Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей для студентов гуманитарных специальностей. Учебное пособие
.pdf
11
5. Если появление одного события исключает появление другого события
в одном и том же испытании, то эти события:
1 2 3
невозможные
равновозможные
несовместные
6. Если по условиям опыта нет оснований считать, что какое-либо из собы-
тий более возможно, чем любое другое, то эти события:
1 2 3
случайные
равновозможные
несовместные
7. Если несколько событий образуют полную группу, и они несовместные
и равновозможные, то их называют:
1 2 3
случаи
результаты
групповые
8. Если появление случая влечет за собой появление события, то это случай:
1 2 3
благоприятствующий
данному событию
подходящий
данному событию
помогающий
данному событию
9. Отношение числа благоприятствующих событию случаев к их общему
числу называется:
1 2 3
частотой данного события
относительной частотой
данного события
вероятностью
данного события
10. Группировки из n элементов, отличающиеся друг от друга только по-
рядком следования элементов, называются:
1 2 3
перестановками
размещениями
сочетаниями
12
11. Группировки из данных n элементов по m в каждой, отличающиеся
друг от друга только составом элементов, называются:
1 2 3
перестановками
размещениями
сочетаниями
12. Всевозможные группировки из данных n элементов по m в каждой, от-
личающиеся друг от друга или составом или порядком следования элементов,
называются:
1 2 3
перестановками
размещениями
сочетаниями
13. Формула
позволяет вычислить число:
1 2 3
перестановок
размещений
сочетаний
14. Формула
позволяет вычислить число:
1 2 3
перестановок
размещений
сочетаний
15. Формула позволяет вычислить число:
1 2 3
перестановок
размещений
сочетаний
16. Если проведено n независимых испытаний и событие А произошло m
раз, то отношение
называют:
1 2 3
частотой данного события
относительной частотой
данного события
вероятностью
данного события
13
17. Событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В,
называется:
1 2 3
суммой двух событий
произведением двух событий
вероятностью двух событий
18. Формула р(
) = 1 – р(А) позволяет вычислить вероятность:
1 2 3
противоположного события
несовместимого события
условную вероятность
19. Событие, состоящее в совместном появлении событий А и В, называется:
1 2 3
суммой данных событий
произведением
данных событий
совместимостью
данных событий
20. Если вероятность произведения двух событий равно нулю, то они:
1 2 3
совместные
несовместные
независимые
1.3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Стрелок стреляет по мишени. Что является испытанием, а что событием?
Решение. Выстрел — это испытание, попадание в цель — событие.
2. Брошен игральный кубик. Предложите невозможное событие.
Решение. Событие А = «Выпало число восемь» не может произойти, значит
событие А невозможное.
3. Брошен игральный кубик. Предложите полную группу событий.
Решение. Полная группа событий:
А = «выпало число 1»; В = «выпало число 2»;
С = «выпало число 3»; D = «выпало число 4»;
Е = «выпало число 5»; F = «выпало число 6»;
G = «выпало четное число очков»; R = «выпало положительное число очков».
14
4. Брошен игральный кубик. Предложите совместные и несовместные со-
бытия.
Решение. Появление события А = «выпала двойка» исключает появление
события В = «выпала шестерка» или С = «выпала единица» и т.д. это события
несовместные.
События А = «выпала двойка» и Р = «выпало четное число очков» будут
совместными.
5. Два стрелка стреляют по мишени. Будут события А = «первый стрелок
поразил цель» и В = «второй стрелок поразил цель» совместными?
Решение. Появление события А не зависит от появления события В, значит
эти события будут совместными.
6. Брошен игральный кубик. Предложите равновозможные и неравно воз-
можные события.
Решение. Равновозможные события:
А = «выпало число 1»; В = «выпало число 2»;
С = «выпало число 3»; D = «выпало число 4»;
Е = «выпало число 5»; F = «выпало число 6».
События К = «выпало число меньшее трех» и М = «выпало число не
меньше трех» не будут равновозможными, так как в первом случае могут выпасть числа 1 и 2, а во втором — числа 3, 4, 5, 6.
7. Брошен игральный кубик. Предложите случаи.
Решение. Случаи:
А = «выпало число 1»; В = «выпало число 2»;
С = «выпало число 3»; D = «выпало число 4»;
Е = «выпало число 5»; F = «выпало число 6».
Так же случаями будут события М = «выпало четное число очков» и
К = «выпало нечетное число очков», так как они образуют полную группу и яв-
ляются несовместными.
8. Брошен игральный кубик. Укажите случаи, благоприятные событию
А = «выпало число очков, большее четырех».
Решение. Событию А = «выпало число очков, большее четырех» будут бла-
гоприятны случаи В = «выпало число 5» и С = «выпало число 6».
15
9. Брошен игральный кубик. Найти вероятности событий А = «выпало чет-
ное число очков», В = «выпало 6 очков», С = «выпало число очков, меньшее
пяти».
Решение. Три случая, благоприятных событию А: выпало 2, выпало 4, вы-
пало 6 очков.
Один случай, благоприятный событию В: выпало 6 очков.
Четыре случая, благоприятных событию С: выпало 1, выпало 2, выпало 3,
выпало 4.
,
,
.
10. В урне два черных, три синих и три белых шара. Найти вероятность
появления красного шара, если из урны наудачу берется один шар.
Решение.
n = 2 + 3 + 3 = 8,
m = 2, значит
В этом случае чаще говорят, что 25 % шаров
в урне красного цвета.
11. Сколькими способами можно расставить 6 книг на полке?
Решение. Это перестановки.
.
12. Сколькими способами можно выбрать четырех студентов из десяти?
Решение. Нам важен только состав, значит нас интересует число сочетаний.
.
13. У Нины семь разных книг по философии, а у Славы девять разных книг
по социологии. Сколькими способами они могут обменяться пятью книгами?
Решение. Важен только состав, значит, нас интересует число сочетаний.
И нас интересует их произведение.
.
2646
5
9
5
7
СC
16
14. Сколькими способами можно составить расписание на один день, если
в день может быть 4 разных урока, а изучается 10 дисциплин?
Решение. Важен как состав, так и порядок, значит, нас интересует число
размещений.
.
15. Имеется шесть одинаковых пронумерованных изделий. Наугад по од-
ному берут все изделия. Найти вероятность того, что номера изделий появятся в
порядке возрастания.
Решение. Число исходов опыта — все перестановки элементов, т.е. n = Р6 =
6!. Благоприятный исход один. Значит
.
16. Среди 10 деталей имеется 3 бракованных. Определить вероятность
того, что среди выбранных наугад 7 деталей будет 2 бракованных.
Решение. Общее число случаев — это число возможных способов взять
7 деталей из 10, т.е.:
n =
Число способов взять 5-ть стандартных из 7 и 2-е бракованных из трех:
m =
*
.
Значит, P(A) =
.
17. В корзине четыре яблока первого сорта и пять яблок второго сорта.
Найти вероятность того, что взятые наудачу два яблока будут разных сортов.
Решение. Общее число случаев — это число возможных способов взять два
яблока из девяти, т.е. n =
.
Число способов взять два яблока разных сортов m =
.
Значит, P(A)=
.
17
18. Отдел технического контроля обнаружил в партии из 80 случайно ото-
бранных деталей 3 бракованные. Найти относительную частоту брака.
Решение. Событие уже произошло, значит
.
19. Провели 24 000 бросаний монеты и герб выпал 12 012 раз. Проверьте
будет ли относительная частота близка к вероятности?
Решение. Относительная частота
, а вероятность
выпадения герба при одном бросании р(А) =
= 0,5.
Получили 0,50050,5.
1.4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Подбрасывается кубик, на каждой стороне которого написана цифра «2».
Каким будет событие А = «выпала двойка»?
2. Подбрасывается игральный кубик. Каким будет событие А = «выпало
число, большее нуля и меньшее семи»?
3. Подбрасывается игральный кубик. Каким будет событие А = «выпало
8 очков»?
4. Подбрасывается игральный кубик. Событие А = «выпало 2 очка», В =
«выпало нечетное число очков», С = «выпало 3 очка». Какие события будут совместными, а какие нет?
5. Подбрасывается игральный кубик. Будут ли равновозможными события
А = «выпало четное число очков» и В = «выпало нечетное число очков»?
6. В ящике 5 красных и 7 зеленых яблок. Будут ли равновозможными со-
бытия А = «взято красное яблоко» и В = «взято зеленое яблоко»?
7. Сколькими способами можно составить расписание на один день, если в
день должно быть 4 разных урока и всего изучается 4 дисциплины?
8. Сколько разных слов можно составить из букв слова «география»?
18
9. В магазине 6 сортов цветов. Сколькими способами можно составить бу-
кет из 9 цветов?
10. Сколькими способами можно выбрать три числа из 30, чтобы их сумма
была четной?
11. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее
наудачу. Найти вероятность того, что он дозвонился?
12. В коробке пять кубиков с буквами с, п, о, р, т. Найти вероятность того,
что на вытянутых по очереди кубиках будет написано слово «спорт».
13. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры, помнил
лишь то, что они различные. Найти вероятность того, что он наберет нужный
номер.
14. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что
среди взятых наугад 6 деталей будет ровно 4 стандартных.
15. Продаются книги, пять книг по цене 4 руб., три книги по 1 руб. две
книги по 3 руб. Найти вероятность того, что за 5 руб. можно купить две книги.
16. Участники жеребьевки тянут жетоны с номерами от 1 до 100. Найти
вероятность того, что номер первого вытянутого жетона не содержит цифру «5».
17. В урне 5 белых, 4 черных, 3 синих шара. Вынимается шар, определяется
его цвет и шар не возвращается в урну. Найти вероятность такой последователь-
ности вынимания шаров: белый, черный, синий.
18. В типографии 4 печатные машины. Вероятность поломки каждой из
них 0,1. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна
машина.
19. Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна
0,8, из второго — 0,7, из третьего — 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из трех орудий.
19
20. В трех ящиках по 10 деталей, причем в первом ящике 8 стандартных,
во втором — 7, в третьем — 9. Из каждого ящика вынимают по одной детали.
Найти вероятность того, что будет вынуто три стандартных детали.
вариант
номера заданий
1
1, 5, 10, 14, 18
2
2, 6, 11, 13, 17
3
3, 7, 12, 16, 18
4
4, 8, 13, 15, 17
5
5, 9, 14, 15, 19
6
6, 10, 13, 16, 20
7
5, 7, 12, 15, 17
8
6, 8, 11, 14, 18
9
7, 9, 10, 12, 19
10
2, 8, 10, 13, 20
20
2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух событий
равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е.
р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ).
Легко заметить, что если события А и В несовместны, то их произведе-
ние — невозможное событие и вероятность их произведения равна нулю, а тогда
р(А + В) = р(А) + р(В).
Если мы рассматриваем полную группу несовместных событий, то сумма
их вероятностей будет равна единице, так как они несовместны и в результате
опыта происходит ровно одно из них, т.е. если А1, А2, … А
n
— полная группа
несовместных событий, то:
р(А1 + А2 + … + Аn) = р(А1) + р(А2) + … + р(Аn) = 1.
Два единственно возможных события, образующих полную группу несов-
местных событий, называют противоположными. Если одно из них обозначено
А, то вторе обозначают
., так как противоположные события образуют полную
группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице, т.е.
р(А) + р(
) = 1.
Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий равна
разности между единицей и произведением вероятностей событий, противопо-
ложных к данным событиям.
Условной вероятностью события А при наличии события В называется
вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В уже произошло. Обозначается р(А / В) или рВ(А).
Для независимых событий, когда появление одного события не меняет ве-
роятности появления другого, справедливо равенство р(А/В) = р(А).
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух со-
бытий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность
второго, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]