Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей для студентов гуманитарных специальностей. Учебное пособие
.pdf
О.В. Куделина
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
ГУМАНИТАРНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
Учебное пособие
Москва
Ай Пи Ар Медиа
2024
УДК 519.2
ББК 22.17
К88
Автор:
Куделина О.В. — канд. пед. наук, доц. кафедры математики
и методики преподавания математики, доц. кафедры
прикладной информатики Крымского инженерно-педагогического
университета имени Февзи Якубова
Рецензенты:
Онуфриенко О.Г. — канд. техн. наук., доц., зав. кафедрой
математики и методики преподавания математики
Азовского государственного педагогического университета;
Гельфанова Д.Д. — канд. пед. наук, доц., зав. кафедрой математики
и физики Крымского инженерно-педагогического
университета имени Февзи Якубова
Куделина, Ольга Владимировна.
К88 Теория вероятностей для студентов гуманитарных специальностей :
учебное пособие / О.В. Куделина. — Москва : Ай Пи Ар Медиа, 2024. —
100 с. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-4497-2845-6
Учебное пособие разработано для студентов гуманитарных специ-
альностей. Оно содержит основные теоретические сведения по теории ве-
роятностей, примеры решения задач, тесты и задания для самостоятельной
работы студентов по каждой теме с ответами, пример итоговой контроль-
ной работы, критерии оценивания результатов изучения дисциплины.
Подготовлено в соответствии с требованиями Федерального госу-
дарственного образовательного стандарта высшего образования.
Учебное пособие предназначено для студентов гуманитарных специальностей и направлений подготовки, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика», а также будет полезно для учи-
телей средних школ.
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4497-2845-6 © Куделина О.В., 2024
© ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2024
Учебное издание
Куделина Ольга Владимировна
Редактор Е.В. Савенкова
Технический редактор, компьютерная верстка А.А. Балакирева
Обложка Я.А. Кирсанов, С.С. Сизиумова, фотобанк Freepik
Подписано к использованию 04.06.2024. Объем данных 7 Мб.
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа»
8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)
E-mail: sales@iprmedia.ru
4
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................. 5
1. Основные понятия теории вероятностей .............................................................. 7
2. Теоремы сложения и умножения вероятностей ................................................. 20
3. Формула полной вероятности, формулы Бейеса ................................................ 31
4. Повторные испытания .......................................................................................... 41
5. Случайные величины ............................................................................................ 53
6. Числовые характеристики случайных величин ................................................. 69
7. Законы распределения случайных величин и законы больших чисел ............ 85
ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ С КРИТЕРИЯМИ
ОЦЕНИВАНИЯ ....................................................................................................... 90
ОТВЕТЫ НА ТЕСТЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ ................................................................................................................... 93
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................... 100
5
ВВЕДЕНИЕ
В условиях стремительного роста роли образования в дальнейшем разви-
тии общества все более острой становится проблема улучшения качества подготовки специалистов и повышения их конкурентоспособности.
Знания основ теории вероятностей являются основой при изучении мате-
матической статистики, используются во многих областях науки и техники, в
практической работе экономистов и менеджеров различного уровня, являются
теоретической основой экономических, социологических и специальных дисциплин, а также применяются при проведении научных исследований в области пе-
дагогики и психологии.
Интенсивное реформирование образовательного процесса высших учеб-
ных заведений обеспечивает реализацию личностно-ориентированных педагоги-
ческих технологий, развитие личности и ее познавательных способностей, что
реализуется в первую очередь через индивидуальный режим учебной работы
студентов и доминирование их самостоятельной учебно-познавательной деятельности.
Данное учебное пособие является элементом методического обеспечения
самостоятельной учебной деятельности студентов по теории вероятностей. По
каждой теме учебной дисциплины приведены основные теоретические сведения,
примеры решения типовых задач, тесты для самопроверки студентами своих тео-
ретических знаний и задания для самостоятельного решения с ответами. В издании также представлен образец итоговой контрольной работы с критериями оценивания.
Внедрение данного учебного пособия в процесс организации самостоя-
тельной работы студентов будет способствовать достижению основных целей
изучения теории вероятностей: формированию у будущих гуманитариев системы базовых представлений в области теории вероятностей, подготовке их к
изучению математической статистики, а также получению знаний о методах и
приемах использования теории вероятностей в различных естественнонаучных,
социальных и гуманитарных приложениях. Также будут реализованы и основ-
ные задачи изучения теории вероятностей: воспитание достаточно высокой ма-
тематической культуры студентов; формирование навыков современных видов
математического мышления, использования математических методов в практи-
ческой деятельности.
В результате применения данного учебного пособия при организации са-
мостоятельной работы студентов они будут знать терминологию и обозначения
6
теории вероятностей, основные понятия комбинаторики, понятия события, веро-
ятности, случайной величины и функции ее распределения, основы вероятност-
ного анализа, место теории вероятностей в современной математике; уметь применять стандартные методы и модели к решению вероятностных задач, находить
вероятность случайного события, параметры случайных величин, характери-
стики распределений случайной величины.
Надеемся, что данное пособие поможет студентам овладеть навыками ор-
ганизации самообразования, технологиями приобретения, использования и об-
новления профессиональных знаний с применением различных методов теории
вероятностей, качественно освоить все разделы учебной дисциплины и приобре-
сти навыки их использования как при изучении других учебных дисциплин, так
и в дальнейшей практической деятельности.
7
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных законо-
мерностей массовых однородных случайных событий с целью предвидения, как
эти события будут протекать.
Методы теории вероятностей широко применяются в технике, в теории
надежности, в теории массового обслуживания, в физике, в геодезии, в астроно-
мии, в медицине, в педагогике, в психологии и пр.
Первые работы по теории вероятностей появились в XVI–XVII вв. (Кар-
дано, Паскаль, Ферма), в XVIII–XX вв. появились работы Бернулли, Муавра,
Лапласа, Чебышева, Маркова, Ляпунова, Колмогорова, Смирнова и др.
Случайным событием называется всякий факт, который в результате
опыта (испытания) может произойти или не произойти. Примеры: проверка ам-
пулы на герметичность (ампула целая, ампула с трещиной), подбрасывание монеты (выпал герб, выпала решка), изготовление продукции (стандартная, бракованная), введение данных в компьютер (безошибочный, с ошибками), стрельба
по мишени (попадание, промах), набор 80 очков при десяти выстрелах по мишени (набор, нет), прогноз средней температуры воздуха за сутки (ошибка менее
5 градусов, более 5 градусов) и т.п.
Случайные события обозначают прописными буквами латинского алфавита.
Достоверным называется событие, которое в результате опыта обяза-
тельно произойдет.
Невозможным называется событие, которое в результате опыта не может
произойти.
Полной группой событий называется несколько событий таких, что в ре-
зультате опыта непременно произойдет хотя бы одно из них.
Несколько событий называют несовместными, если появление одного из
них исключает появление других событий в одном и том же испытании (никакие
два, три, … события не могут появиться вместе).
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если
по условиям опыта нет оснований считать, что какое-либо из них более возможно, чем любое другое.
Если несколько событий образуют полную группу, и они несовместные и
равновозможные, то их называют случаями.
8
Случай называется благоприятным событию, если его появление влечет
за собой появление данного события.
Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей.
Существует несколько определений этого понятия. Рассмотрим классическое
определение вероятности: вероятностью события А называется отношение
числа благоприятных этому событию случаев к их общему числу, т.е.
,
где n — общее число случаев;
m — число случаев, благоприятных событию А.
Вероятность меняется от нуля до единицы (0 — вероятность невозможного
события, 1 — вероятность достоверного события).
При вычислении вероятностей часто приходится рассматривать группи-
ровки элементов множества. Число таких группировок изучает комбинаторика.
Перестановками из n элементов называют их группировки, отличающи-
еся друг от друга только порядком следования элементов. Число всех различных
перестановок из n элементов вычисляется по формуле:
Сочетаниями из n элементов по m называются всевозможные группи-
ровки из данных n элементов по m в каждой, отличающиеся друг от друга только
составом элементов. Число всех различных сочетаний из n элементов по m вы-
числяется по формуле:
.
Размещениями из n элементов по m называются всевозможные группи-
ровки из данных n элементов по m в каждой, отличающиеся друг от друга или
составом или порядком следования элементов. Число всех различных размещений из n элементов по m вычисляется по формуле
.
9
Число перестановок с повторениями элементов вычисляется по формуле
,
где а1 + а2 + ... аn = n.
Сочетаниями из n элементов по m с повторениями называются всевоз-
можные группировки из данных n элементов по m в каждой, причем разными
считаются группировки, в которых хотя бы один элемент встречается разное
число раз. Число всех различных сочетаний из n элементов по m с повторениями
вычисляется по формуле
.
Размещениями из n элементов по m с повторениями называются всевоз-
можные группировки из данных n элементов по m в каждой, причем разными
считаются группировки, у которых на одинаковых местах стоят разные эле-
менты. Число всех различных размещений с повторениями из n элементов по m
вычисляется по формуле:
.
Правило суммы: если группировку А можно выбрать n способами, а груп-
пировку В m способами, то выбрать А или В можно n + m способами, а А и В
одновременно можно выбрать nm способами.
Статистическое (стохастическое, опосредованное, априорное) опреде-
ление вероятности: если проведено n независимых испытаний и событие А про-
изошло m раз, то отношение
называют относительной частотой события А или
статистической вероятностью и обозначают или , читается «омега».
Не трудно заметить, что вероятность по классическому определению вы-
числяют до опыта, а частоту события или статистическую вероятность — после
опыта.
Длительные научные наблюдения показали, что если в одинаковых усло-
виях проводится большое количество опытов, то относительная частота обнару-
живает свойство устойчивости, т.е. очень мало меняется. Причем относительная
частота очень близка к вероятности данного события.
10
Суммой двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя
бы одного из событий А или В (событие А или событие В или оба события произойдут). Обозначается: А + В.
Если события А и В несовместные, то событие А + В — это появление со-
бытия А или события В, так как вместе они появиться не могут.
Если события А, В, С, … независимы и образуют полную группу событий,
то сумма их вероятностей равна единице.
Так как события А и
образуют полную группу событий и они несов-
местны, то р(А) + р(
) = 1. Из этого следует, что вероятность противоположного
события р(
) = 1 – р (А).
Произведением двух событий называется событие, состоящее в совмест-
ном появлении событий А и В. Обозначается: АВ.
Легко заметить, что если события несовместны, то событие АВ — это не-
возможное событие, а значит р(АВ) = 0.
1.2. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1. Всякий факт, который в результате испытания может произойти или не
произойти, называется:
1 2 3
событием
случайным событием
случаем
2. Событие, которое в результате опыта обязательно произойдет, называется:
1 2 3
достоверным
случаем
случайным
3. Событие, которое в результате опыта не может произойти, называется:
1 2 3
выполнимым
невозможным
случайным
4. Несколько событий таких, что в результате опыта непременно произой-
дет хотя бы одно из них, называются:
1 2 3
группой событий
группой
несовместных событий
полной группой событий
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]