Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей для студентов гуманитарных специальностей. Учебное пособие
.pdf
81
= 3,33;
;
= 1,17.
Доверительный интервал
(3,33 – 1,17 ; 3,33 + 1,17) = (2,16 ; 4,5).
Мода М
0
= 5, так как функция плотности вероятности
возрастающая
и принимает свое наибольшее значение в точке 5
Медиана находится из равенства площадей:
;
;
=
;
;
;
.
6.4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Найти моду случайной величины, которая задана своим законом распре-
деления:
Х
2 4 5
Р
0,6
0,1
0,3
2. Найти математической ожидание дискретной случайной величины, ко-
торая задана своим законом распределения:
Х
2 5 8
Р
0,5
0,2
0,3
)()( XDХ
82
3. Найти математической ожидание дискретной случайной величины, ко-
торая задана своим законом распределения:
Х
50
51
52
53
54
55
56
Р(хі)
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
1
64
1
4. Найти математическое ожидание случайной величины ХУ, если заданы
законы
Х
2 4 5
Р(Х)
0,1
0,3
0,6
У
8
10
Р(у)
0,8
0,2
5. Найти математическое ожидание числа появлений события А в 20 неза-
висимых испытаниях, если в каждом испытании вероятность наступления собы-
тия А равна 0,25.
6. Найти интервал рассеивания случайной величины, которая задана рядом
распределения:
Х
2 3 10
Р(х)
0,1
0,4
0,5
7. Найти дисперсию случайной величины, которая задана законом распре-
деления, используя определение и теорему:
Х
2 3 4
Р(х)
0,4
0,5
0,1
8. Произведено 200 выстрелов из орудия. Вероятность попадания в цель
при одном выстреле 0,7. Найти интервал вероятнейшего числа поражений цели.
83
9. Найти начальный момент второго порядка случайной величины Х, если
она задана законом распределения:
Х
2 3 4
Р(х)
0,3
0,2
0,5
10. Найти центральный момент второго порядка случайной величины Х,
если она задана законом распределения:
Х
2 3 4
Р(х)
0,3
0,2
0,5
11. Найти асимметрию случайной величины, заданной рядом распределе-
ния, и сделать вывод:
Х
2 3 4
Р(х)
0,3
0,2
0,5
12. Найти эксцесс случайной величины, заданной рядом распределения:
Х
2 3 4
Р(х)
0,3
0,2
0,5
13. Найти доверительный интервал случайной величины Х, которая задана
функцией плотности распределения
.
14. Найти моду и медиану случайной величины Х, которая задана функ-
цией плотности распределения
.
84
15. В урне шесть белых и четыре черных шара. Из урны извлекается шар
пять раз подряд, причем каждый раз вынутый шар возвращается в урну. Приняв
за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, определить ее математическое ожидание и дисперсию.
16. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины f(x) =
a
, a > 0. Найти моду этой случайной величины.
17. Известны дисперсии двух независимых случайных величин D(X) = 4,
D(Y) = 3. Найти дисперсию суммы этих величин.
18. Дисперсия случайной величины Х равна пяти. Найти дисперсию 3x + 6.
19. Найти дисперсию случайной величины Х — числа появлений события
А в двух независимых испытаниях, если М(Х) = 0,8.
20. Найти дисперсию случайной величины Х — числа появления события
А в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления
события А равна 0,7.
вариант
номера заданий
1
1, 5, 10, 14, 18
2
2, 6, 11, 13, 17
3
3, 7, 12, 16, 18
4
4, 8, 13, 15, 17
5
5, 9, 14, 15, 19
6
6, 10, 13, 16, 20
7
5, 7, 12, 15, 17
8
6, 8, 11, 14, 18
9
7, 9, 10, 12, 19
10
2, 8, 10, 13, 20
85
7. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
И ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Основные теоретические сведения
Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины
(закон Бернулли) встречается в случае п независимых повторных испытаний, в
каждом из которых некоторое событие случается с вероятностью р. Этот закон
имеет вид
mnmm
n
ppCmxP
)1()(
.
Известно, что для случайной дискретной величины, которая подчиняется
биномиальному закону распределения M(X) = np, D(X) = npq.
Закон распределения Пуассона дискретной случайной величины встречается в случае большого количества повторных независимых испытаний п, в каждом из которых событие случается с вероятностью р, при этом р очень малень-
кое, менше 0,1. Этот закон имеет вид
, где .
Известно, что для случайной дискретной величины, которая подчиняется
закону распределения Пуассона M(X) = , D(X) = .
Геометрический закон распределения дискретной случайной величины
имеет вид
1
)1()(
m
ppmxP
. Этот закон рассматривается тогда, когда р —
вероятность события А в каждом испытании, а m — количество испытаний до
появления события А в серии независимых повторных испытаний. Геометриче-
ский закон распределения используют в различных задачах статистического кон-
троля качества изделий, в теории надежности, в страховых расчетах.
Известно, что для случайной дискретной величины, которая подчиняется
геометрическому закону распределения M(X) =
р
1
, D(X )=
2
1рр
.
Гипергеометрический закон распределения дискретной случайной вели-
чины имеет вид
. Он показывает вероятность появления
m элементов с некоторым свойством среди n элементов, взятых из совокупности
N элементов, в которой содержится k элементов с тем же самым свойством. Этот
закон используется в различных задачах контроля качества.
Известно, что для случайной дискретной величины, которая подчиняется
гипергеометрическому закону распределения
M(X) =
N
kn
, D(X) =
1
*
)(
2
N
nN
N
kNkn
.
86
Полиномиальный закон распределения дискретной случайной величины
имеет вид
s
m
s
mm
s
ss
ppp
mmm
n
mXmXmXP ...
!!...!
!
),...,,(
21
21
21
2211
.
Данный закон используется тогда, когда в результате каждого из совер-
шенных повторных независимых испытаниях может произойти s разных событий со своими вероятностями p1, p2, …, ps причем сумма всех этих вероятностей
равна единице.
Известно, что для случайной дискретной величины, которая подчиняется
полиномиальному закону распределения
M(Xі) =
i
np
, D(Xі) = npi(1 – pi).
Непрерывная случайная величина Х распределена по равномерному закону распределения на промежутке (а ; в), если все ее возможные значения при-
надлежат этому промежутку и плотность распределения имеет вид
.
При равномерном законе распределения вероятность того, что Х будет при-
надлежать интервалу
);();(
21
вахх
равна отношению длины этого проме-
жутка к длине всего промежутка (а ; в)., т.е.
.
Этому закону удовлетворяют, например, ошибки округления различных
расчётов.
График равномерного распределения имеет вид:
87
Известно, что для случайной непрерывной величины, которая подчиняется
равномерному закону распределения
, D(X) =
.
Случайная непрерывная величина Х распределена по показательному закону распределения, если плотность ее вероятности имеет вид
,
где
— параметр.
Этому закону удовлетворяют время телефонного разговора, время ремонта
техники и др.
Известно, что для случайной непрерывной величины, которая подчиняется
показательному закону распределения
x
exF
1)(
,
1
)( XM
, D(X)=
2
1
.
Случайная непрерывная величина Х распределена по нормальному закону
распределения, если плотность ее вероятности имеет вид
,
где а и — параметры.
График нормального распределения называется нормальной кривой или
кривой Гаусса и имеет вид:
88
Если эксцесс положительный, то вершина кривой Гаусса более узкая, а
если отрицательный, то более плоская.
При параметрах а = 0 и = 1 нормальную кривую называют нормированной. Эксцесс нормированного нормального распределения равен нулю.
Известно, что для случайной непрерывной величины, которая подчиняется
нормальному закону распределения
аXM )(
, D(X)=
2
.
Вероятность попадания случайной величины в интервал (c ; d) находят по
формуле
)()()(
ac
Ф
ad
ФdXcP
,
где Ф(х) — функция Лапласа, которая непарная, т.е. Ф(–х)= – Ф(х) , а ее значения
представлены в таблицах.
Если закон распределения непрерывной случайной величины не известен,
то допускают, что это нормальный закон распределения, если
. Это
правило трех сигм.
Закон распределения Пирсона «хи-квадрат» рассматривается тогда, ко-
гда есть несколько случайных величин Х
і
, распределенных по нормальному за-
кону распределения и их математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение равны единице. Сумма квадратов этих величин
распре-
деляется по закону х2сk = n степенями свободы. Если величины связаны линейно,
т.е.
, то число степеней свободы будет k = n – 1.
Функция плотности для х2 имеет вид
,
где гама функция Г(х)=
0
1
dtet
tx
, Г(n+1)=n!
Когда k возрастает, распределение х2 стремится к нормальному распределению.
89
Закон распределения Стьюдента. Пусть Х — нормованная случайная ве-
личина (а = 0,
= 1), а У — независимая от Х величина, которая распределена
по закону х
2
с k степенями свободы. Тогда величина
k
Y
X
T
имеет распределение
Стьюдента или t — распределение с k степенями свободы.
Если k возрастает, то распределение Стьюдента приближается к нормальному распределению.
Законы больших чисел
Закон больших чисел играет важную роль в разных процессах, связанных с
большим количеством испытаний, т.е. в массовом производстве. Он позволяет
прогнозировать число появлений случайного события при большом количестве
испытаний. Кроме того, закон больших чисел показывает при каких ограничениях
случайная величина будет подчиняться нормальному закону распределения.
Все граничные теоремы, которые относятся к закону больших чисел, пока-
зывают с какой вероятностью можно утверждать, что случайная величина почти
не отличается от ее математического ожидания.
Первое неравенство Чебышева. Для произвольной случайной величины
Х, которая принимает неотрицательные значения и имеет математическое ожидание Р(Х
1)
М(Х).
При а
> 0 данная формула имеет вид Р(Х
а
)(ХМ
и называется неравен-
ством Маркова.
Второе неравенство Чебышева. Если случайная величина Х имеет конеч-
ное математическое ожидание и дисперсию, то для произвольного очень малень-
кого > 0 (читается «эпсилон») имеет место неравенство
2
)(
))((
XD
XMXP
.
Предельная теорема Бернулли. Если вероятность появления события А в
каждом из п независимых испытаниях равна р, а число появления события А в п
проведенных испытаниях (частота события) равно m, тогда
1)(
lim
p
n
m
P
n
. Эта
теорема показывает, что при большом количестве испытаний вероятность собы-
тия совпадает с его частотой.
90
ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
С КРИТЕРИЯМИ ОЦЕНИВАНИЯ
Тесты
1. Отношение числа благоприятствующих событию случаев к их общему
числу называется:
1 2 3
частотой данного события
относительной частотой
данного события
вероятностью данного
события
2. Если А и В независимые события, то вероятность их произведения вы-
числяется по формуле:
1 2 3
р(АВ) = р(А)р(В / А)
р(АВ) = р(А)р(В)
р(АВ) = р(А)р(А / В)
3. Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В уже
произошло, называется:
1 2 3
совместной вероятностью
вычисленной вероятностью
условной вероятностью
4. В формуле полной вероятности события Н
1
, Н2, …, Н
n
называются:
1 2 3
условными вероятностями
случаями
гипотезами
5. Если опыт уже произошел и нужно узнать, какая гипотеза дала резуль-
тат, то пользуются формулой:
1 2 3
полной вероятности
Бейеса
вычисления
относительной частоты
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]