Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей для студентов гуманитарных специальностей. Учебное пособие
.pdf
31
3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ,
ФОРМУЛЫ БЕЙЕСА
3.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Пусть события Н1, Н2, …, Н
n
образуют полную группу несовместных со-
бытий, тогда
Н1 + Н2 + … + Нn =
= 1.
Если событие А может произойти только совместно с одним из событий
Н1, Н2, …, Нn , то вероятность этого события находится по формуле полной веро-
ятности р(А) =
. При этом события Н
1
, Н2, …, Нn называют
гипотезами (так как заранее не известно, какое из этих событий наступит).
Если опыт уже произошел и нужно узнать, какая гипотеза дала результат,
то пользуются формулой Томаса Бейеса (британский математик XVIII в.):
р(Н
k
| A ) =
.
3.2. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1. По классическому определению вероятности события р(А) =
, где m —
число:
1 2 3
всех возможных случаев
случаев, благоприятных
событию А
возможных случаев
для события А
2. Если появление одного события исключает появление другого события
в одном и том же испытании, то эти события:
1 2 3
невозможные
равновозможные
несовместные
32
3. Отношение числа благоприятствующих событию случаев к их общему
числу называется:
1 2 3
частотой данного события
относительной частотой
данного события
вероятностью
данного события
4. Событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В,
называется:
1 2 3
суммой двух событий
произведением
двух событий
вероятностью двух событий
5. Формула р(
) = 1 – р(А) позволяет вычислить вероятность:
1 2 3
противоположного события
несовместного события
условную вероятность
6. Событие, состоящее в совместном появлении событий А и В, называется:
1 2 3
суммой данных событий
произведением
данных событий
совместимостью
данных событий
7. Если вероятность произведения двух событий равно нулю, то они:
1 2 3
совместные
несовместные
независимые
8. Формула р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ) интерпретирует:
1 2 3
теорему умножения
вероятностей
закон вычисления
условной вероятности
теорему сложения
вероятностей
9. Если р(А + В) = р(А) + р(В), то события А и В:
1 2 3
зависимы
несовместны
совместны
33
10. Два единственно возможных события, образующих полную группу
несовместных событий, называют:
1 2 3
зависимыми
противоположными
совместными
11. Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В уже
произошло, называется:
1 2 3
совместной вероятностью
вычисленной вероятностью
условной вероятностью
12. Формула р(АВ) = р(А)р(В / А) интерпретирует:
1 2 3
теорему умножения
вероятностей
закон вычисления
условной вероятности
теорему сложения
вероятностей
13. Если р(АВ) = р(А)р(В), то события А и В:
1 2 3
зависимы
несовместны
независимы
14. Вероятность события А при условии, что событие В уже произошло,
можно найти по формуле:
1 2 3
р(А / В) =
р(А / В) =
р(А / В) =
15. Если событие А может произойти только совместно с одним из событий
Н1, Н2, …, Н
n
, то вероятность этого события находится по формуле:
1 2 3
Бейеса
полной вероятности
умножения условных
вероятностей
34
16. Укажите формулу полной вероятности:
1 2 3
р(А) =
р(Нk|A) =
р(А) =
17. В формуле полной вероятности события Н
1
, Н2, …, Н
n
называются:
1 2 3
условными вероятностями
случаями
гипотезами
18. Гипотезы образуют:
1 2 3
полную группу
несовместных событий
полную группу событий
группу событий,
благоприятствующих событию А
19. Если опыт уже произошел и нужно узнать, какая гипотеза дала резуль-
тат, то пользуются формулой:
1 2 3
полной вероятности
Бейеса
вычисления
относительной частоты
20. Укажите формулу Бейеса:
1 2 3
р(А) =
р(Нk | A) =
р(А) =
3.3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Имеется три урны с шарами. В первой урне 2 красных и 1 черный шар,
во второй — 7 красных и 5 черных шаров, в третьей — 4 красных и 3 черных
шара. Найти вероятность вынуть красный шар из наугад выбранной урны.
Решение. Обозначим через А = «вынут красный шар», а гипотезы Н
1
= «шар
вынут из первой урны», Н
2
= «шар вынут из второй урны», Н3 = «шар вынут из
третьей урны», тогда
35
р(Н1) = р(Н2) = р(Н3) =
;
р(А / Н1) =
р(А / Н2) =
р(А / Н3) =
.
Найдем вероятность вынуть красный шар из наугад выбранной урны по
формуле полной вероятности:
р(А) = р(Н1) р(А / Н1) + р(Н2) р А / Н2) +
+ р(Н3) р(А / Н3 ) =
+
+
=
.
2. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого
набора стандартна, равна 0,8, а второго — 09. Найти вероятность того, что взятая
наудачу деталь из наудачу выбранного набора стандартна.
Решение. Обозначим через А = «выбрана стандартная деталь», а гипотезы
Н1 = «деталь выбрана из первого набора», Н
2
= «деталь выбрана из второго
набора», Вероятность того, что выбран первый набор равна 0,5, а что выбран
второй набор — 0,5. По формуле полной вероятности:
Р(А) = 0,5 * 0,8 + 0,5 * 0,9 = 0,85.
3. В первой коробке 20 деталей, среди них 18 стандартных. Во второй ко-
робке 10 деталей, среди них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята
деталь и переложена в первую коробку. Найти вероятность того, что наудачу из-
влеченная деталь из первой коробки будет стандартной.
Решение. Обозначим через А = «выбрана стандартная деталь из первой ко-
робки», а гипотезы Н1 = «переложена стандартная деталь», Н
2
= «переложена бра-
кованная деталь». Тогда:
р(Н1) =
;
р(Н2) =
р(А / Н1) =
р(А / Н2) =
36
По формуле полной вероятности получаем
Р(А) =
*
+
*
= 0,9.
4. В первой коробке 20 ламп, из них 2 бракованные. Во второй коробке
10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу вынули лампу и пе-
реложили в первую коробку. Найти вероятность того, что лампа, которую вы-
нули из первой коробки стандартная.
Решение. Пусть А = «вынута стандартная лампа из первой коробки», а ги-
потезы Н
1
= «переложена стандартная деталь», Н
2
= «переложена бракованная
деталь». Тогда
р(А) = р(Н1) р(А/Н1) + р(Н2) р(А / Н2) =
= 0,9.
5. На склад поступило три партии деталей, причем количество деталей в
партиях относятся как 1:2:3, а стандартных деталей в первой партии 89 %, во
второй — 92 %, в третьей — 97 %. Найти вероятность того, что случайно выбранная деталь будет бракованной.
Решение. Р(Н1) / р(Н2) / р(Н
3
) = 1:2:3, значит
р(Н1) = 1 / 6; р(Н2) = 2 / 6 = 1 / 3; р(Н
3
) = 3 / 6 = 1 / 2,
тогда
р(А) = 1 / 6 * 0,11 + 1 / 380,08 + 1 / 2 * 0,03 = 0,06.
6. Имеется три урны с шарами. В первой урне 2 красных и 1 черный шар,
во второй — 7 красных и 5 черных шаров, в третьей — 4 красных и 3 черных
шара. С какой вероятностью можно утверждать, что вынутый красный шар был
шаром из второй урны.
Решение. Обозначим через А = «вынут красный шар», а гипотезы Н
1
= «шар
вынут из первой урны», Н
2
= «шар вынут из второй урны», Н3 = «шар вынут из
третьей урны», тогда
р(Н1) = р(Н2) = р(Н3) =
;
р(А / Н1) =
;
р(А / Н2) =
;
р(А / Н3) =
.
37
Найдем вероятность того, что вынутый красный шар был шаром из второй
урны по формуле Бейеса:
р(Н
2
| A ) =
=
=
.
7. Детали, которые изготавливаются цехом завода, попадают на проверку
их стандартности к одному из двух контролеров, причем к первому попадает
60 % всех деталей. Вероятность того, что первый контролер признает деталь
стандартной, равна 0,94, а второй — 0,98. Деталь признана стандартной. Найти
вероятность того, что деталь проверял первый контролер.
Решение. Пусть А = «деталь признана стандартной», а гипотезы Н
1
= «де-
таль проверял первый контролер», Н
2
= «деталь проверял второй контролер», по
формуле Бейеса
р(Н1 | A) =
=
= 0,59.
8. Среди 10 предметов 2 окрашенных. Вероятность того, что предмет бра-
кованный среди окрашенных равна 0,3, а неокрашенных — 0,1. Наудачу извле-
чен один предмет и он стандартный. Найти вероятность того, что был извлечен
окрашенный предмет.
Решение. Пусть А = «извлечен стандартный предмет», а гипотезы Н1 =
«предмет окрашенный», Н
2
= «предмет не окрашенный», по формуле Бейеса
р(Н1 | A) =
=
= 0,16.
9. В ящике 10 деталей, среди которых могут быть и бракованные. Вынутая
наугад деталь оказалась стандартной. Определить вероятность того, что 9 дета-
лей в ящике стандартные.
Решение.
р(Н0) = р(Н1) = р(Н2) = р(Н3) = … = р(Н10) =
;
(вероятности количества стандартных деталей в ящике)
Р(А / Н0) = 0, р(А / Н1) =
, р(А / Н
2
) = 0,2, … , р(Н9) = 0,9, р(Н10) = 1;
38
Р(А) =
…
(вынута стандартная деталь)
По формуле Бейеса получаем
3.4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Веро-
ятность выполнить квалификационную норму для лыжника 0,9, для велосипедиста 0,8, для бегуна 0,75. Найти вероятность того, что выбранный наудачу спортс-
мен выполнит норму.
2. Сборщик получил три коробки деталей с первого завода и две коробки
со второго завода. Первый завод имеет брака 20 %, а второй — 10 %. Сборщик
извлек наудачу деталь из наудачу выбранной коробки. Какова вероятность того,
что деталь стандартна?
3. В двух ящиках находятся лампы. В первом ящике из 12 ламп одна бра-
кованная, во втором из 10 ламп одна бракованная. Из первого ящика наудачу
переложили одну лампу во второй ящик. Найти вероятность того, что наудачу
извлеченная из второго ящика лампа будет бракованной.
4. В магазин поступил одинаковый товар с четырех фабрик, с первой
250 единиц, со второй — 525, с третьей — 275, с четвертой — 950. Вероятность
брака товара с первой фабрики 0,15, со второй — 0,3, с третьей — 0,2, с четвертой — 0,1. Товар был перемешан. Найти вероятность того, что покупатель купит
бракованный товар при покупке одной единицы товара.
5. На конвейере находятся детали из трех цехов. Детали первого цеха
имеют 0,2 % брака, второго — 0,3 %, третьего — 0,5 %. Найти вероятность того,
что находящаяся на конвейере деталь бракованная, если с первого цеха посту-
пило 3 000 деталей, со второго — 6 000 деталей, с третьего — 1 000 деталей.
39
6. В первом ящике 20 предметов, среди которых 15 окрашенных. Во втором
ящике 10 предметов, из которых 9 окрашенных. Из второго ящика наудачу берется
предмет и перекладывается в первый ящик. Теперь наудачу берется предмет из
первого ящика. Найти вероятность того, что этот предмет неокрашенный.
7. В трех урнах лежат шары: в первой — три белых и один черный, во вто-
рой — шесть белых и четыре черных, в третьей — девять белых и один черный.
Найти вероятность того, что взятый наудачу шар из наудачу выбранной урны
будет белым.
8. В первой урне два белых и четыре черных шара, во второй — три белых
и один черный шар. Из первой урны переложили один шар во вторую, затем вы-
нули один шар из второй урны. Найти вероятность того, что вынут белый шар.
9. В группе студентов 2 отличника, 4 хорошиста и 6 троечников. Отличник
на экзамене может получить только оценку пять. Хорошист может получить пять
или четыре с одинаковой вероятностью. Троечник может получить четыре, три
или два с одинаковой вероятностью. Найти вероятность того, что вызванный
наудачу студент получит пять или четыре.
10. Имеется две партии изделий по 12 и 14 штук, причем в каждой партии
одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложили во вторую, после чего из второй партии взяли наудачу одно изделие. Опре-
делить вероятность того, что извлечена бракованное изделие.
11. Из полного набора костей домино наугад берут одну кость, затем вто-
рую. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.
12. На фабрике изготавливают винты. Первый станок изготавливает 25 %
всех винтов, второй станок — 35 % всех винтов, третий станок — 40 % всех вин-
тов. Брак первого станка 5 %, второго — 4 %, третьего — 2 %. Случайно выбран-
ный винт оказался бракованным. С какой вероятностью можно утверждать, что
он сделан на первом станке?
13. В стационаре 50 % сердечных больных, 30 % урологических, 20 %
неврологических. Сердечники выздоравливают в 25 % случаев, урологические
больные — в 45 %, неврологические — в 30 %. Выписали больного, он оказался
здоров. В каком отделении стационара он вероятнее всего лежал?
14. Из 18 стрелков пять попадают в мишень с вероятностью 0,8, семь —
с вероятностью 0,7, четыре — с вероятностью 0,6, два — с вероятностью 0,5.
40
Стрелок, взятый наудачу, не попал в цель. К какой из групп вероятнее всего
он принадлежал?
15. Имеется 10 урн, причем в девяти из них находятся два белых и два чер-
ных шара, а в одной урне — пять белых и один черный шар. Из урны, взятой
наудачу. Извлечен белый шар. Найти вероятность того, что шар извлечен из
урны, содержащей пять белых шаров.
16. Телеграфное сообщение состоит из точек и тире. При передаче искажа-
ются
точек и
тире. Известно, что среди передаваемых сигналов точка и тире
встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что принят переда-
ваемый сигнал точка.
17. Имеется три одинаковых ящика. В первом ящике 20 белых шаров,
во втором — 10 белых шаров и 10 черных шаров, в третьем — 20 черных шаров.
Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что
шар вынут из первого ящика.
18. В ящике 10 деталей, среди которых могут быть и бракованные. Выну-
тая наугад деталь оказалась стандартной. Определить вероятность того, что все
детали в ящике стандартные.
19. Вероятность сбить цель с одного выстрела у первой команды 0,2, а у
второй — 0,1. Каждая команда производит по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель поражена только первой командой?
20. В ящике 10 деталей, среди которых могут быть и бракованные. Выну-
тая наугад деталь оказалась стандартной. Определить вероятность того, что пять
деталей в ящике бракованные.
вариант
номера заданий
1
1, 5, 10, 14, 18
2
2, 6, 11, 13, 17
3
3, 7, 12, 16, 18
4
4, 8, 13, 15, 17
5
5, 9, 14, 15, 19
6
6, 10, 13, 16, 20
7
5, 7, 12, 15, 17
8
6, 8, 11, 14, 18
9
7, 9, 10, 12, 19
10
2, 8, 10, 13, 20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]