, что и образуют шахматное разбиение и
(3.2.2)
68
где и - заданные постоянные, и обозначим
Введённую таким образом сеточную функцию
назовём шахматным
распределением весовых множителей.
В этом случае задача на собственные значения (3.2.1) представляет
собой систему разностных уравнений
(3.2.3)
где
2.Отметим, что в случае, когда , система (3.2.3) имеет
решение
(см. [32, стр. 238]).
В общем случае, когда , будем искать собственный вектор
в
виде
(3.2.4)
где числовые множители и подлежат определению и
(3.2.5)
является собственной функцией пятиточечного разностного оператора
Лапласа.
69
Подставляя (3.2.4),(3.2.5) в уравнения (3.2.3) и учитывая, что
, (3.2.6)
, где
получаем , что коэффициенты и должны удовлетворять системе
уравнений
(3.2.7)
Условие равенства нулю определителя системы (3.2.7) приводит к
уравнению
(3.2.8)
которому удовлетворяют собственные значения задачи (3.2.3). Решения
уравнения (3.2.8) имеют вид
Условие (3.2.8) обеспечивает существование нетривиального решения
. (3.2.9)
системы (3.2.7).
Приведём решение системы (3.2.7) в рассматриваемом нами случае
.
Если то из (3.2.9) получаем, что
При
система (3.2.7) имеет вид
.
Ранг матрицы этой системы равен 1 и, значит, её решением является
единственный с точностью до постоянного множителя вектор (1,0).
При
система (3.2.7) приобретает вид
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]