Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей для студентов гуманитарных специальностей. Учебное пособие
.pdf
71
Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется мате-
матическое ожидание величины и обозначается .
Читается «мю».
Известно, что D(X) = М(х2) – (М(х))
2
, а тогда
, так как
)(
1
ХМ
,
)(
2
2
ХМ
. По определению D(X) = M((X – M(X))2), значит
)(
2
XD
.
Кроме того,
0
1
.
Начальные и центральные моменты случайной величины позволяют лучше
учитывать влияние на математическое ожидание тех значений случайной величины, которые большие и имеют малую вероятность, т.е. моменты позволяют
находить ошибочные значения случайной величины.
Например, мы получили, что
2
значительно больше
1
. это означает,
что значение Х = 100 можно считать ошибочным.
Отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квад-
ратического отклонения называется асимметрией
3
3
s
. Если асимметрия
равна нулю, то случайная величина распределена симметрично относительно ее
математического ожидания. Если асимметрия положительна, то большая часть
случайной величины находится слева от математического ожидания, а если от-
рицательна, то справа.
Эксцессом случайной величины Х называется число, которое находится по
формуле
3
4
4
Е
.
6.2. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1. Значение случайной величины, которое имеет наибольшую вероятность,
называют:
1
2
3
медианой
модой
дисперсией
2. Значение случайной величины, которое удовлетворяет равенству
Р(Х < Me) = P(X > Me) называют:
1
2
3
медианой
модой
дисперсией
72
3. Значение непрерывной случайной величины, при котором плотность
распределения вероятностей
имеет наибольшее значение, называют:
1
2
3
медианой
модой
дисперсией
4. Сумма попарных произведений всех возможных значений случайной ве-
личины на соответствующие им вероятности это:
1
2
3
дисперсия дискретной
случайной величины
математическое ожидание
дискретной случайной
величины
математическое ожидание
непрерывной случайной величины
5. Если f(х) — плотность распределения случайной величины, то с помо-
щью
вычисляется:
1
2
3
дисперсия дискретной
случайной величины
математическое ожидание
дискретной случайной
величины
математическое ожидание
непрерывной случайной величины
6. Математическое ожидание постоянной величины равно:
1
2
3
нулю
ее дисперсии
этой постоянной
7. Какая из формул говорит о том, что постоянный множитель можно вы-
носить за знак математического ожидания?
1
2
3
М(СХ) = СМ(Х)
М(Х) = СМ(СХ)
М(СХ) = М(Х)
8. Математическое ожидание числа появления события в одном испытании
равно вероятности этого события, а в n независимых испытаниях равно:
1
2
3
М(х) = np
М(х) = np
2
М(х) =
p
73
9. Среднее значение случайной величины с учетом вероятностей его воз-
можных значений характеризует:
1
2
3
дисперсия
медиана
математическое ожидание
10. Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины
от ее математического ожидания называется:
1
2
3
дисперсией
средним квадратическим
отклонением
центральным моментом
11. Для непрерывной случайной величины
это:
1
2
3
дисперсия
среднее квадратическое
отклонение
центральный момент
12. Укажите формулу, которая соответствует теореме «Дисперсия случай-
ной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания»:
1 2 3
D(X) = М(х) – (М(х))
2
D(X) = М(х2) – (М(х))
2
D(X) = М(х2) – (М(х))
13. Какая из формул верная?
1 2 3
D(C) = С
D(cx) = c2D(x)
D(cx) = cD(x2)
14. По какой формуле можно найти дисперсию появлений события А при
n независимых испытаниях
1 2 3
D(x) = np
D(x) = npq
D(x) = nq
74
15. Корень квадратный из ее дисперсии это:
1
2
3
асимметрия
среднее квадратическое
отклонение
центральный момент
16. Случайная величина чаще всего принадлежит интервалу
(М(Х) – где :
1
2
3
асимметрия
среднее квадратическое
отклонение
центральный момент
17. Математическое ожидание величины
называют:
1
2
3
асимметрией
случайной величины
начальным моментом
порядка k
центральным моментом порядка k
18. Математическое ожидание величины
называют:
1
2
3
асимметрией
случайной величины
начальным моментом
порядка k
центральным моментом порядка k
19. Если большая часть случайной величины находится слева от математи-
ческого ожидания, то асимметрия:
1
2
3
нулевая
отрицательная
положительная
20. Для случайной величины число, которое находится по формуле
3
4
4
Е
, называется:
1
2
3
асимметрией
эксцессом
моментом
75
6.3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Найти моду и медиану дискретной случайной величины Х, если задан
закон ее распределения:
Х
0 1 2 3 4 5 6
Р(хі)
64
1
4
1
8
1
16
1
32
1
2
1
64
1
Решение. Наибольшая вероятность
соответствует значению случайной
величины 5, значит М
0
= 5. Ме = 4,5, так как вероятности
Р(Х < 4,5) = + + + + =
и P(X > 4,5) = + = почти равны.
2. Найти математической ожидание дискретной случайной величины, ко-
торая задана своим законом распределения:
Х
0 1 2 3 4 5 6
Р(хі)
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
1
64
1
Решение.
= 0 * + 1 * + 2 * + …
.. + 3 * + 4 * + 5 * + 6 * = .
3. Найти математической ожидание дискретной случайной величины, ко-
торая задана своим законом распределения:
Х
82
85
88
Р
0,5
0,2
0,3
Решение. Облегчим вычисления, уменьшив значения случайной величины
на 80:
641418116
1
32
1
64
30
2
1
64
1
64
33
214
181
16
1
32
1
64164164
63
76
Х
2 5 8 Р 0,5
0,2
0,3
М(Х + 80) = М(Х) + М(80) = 2 * 0,5 + 5 * 0,2 + …
… 8 * 0,3 + 80 = 1 + 1 + 2,4 + 80 = 84,4.
4. Найти математическое ожидание выпадения суммы очков на двух иг-
ральных кубиках.
Решение. Так как ряды распределения для первого и второго кубика оди-
наковы, то
Х або У
1 2 3 4 5
6
р
М(Х) = М(У) = 1 * + 2 * + 3 * + 4 * + 5 * + 6 * = ;
М(Х) + М(У) = + = 7.
5. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия равна 0,4. Найти
математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 50
выстрелов.
Решение.
М(х) = np = 50 * 0,4 = 20.
6. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной ве-
личины, которая задана законом распределения:
Х
1 2 5
Р(х)
0,3
0,5
0,2
Решение.
М(х) = 1 * 0,3 + 2 * 0,5 + 5 * 0,2 = 2,3.
61616161616161616161616
127
272
7
77
Добавим строки в закон распределения:
Х
1
2
5
Р(х)
0,3
0,5
0,2
Х – М(х)
1 – 2,3 = –1,3
–0,3
2,7
(Х – М(х))
2
(–1,3)2 = 1,69
0,09
7,29
D(х) = 1,69 * 0,3 + 0,09 * 0,5 + 7,29 * 0,2 = 2,01;
= =1,42.
Наиболее вероятными будут значения из интервала
(2,3 – 1,42 ; 2,3 + 1,42) = (0,88 ; 3,72).
7. Используя необходимую теорему, найти дисперсию случайной вели-
чины, которая задана законом распределения:
Х
1 2 5
Р(х)
0,3
0,5
0,2
Решение.
М(х) = 1 * 0,3 + 2 * 0,5 + 5 * 0,2 = 2,3.
Добавим строки в закон распределения:
Х
1
2
5
Р(х)
0,3
0,5
0,2
Х
2
(1)2=1
4
25
D(х) = 1 * 0,3 + 4 * 0,5 + 25 * 0,2 – (2,3)2 = 7,3 – 5,29 = 2,01.
8. Произведено 100 выстрелов из орудия. Вероятность попадания в цель
при одном выстреле 0,6. Найти интервал вероятнейшего числа поражений цели.
Решение.
М(х) = np = 100 * 0,6 = 60;
D(х) = npq = 100 * 0,6 * 0,4 = 24;
=4,9;
(60 – 4,9 ; 60 + 4,9) = (55,1 ; 64,9).
78
Значит возможно 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64 попадания.
9. Найти начальный и центральный моменты второго порядка случайной
величины Х, если она задана законом распределения:
Х
1 2 5
Р(х)
0,3
0,5
0,2
Решение.
.
Х
1 2 5
Р(х)
0,3
0,5
0,2
1 4 25
0,3 * 1 + 0,5 * 4 + 0,2 * 25 = 0,3 + 2 + 5 = 7,3;
.
Х
1 2 5
Р(х)
0,3
0,5
0,2
М(х) = 1 * 0,3 + 2 * 0,5 + 5 * 0,2 = 0,3 + 1 + 1 = 2,3.
Х
1 2 5
Р(х)
0,3
0,5
0,2
1–2,3 = –1,2
2–2,3 = –0,3
5–2,3 = 2,7
(X–M(X))2
1,44
0,09
7,29
= 1,44 * 0,3 + 0,09 * 0,5 + 7,29 * 0,2 =
= 0,432 + 0,045 + 1,458 = 1,935.
10. Найти начальный моменты второго порядка дискретной случайной ве-
личины, которая задана своим законом распределения:
Х
1 2 5
100
Р(х)
0,6
0,2
0,19
0,01
79
Решение.
.
Х
1 2 5
100
Р(х)
0,6
0,2
0,19
0,01
1 4 25
10 000
0,6 * 1 + 0,2 * 4 + 0,19 * 25 +
+ 0,01 * 10 000 = 0,6 + 0,8 + 4,75 + 100 = 106,15.
11. Найти асимметрию и эксцесс случайной величины, заданной рядом
распределения:
Х
2 3 4
Р(х)
0,4
0,1
0,5
Решение. Асимметрия: . Эксцесс .
Найдем сначала нужные математические ожидания:
Х
2 3 4
Р(х)
0,4
0,1
0,5
Х
2
4 9 16
М(х) = 2 * 0,4 + 3 * 0,1 + 4 * 0,5 = 0,8 + 0,3 + 2 = 3,1;
М(х
2
) = 4 * 0,4 + 9 * 0,1 + 16 * 0,5 = 1,6 + 0,9 + 8 = 10,5;
D(X) = М(х2) – (М(х))2 = 10,5 – 3,12 = 10,5 – 9,61 = 0,89;
= = = 0,94;
.
Х
2 3 4
Р(х)
0,4
0,1
0,5
Х – м(х)
2 – 3,1 = –1,1
3 – 3,1 = –0,1
4 – 3,1 = 0,9
–1,331
–0,001
0,729
3
3
s
3
4
4
Е
80
0,4 – 0,001 * 0,1 + 0,729 * 0,5 =
= –0,5324 – 0,0001 + 0,3795 = –0,153.
=
большая часть случайной величины
находится справа от математического ожидания.
.
Х
2 3 4
Р(х)
0,4
0,1
0,5
Х – м(х)
2 – 3,1 = –1,1
3 – 3,1 = –0,1
4 – 3,1 = 0,9
1,4641
0,0001
0,6561
…
… = 1,4641 * 0,4 + 0,0001 * 0,1 + 0,6561 * 0,5 = …
… = 0,58564 + 0,00001 + 0,32805 = 0,9137;
=
– 3 = 1,17 – 3 = –1,83.
12. Найти числовые характеристики случайной величины Х, которая за-
дана функцией распределения
.
Решение. Сначала найдем дифференциальную функцию распределения,
т.е. плотность вероятности
f
=
.
Теперь найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадрати-
ческое отклонение:
3
3
s
3
4
4
Е
3
4
4
Е
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]