Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей для студентов гуманитарных специальностей. Учебное пособие
.pdf
41
4. ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ
4.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Если один и тот же опыт проводить несколько раз в одних и тех же усло-
виях, то группу этих опытов называют повторными испытаниями.
Повторные испытания называются независимыми, если вероятность исхода каждого испытания не зависит от того, какие результаты были в других испытаниях.
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А
в каждом испытании остается постоянной, то такие испытания называют по-
вторными независимыми испытаниями относительно события А.
Если проводится n независимых испытаний, вероятность появления события А в каждом из них равна р, то вероятность того, что событие произойдет
ровно m раз определяется по формуле Даниила Бернулли (швейцарский матема-
тик 18 в.):
,
где q = 1 – p.
Зная, как посчитать число сочетаний, эту же формулу можно записать так:
.
Повторными испытаниями по схеме Бернулли называют те, в которых
каждый эксперимент имеет два исхода с зависимыми наперед известными веро-
ятностями (p и q = 1 – р).
Для различных значений m в n независимых испытаниях различны вероят-
ности
. Число m
0
называется наивероятнейшим значением, если вероят-
ность того, что событие А наступает m0 число раз, превышает все остальные ве-
роятности
, т.е.
>
для всех m. Наивероятнейшее значение
числа появлений события А находят по формуле m0 = [(n + 1)p] (целая часть
числа).
Вероятность появления события А не менее m раз вычисляется по формуле:
.
42
Вероятность появления события А хотя бы один раз вычисляется по фор-
муле:
,
где q = 1 – p.
Количество n опытов, которые нужно произвести для того, чтобы с вероятностью не меньшей k утверждать, что событие А произойдет хотя бы один раз,
вычисляется по формуле:
,
где р — вероятность появления события А в каждом опыте.
При больших значениях числа испытаний подсчет вероятности по формуле
Бернулли связан с громоздкими вычислениями. В этом случае удобнее пользо-
ваться формулой Симеона Дени Пуассона (французский математик XVIII в.):
=
,
где .
Формула используется в задачах, относящихся к редким событиям, т.е.
тем, для которых npq 9.
При больших значениях числа испытаний подсчет вероятности можно про-
водить и по формуле Муавра — Лапласа (французские математики XVIII в.):
,
где
.
Эту же формулу называют локальной теоремой Пьера Симона Лапласа и
записывают в виде
,
где х =
.
43
Для упрощения вычислений есть специальные таблицы значений функции
Лапласа
(см. в интернете или учебниках «Таблица значений функ-
ции Лапласа»), при этом локальная формула Лапласа принимает вид:
,
где х =
.
Отметим, что функция Лапласа четная, т.е.
.
Формула Муавра — Лапласа используется, если m и n большие числа, p и
q не малые, а npq 9.
Предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, и нужно вычислить, что событие А произойдет не менее m1 и на более m2 раза, то используется интеграль-
ная теорема Лапласа:
pn(m1,m
2
) =
,
где х1 =
;
х2 =
.
По специальным таблицам значений интегральной функции Лапласа
можно найти значение Ф(х)=
(см. в интернете или учебниках «Зна-
чения интегральной функции Лапласа»), а тогда pn(m1,m2) = Ф(х2) – Ф(х1).
Отметим, что интегральная функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(–х) = –Ф(х).
3.2. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1. По классическому определению вероятности события р(А) = m / n, где
m — число:
1 2 3
всех возможных случаев
случаев, благоприятных
событию А
возможных случаев
для события А
44
2. Событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В,
называется:
1 2 3
суммой данных событий
произведением
данных событий
совместимостью
данных событий
3. Событие, состоящее в совместном появлении событий А и В, называется:
1 2 3
суммой данных событий
произведением
данных событий
совместимостью
данных событий
4. Если событие А может произойти только совместно с одним из событий
Н1, Н2, …, Н
n
, то вероятность этого события находится по формуле:
1 2 3
Бейеса
полной вероятности
умножения условных
вероятностей
5. Если опыт уже произошел и нужно узнать, какая гипотеза дала резуль-
тат, то пользуются формулой:
1 2 3
Бейеса
полной вероятности
умножения условных
вероятностей
6. Если производится несколько испытаний, причем вероятность события
А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испы-
тания называют:
1 2 3
повторными испытаниями
повторными независимыми
испытаниями
независимыми испытаниями
7. Повторными испытаниями по схеме Бернулли называют те, в которых:
1 2 3
каждый эксперимент имеет
конечное число исходов
с разными вероятностями
каждый эксперимент имеет
два исхода с зависимыми
наперед известными
вероятностями
событие наступает
и не наступает с равными
вероятностями
45
8. Если проводится n независимых испытаний и вероятность появления со-
бытия А в каждом из них равна р, то вероятность того, что событие произойдет
ровно m раз определяется по формуле:
1 2 3
Бейеса
полной вероятности
Бернулли
9. Если вероятность того, что событие А наступает m0 число раз, превы-
шает все остальные вероятности
, то m0 называется:
1 2 3
наивероятнейшим
значением
полной вероятностью
вероятностью Бернулли
10. Укажите формулу Бернулли для повторных независимых испытаний:
1 2 3
,
где q = 1 – p
,
где х =
11. Что при проведении повторных независимых испытаний вычисляется
по формуле
?
1 2 3
вероятность появления
события А более m раз
вероятность появления
события А m раз
вероятность появления
события А не менее m раз
12. Наивероятнейшее значение числа появлений события А находят по
формуле:
1 2 3
m0 = (n + 1)p
m0 = [(n + 1)p]
m0 = [(n – 1)p]
13. Что при проведении повторных независимых испытаний вычисляется
по формуле
, где q = 1 – p?
1 2 3
вероятность появления
события А один раз
вероятность появления
события А n раз
вероятность появления
события А хотя бы один раз
46
14. Что при проведении повторных независимых испытаний вычисляется
по формуле
, где р — вероятность появления события А в каждом
опыте?
1 2 3
количество опытов, которые
нужно произвести для того,
чтобы с вероятностью
не меньшей k утверждать,
что событие А произойдет
хотя бы один раз
количество опытов, которые
нужно произвести для того,
чтобы с вероятностью k
утверждать, что событие А
произойдет хотя бы один раз
количество опытов, которые
нужно произвести для того,
чтобы с вероятность
не меньшей k утверждать,
что событие А произойдет
n раз
15. Когда при повторных независимых испытаниях используется формула
Пуассона?
1 2 3
если m и n большие числа,
p и q не малые, а npq 9
если m и n большие числа,
p и q не малые, а npq 9
если m и n не большие числа
16. Когда при повторных независимых испытаниях используется формула
Муавра — Лапласа?
1 2 3
если m и n большие числа,
p и q не малые, а npq 9
если m и n большие числа,
p и q не малые, а npq 9
если m и n не большие числа
17. Какая формула интерпретирует формулу Пуассона?
1 2 3
,
где х =
pn(m1,m2) =
,
где х1 =
, х2 =
=
, где
18. Какая формула интерпретирует локальную теорему Лапласа?
1 2 3
,
где х =
pn(m1,m2) =
,
где х1 =
, х2 =
=
, где
47
19. Какая формула интерпретирует интегральную теорему Лапласа?
1 2 3
,
где х =
pn(m1,m2) =
,
где х1 =
, х2 =
=
, где
20. Как называется функция
?
1 2 3
функция Бернулли
функция Пуассона
функция Лапласа
3.3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Статистикой установлено, что из каждой 1 000 родившихся детей 485
девочек. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди детей есть три
девочки.
Решение. Вероятность рождения девочек p = 0,485. Тогда по формуле Бер-
нулли:
=
= 0,3.
2. Что вероятнее выиграть у равносильного противника — три партии из
четырех или пять партий из восьми?
Решение. Соперник равносильный, значит p = 0,5.
;
Сравнивая, видим, что
, значит вероятнее выиграть три партии
из четырех.
48
3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,8. Какова вероят-
ность того, что 10 выстрелов дадут шесть попаданий?
Решение.
p = 0,8;
=
=
0,262 * 0,0016 = 0,088.
4. Устройство состоит из 10 блоков, надежность каждого 0,8. Найти веро-
ятность того, что откажут меньше трех блоков устройства.
Решение.
=
=
+
=
= 1 * 1 * 45 * 0,64 *
= (+ 8 * 0,2 + 45 * 0,64 =
= 0,0000026 * (0,04 + 1,6 + 28,8) = 0,00008.
5. В некотором технологическом процессе 80 % продукции высшего каче-
ства. Найти наиболее вероятное число продукции высшего качества среди
250 изделий.
Решение.
n = 250, p = 0,8,
значит
m0 = [(n + 1)p] = [(250 + 1)0,8] =
= 251 * 0,8 = [200,8] = 200.
6. За час автомат изготавливает 20 деталей. Вероятность брака 0,01. За
сколько часов вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали бу-
дет не меньше 95 %?
Решение. Количество n опытов, которые нужно произвести для того, чтобы
с вероятностью не меньшей k утверждать, что событие А произойдет хотя бы
)2()1()0()3(
10101010
PPPkP
49
один раз, вычисляется по формуле:
, где р — вероятность появления
события А в каждом опыте.
Значит
=
.
Как только будет изготовлено 296 деталей, то среди них будет хотя бы одна
бракованная деталь. За час автомат изготавливает 20 деталей, значит хотя бы
одна бракованная деталь будет через t =
часа.
7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,4. Сколько нужно
сделать выстрелов, чтобы вероятность одного попадания была не меньше 0,9?
Решение. Пусть событие А = «при n выстрелах будет одно попадание», то-
гда р(А) = 0,9.
, значит 0,9
1 –
. Решаем уравнение: 0,6
п
0,1, лога-
рифмируя по основанию 10, , так как , то
.
Нужно сделать пять выстрелов.
8. Напечатано 100 000 экземпляров книг. Вероятность неправильного бро-
шюрования 0,0001. Найти вероятность того, что тираж имеет пять бракованных
книг.
Решение. Брошюрование каждой книги — испытание, где n = 100 000, р =
0,0001, m = 5. По формуле Бернулли будет сложно посчитать. Воспользуемся
формулой Пуассона (мы рассматриваем редкое событие
npq 9);
= 100 000 * 0,0001 = 10;
=
=
=
0,037.
9. Найти вероятность того, что при 6 000 киданиях игральной кости два
очка выпадет 900 раз.
Решение.
n = 6 000, р =
, m = 900.
50
По формуле Бернулли будет сложно посчитать. Воспользуемся формулой
Муавра — Лапласа, так как npq
9):
х =
= –3,46.
смотрим по таблице, это 0,001.
= 0,000034.
10. Завод выпускает 99,2 % стандартных изделий. Какова вероятность
того, что среди 5 000 выбранных наугад изделий бракованных изделий будет
меньше 60?
Решение.
р = 0,008, n = 5 000, q = 0,992, m1 = 0, m2 = 60.
По интегральной теореме Лапласа
х1 =
;
х2 =
;
P
5 000
(0,60) = Ф(х2) – Ф(х1) = …
= Ф(3,17) –Ф(–6,35) = Ф(3,17) + Ф(6,35) =
= находим по таблицам =
= 0,49 + 0,41 = 0,9.
3.4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Устройство состоит из 10 блоков, надежность каждого 0,8. Найти веро-
ятность того, что откажут два блока устройства.
2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,6. Какова вероят-
ность того, что восемь выстрелов дадут пять попаданий?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]