Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей для студентов гуманитарных специальностей. Учебное пособие
.pdf
61
р
4
(0) =
;
р
4
(1) =
;
р
4
(2) =
;
р
4
(3) =
;
р
4
(4) =
.
Построим ряд распределения:
Х
0 1 2 3 4
р(Х)
Построим полигон.
4. При измерении роста студентов были получены данные: 156, 157, 156,
160, 161, 159, 162, 170, 163, 175, 181, 180, 172, 158, 163, 165, 172, 169, 168. Соста-
вить закон распределения случайной величины, построить полигон.
Решение. Рассмотрим интервалы и составим таблицу частот:
Х
x < 160
160 < = x < 170
170 < = x < 180
x > = 180
п
х
5 8 4
2
Построим гистограмму:
62
Взяв середины интервалов, получим полигон:
Х
х = 155
х = 165
х = 175
х = 185
Р(хі)
5. Найти функцию распределения случайной величины и построить ее график. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение от 2 до 3.
Х
0 1 2 3 4
р(Х)
Решение. Значения функции распределения:
;
;
;
;
19519819419
2
63
;
1.
р(
.
6. Случайная величина имеет плотность распределения
. Опре-
делить параметр а и найти функцию распределения.
Решение. Событие А = «х меняется от минус бесконечности до плюс бес-
конечности» достоверное, значит
=1. В нашем случае
=
= a * arctgx = a( ) =a = 1.
Получили а =
, т.е.
.
Найдем функцию распределения
F(x)=
= = arctgx =
= ( arctgx + ).
7. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x) = x2 – 4x + 4.
Найти вероятность того, что Х
2,3.
|
)
2
(
2
х
dx
x
2
1
1
1
|
х
11
64
Решение.
Р(Х 2,3) = 1 – Р(Х < 2,3) = 1 – F(2,3) =
= 1 – [(2,3)2 – 4 * 2,3 + 4] = 0,91.
8. Плотность распределения непрерывной случайной величины
.
Определить вероятность того, что случайная величина примет значения,
большее, чем –2 и меньше трех.
Решение.
p (–2 < x < 3) =
=
.
9. Дана функция плотности непрерывной случайной величины
.
Составить ряд распределения.
Решение. Длину отрезка, на котором функция плотности не равна нулю,
разделим на пять частей и возьмем на каждом из них одну точку: 0,5; 1,5; 2,5;
3,5; 4,5. Получили дискретную случайную величину. Вычислим вероятности в
этих точках:
f (0,5) = * 0,5 = , f(1,5)) = * 1,5 = ;
f (2,5) = * 2,5 = , f(3,5)) = * 3,5 = , f(4,5) = * 4,5 = .
25225125225
3
2525125225725225
9
65
Составим ряд распределения:
Х
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5
Р(х)
5.4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Заданы вероятности случайной величины: значение 10 имеет вероят-
ность 0,3, значение два имеет вероятность 0,4, значение восемь имеет вероятность 0,1, значение четыре имеет вероятность 0,2. Построить ряд распределения
случайной величины и ее полигон.
2. В книжном магазине разыгрываются две книги стоимостью 1 500 руб.
И одна стоимостью 1 000 руб. Было продано 50 билетов. Составить закон распределения случайной величины Х = «сумма выигрыша одного билета».
3. Задан ряд распределения случайной величины:
Х
10
20
30
40
50
Р(хі)
0,2
0,3
0,35
0,1
0,05
Построить полигон и найти функцию распределения вероятностей данной
случайной величины.
4. Найти функцию распределения случайной величины, которая задана ря-
дом распределения и вероятность того, что значение случайной величины попа-
дает в интервал (1 ; 3).
Х
0 1 2
3
р(Х)
0,1
0,3
0,4
0,2
5. Стрелок делает три выстрела по мишени. Вероятность поражения цели
при одном выстреле 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий в цель
при трех выстрелах.
2512535125725
9
66
6. В урне четыре шара с номерами от единицы до четырех. Взято два шара.
Случайная величина — сумма номеров вынутых шаров. Построить полигон случайной величины.
7. Среди пяти изделий одно бракованное. Чтобы его найти, берут наудачу
изделия один за одним пока не найдется бракованное. Построить ряд распреде-
ления случайной величины Х = «количество проверенных деталей».
8. На пути у автомобиля пять светофоров, которые с вероятностью 0,4 мо-
гут его остановить. Построить полигон количества светофоров, мимо которых
проехал автомобиль.
9. Случайная величина задана интегральной функцией
.
Найти вероятность того, что случайная величина будет находиться в ин-
тервале (2,5 ; 3,5).
10. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины
.
Определить вероятность того, что случайная величина примет значения от
–2 до 3.
11. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
.
Найти коэффициент а.
67
12. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
.
Построить график распределения плотности y = f(x).
13. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
.
Найти вероятность попадания величины Х в промежуток (1 ; 2).
14. Случайная величина Х задана функцией распределения (интегральной
функцией
.
Вычислить вероятность попадания случайной величины Х в интервал
(1,5 ; 2,5).
15. Случайная величина Х задана функцией распределения (интегральной
функцией
.
Вычислить вероятность попадания случайной величины Х в интервал
(2,5 ; 3,5)
16. Случайная величина Х задана функцией распределения (интегральной
функцией
.
68
Найти плотность распределения (дифференциальную функцию) этой слу-
чайной величины.
17. Стрелок делает по мишени три выстрела. Вероятность попадания в ми-
шень у него 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий.
18. Дана функция плотности распределения случайной величины Х
.
Найти а.
19. В магазине разыгрываются три книги стоимостью 500 руб. И две книги
стоимостью 100 руб. Было продано 500 билетов. Составить закон распределения
случайной величины Х = «сумма выигрыша одного билета»
20. Дана функция плотности распределения случайной величины Х
.
Найти а.
вариант
номера заданий
1
1, 5, 10, 14, 18
2
2, 6, 11, 13, 17
3
3, 7, 12, 16, 18
4
4, 8, 13, 15, 17
5
5, 9, 14, 15, 19
6
6, 10, 13, 16, 20
7
5, 7, 12, 15, 17
8
6, 8, 11, 14, 18
9
7, 9, 10, 12, 19
10
2, 8, 10, 13, 20
69
6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
6.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
В теории вероятностей большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Следует отметить, что в случае непрерывных
случайных величин все числовые характеристики имеют тот же самый смысл и
обладают теми же самыми свойствами, как и для дискретных случайных вели-
чин, но вычисляются по иным формулам.
Значение случайной величины, которое имеет наибольшую вероятность,
называют модой и обозначают М0. Мод может быть и несколько. Для дискретной
случайной величины моду мы увидим, используя ряд распределения, а для непрерывной случайной величины мода М
0
— значение х, при котором плотность
распределения вероятностей f(x) имеет наибольшее значение.
Значение случайной величины, которое удовлетворяет равенству
Р(Х < Me) = P(X > Me) называют медианой случайной величины, т.е. события
Х < Me и X > Me являются равновозможными. Для непрерывной случайной вели-
чины медиана М
е
— такое значение величины, что перпендикуляр, который по-
строен из точки х = М
е
, делит на две равные части площадь, которая ограничена
кривой распределения.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины назы-
вается сумма попарных произведений всех возможных значений случайной ве-
личины на соответствующие им вероятности, т.е.
.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью распределения f(х) определяется равенством
.
Основные свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т.е.
М(С) = С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожи-
дания, т.е. М(СХ) = СМ(Х).
70
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их
математических ожиданий, т.е. М(Х + У) = М(Х) + М(У).
4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно про-
изведению их математических ожиданий, т.е. М(ХУ) = М(Х) * М(У).
Математическое ожидание числа появления события в одном испытании
равно вероятности этого события, а в n независимых испытаниях М(х) = np.
Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины с учетом вероятностей его возможных значений. Это центр распределения случайной величины. Для оценки разброса (рассеяния) значений случайной
величины около ее математического ожидания рассматриваются дополнитель-
ные числовые характеристики: дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание
квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.
D(X) = M((X – M(X))2). Для непрерывной случайной величины, это будет
.
Для удобства вычислений дисперсии часто используют теорему: дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием
квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания, т.е.
D(X) = М(х2) – (М(х))2.
Основные свойства дисперсии:
1. D(C) = 0.
2. D(cx) = c2D(x).
3. D(x + y) = D(x) + D(y).
Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях равна
произведению числа испытаний на вероятность появления события А в одном
испытании и на вероятность непоявления события А, т.е. D(x) = npq.
Так как дисперсия имеет размерность квадрата от размерности случайной
величины, то рассматривают корень квадратный из дисперсии, он имеет ту же
размерность, что и случайная величина. Средним квадратическим отклоне-
нием случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии, т.е.
(читается «дельта»).
Среднее квадратическое отклонение и показывает рассеяние случайной величины от ее математического ожидания, т.е. случайная величина чаще всего
принадлежит интервалу (М(Х) –
Есть еще другие числовые характеристики: моменты, асимметрия, эксцесс.
Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется ма-
тематическое ожидание величины , т.е. . Читается «ню».
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]