Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей для студентов гуманитарных специальностей. Учебное пособие
.pdf
21
р(АВ) = р(А)р(В / А) или р(АВ) = р(В)р(А / В).
Легко заметить, что если события А и В независимые, то р(В / А) = р(В), а
значит р(АВ) = р(А)р(В).
События А1, А2, … Аn называются независимыми в совокупности, если ве-
роятность появления каждого из них не зависит от появления остальных. Для них
р(А1 * А2 * … * Аn) = р(А1) * р(А2) * … (р(А
n
).
2.2. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1. По классическому определению вероятности события р(А) =
, где m —
число:
1 2 3
элементов в множестве А
случаев, благоприятных
событию А
возможных случаев
испытания
2. По статистическому определению вероятности
, где
n — количество:
1 2 3
появлений события А
в серии испытаний
случаев, благоприятствующих
событию А
испытаний в данной серии
3. События А и В называются несовместными, если:
1 2 3
ни одно из них
не появляется в результате
испытания
появляются оба события
в результате испытания
появление одного из них
исключает появление
другого в одном
и том же испытании
4. Событие
называется противоположным к событию А, если:
1 2 3
событие
появляется
вместе с событием А
события
и А появляются
друг за другом
события
и А образуют
полную группу
несовместных событий
22
5. Суммой событий А и В называется событие, состоящее в:
1 2 3
одновременном появлении
событий А и В
появлении одного
из событий А или В
появлении хотя бы одного
из событий А или В
6. Произведением событий А и В называется событие, состоящее в:
1 2 3
одновременном появлении
событий А и В
появлении одного
из событий А или В
появлении хотя бы одного
из событий А или В
7. Если вероятность появление одного из событий зависит от появления
другого события, то эти события называют:
1 2 3
выполнимыми
зависимыми
благоприятствующими
8. Если А и В совместные события, то:
1 2 3
р(А + В) = р(А) + …
… + р(В) + р(АВ)
р(А + В) = р(А) + р(В)
р(А + В) = …
… = р(А) + р(В) – р(АВ)
9. Если А и В несовместные события, то:
1 2 3
р(А + В) = р(А) + …
… + р(В) + р(АВ)
р(А + В) = р(А) + р(В)
р(А + В) = …
… = р(А) + р(В) – р(АВ)
10. События А и В называются зависимыми, если:
1 2 3
в результате опыта
они одновременно
появляются
они могут появиться
в результате одного
и того же опыта
появление одного из них
влияет на вероятность
появления другого
23
11. Если А и В независимые события, то вероятность их произведения вы-
числяется по формуле:
1 2 3
р(АВ) = р(А)р(В / А)
р(АВ) = р(А)р(В)
р(АВ) = р(А)р(А / В)
12. Если А и В зависимые события, то вероятность их произведения вычис-
ляется по формуле:
1 2 3
р(АВ) = р(А)р(В / А)
р(АВ) = р(А)р(В)
р(АВ) = р(А)р(А / В)
13. Вероятность события А при условии, что событие В уже произошло,
можно найти по формуле:
1 2 3
р(А / В) =
р(А / В) =
р(А / В) =
14. Если события А и В независимы, то условная вероятность события А,
при условии, что В произошло, равна:
1 2 3
р(А / В) = р(А)
р(А / В) = р(В)
р(А / В) = р(АВ)
15. Если р(А + В) = р(А) + р(В), то события А и В:
1 2 3
зависимы
несовместимы
совместны
16. Два единственно возможных события, образующих полную группу
несовместных событий, называют:
1 2 3
зависимыми
противоположными
совместными
24
17. Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В уже
произошло, называется:
1 2 3
совместная вероятность
вычисленная вероятность
условная вероятность
18. Для независимых событий, когда появление одного события не меняет
вероятности появления другого, справедливо равенство:
1 2 3
р(АВ) = р(А)р(В / А)
р(А) + р(
) = 1
р(А / В) = р(А)
19. Формула р(АВ) = р(А)р(В / А) интерпретирует:
1 2 3
теорему умножения
вероятностей
закон вычисления
условной вероятности
теорему сложения
вероятностей
20. Если р(АВ) = р(А)р(В), то события А и В:
1 2 3
зависимы
несовместимы
независимы
2.3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Из орудия стреляют дважды. Событие А = «цель поражена при первом
выстреле», событие В = «цель поражена при втором выстреле». Каким будет событие А + В?
Решение. Событие А + В = «цель поражена».
2. В ящике находятся детали, изготовленные разными заводами, причем,
событие А = «деталь изготовлена на заводе № 1», а событие В = «деталь стандартная». Каким будет событие АВ?
Решение. Событие АВ = «стандартная деталь, изготовленная на заводе 1».
25
3. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один
шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый или черный?
Белый, синий или черный?
Решение.
n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70;
р(Б + Ч) = р(Б) + р(Ч) =
;
р(Б + Ч + С) = 1 – р(К) = 1 –
.
4. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле поражает цель, равна
0,9. Стрелок провел три выстрела. Найти вероятность того, что все три выстрела
попали в цель.
Решение. Вероятность попадания при одном выстреле Р(А) = 0,9.
Проведено три независимых испытания, значит искомая вероятность
р(ААА) = 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,729.
5. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудия
соответственно равны р1 = 0,7, р2 = 0,8. Найти вероятность попадания в цель при
одном залпе хотя бы одним из орудий.
Решение. А = «попадание из первого орудия» и В = «попадание из второго
орудия», тогда
р(хотя бы одно попадание) = р(А) + р(
В) + р(АВ) =
= 0,7 * 0,2 + 0,3 * 0,8 + 0,7 * 0,8 = 0,14 + 0,24 + 0,56 = 0,94.
Задачу можно было решить и иначе.
По теореме сложения вероятностей для совместных событий
р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,7 * 0,8 = 0,94.
Задачу можно было решить и иначе:
р(
) = 1 – р(А) = 1 – 0,7 = 0,3;
р(
) = 1 – 0,8 = 0,2.
26
Вероятность того, что при одном залпе оба орудия не попали в цель
р(
) = 0,3 * 0,2 = 0,06, а тогда р(А + В) = 1 – 0,06 = 0,94.
6. В первом ящике два белых и 10 черных шаров. Во втором ящике восемь
белых и четыре черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?
Решение. События взятия белого шара из разных ящиков независимые,
значит
р(АВ) = р(А) * р(В) =
.
7. Известно, что в стране 70 % людей курят, 40 % болеют раком легких,
25 % курят и болеют раком легких. Найти вероятность того, что 1) человек не
курит, но болеет раком легких, 2) курит, но не болеет раком легких, 3) не курит
и не болеет раком легких.
Решение. Пусть А = «человек курит», В = «человек болеет раком легких»,
тогда Р(А) = 0,7, Р(В) = 0,4, Р(АВ) = 0,25.
1) р() = 0,3 * 0,4 = 0,12;
2) р(А
) = 0,7 * 0,6 = 0,42;
3) р(
) = 0,3 * 0,6 = 0,18.
8. Брошен игральный кубик. Рассматриваются два события: А = «выпало
четное число очков», В = «выпало число очков, кратное трем». Найти вероятность события С = «выпало число очков, кратное 2 или 3».
Решение.
р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ) =
+
.
(число 6 делится и на два, и на три, т.е. события А и В совместные).
9. Покупатель купил 3 красных яблока и 7 зеленых яблок. Затем из пакета
достает по очереди наудачу один и второй фрукт. Найти вероятность того, что
он достал красное и зеленое яблоки.
Решение. Вероятность того, что первое яблоко было красным
Р(А) =
.
27
Вероятность того, что после красного он взял зеленое яблоко Р(В / А) =
.
Вероятность того, что он достал красное и зеленое яблоки:
р(АВ) = р(А)р(В / А) =
.
Можно и наоборот:
Р(В) =
Р(А / В) =
; р(АВ) = р(В)р(А / В = .
.
10. В ящике шесть белых и восемь черных шаров. Из ящика вынули шар,
затем второй шар, не возвращая первый в ящик. Найти вероятность того, что оба
шара белые.
Решение. Вероятность того, что первый шар был белым Р(А) =
.
Вероятность того, что после белого вынут опять белый шар
Р(В / А) =
.
Вероятность того, что оба шара белые
р(АВ) = р(А)р(В / А) =
.
11. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель,
равна 0,4. Сколько выстрелов должен провести стрелок, чтобы с вероятностью
не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз.
Решение. Пусть искомое событие А = «при n выстрелах стрелок попал в
цель хотя бы один раз», события о попадании при первом, втором … выстреле
независимы, значит, р(А) = 1 – (1 – 0,4)n. По условию задачи 1 – 0,6n > 0,9 или
0,6n < 0,1. Решая можно найти n > 4,5, т.е. нужно стрелять хотя бы 5 раз.
12. Какова вероятность того, что при десятикратном бросании монеты герб
выпадет 10 раз?
Решение. События независимы в совокупности и каждое из них имеет ве-
роятность 0,5. Значит
р(А1 * А2 * … * А10) = р(А1) * р(А2) * … (р(А10) = (0,5)
10
= 0,001.
28
2.3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Вероятность того, что день будет дождливым 0,7. Найти вероятность
того, что день будет ясным.
2. Вероятность получить SMS в течении часа равна 0,25. Найти вероят-
ность того, что на протяжении часа SMS не придёт.
3. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совместного по-
явления герба и 6 очков.
4. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8 стан-
дартных, во втором — 7, в третьем — 9. Из каждого ящика наудачу берется одна
деталь. Найти вероятность того, что все три вынутые детали стандартные.
5. Найти вероятность совместного появления герба при одновременном
бросании двух монет.
6. Предприятие изготавливает 95 % стандартных изделий, причем из них
86 % — первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие будет
первого сорта.
7. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого орудия 0,8, вто-
рого — 0,7, третьего — 0,9. Найти вероятность попадания при одном залпе хотя
бы одним из этих орудий.
8. В урне три белых и три черных шара. Вынимают дважды по одному
шару, не возвращая их в урну. Найти вероятность появления белого шара при
втором испытании, если первым был извлечен черный шар.
9. В урне три белых и семь черных шаров. Наудачу вынимают два шара.
Известно, что первый был черным. Какова вероятность того, что вынули два чер-
ных шара?
10. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на области. Вероятность по-
падания в первую область равна 0,45, а вероятность попадания во вторую об-
ласть — 0,35. Найти вероятность того, что стрелок попадет или в первую, или во
вторую область.
29
11. В каждом из трех ящиков находится по 10 предметов, причем в первом
ящике два предмета бракованные, во втором ящике три предмета бракованные,
в третьем ящике один предмет бракованный. Из каждого ящика вынимают по
одной детали. Найти вероятность того, что среди вынутых трех предметов есть
хоть один стандартный.
12. В урне пять белых, четыре черных, три синих шара. Три раза извлекают
по одному шару, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что шары
появлялись в последовательности: белый, черный, синий.
13. В урне пять белых, четыре черных, три синих шара. Три раза извлекают
по одному шару, возвращая его в урну. Найти вероятность того, что шары появ-
лялись в последовательности: белый, черный, синий.
14. Монету подбросили дважды. Найти вероятность того, что герб выпал
хотя бы один раз.
15. В урне 5 красных и 7 синих шаров. Из урны наудачу вынимают по од-
ному шару, не возвращая их в урну. Какова вероятность того, что вторым будет
вынут красный шар, если первый был синим?
16. Вероятность поражения цели первым стрелком 0,7, вторым — 0,8, тре-
тьим — 0,9. Найти вероятность того, что при одновременном выстреле всех
стрелков цель будет поражена хотя бы одним стрелком.
17. В студии три камеры, причем вероятность того, что камера включена
0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.
18. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Наудачу берется один шар и
не возвращается в урну. Найти вероятность того, что шары будут вынуты в по-
следовательности: белый, черный, синий.
19. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух
независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления этого собы-
тия в одном испытании.
30
20. Вероятность того, что при четырех выстрелах будет хотя бы одно по-
ражение цели 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
вариант
номера заданий
1
1, 5, 10, 14, 18
2
2, 6, 11, 13, 17
3
3, 7, 12, 16, 18
4
4, 8, 13, 15, 17
5
5, 9, 14, 15, 19
6
6, 10, 13, 16, 20
7
5, 7, 12, 15, 17
8
6, 8, 11, 14, 18
9
7, 9, 10, 12, 19
10
2, 8, 10, 13, 20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]