Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей для студентов гуманитарных специальностей. Учебное пособие
.pdf
51
3. В урне 20 белых и 5 черных шаров. Последовательно вынимают шесть
шаров, причем после каждого выбора шара его возвращают в урну. Найти веро-
ятность того, что среди вынимаемых шести шаров будет ровно четыре белых.
4. У контролера 8 изделий и известно, что 90 % изделий стандартны. Найти
вероятность того, что после проверки всех изделий контролер обнаружит брако-
ванных меньше двух.
5. Партия изделий содержит один процент брака. Каков должен быть
объем выборки, чтобы с вероятностью 95 % встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие?
6. База снабжает 10 потребителей и от каждого может поступить заявка с
вероятностью 0,4. Найти наивероятнейшее число заявок в день.
7. Вероятность изготовления стандартного изделия 0,8. Сколько нужно
сделать взять изделий, чтобы с вероятностью 95 % утверждать, что там есть одно
бракованное изделие?
8. Известно, что фабрика выпускает 75 % изделий высшего сорта. Найти
наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 150 изделий.
9. По условиям выпуска лотереи известно, что выигрывает
выпущенных
билетов. Какова вероятность того, что из 200 купленных билетов выиграет пять?
10. Вероятность изготовления бракованного изделия 0,02. Найти вероят-
ность того, что среди 100 изделий будет три бракованных.
11. Игральную кость бросают 80 раз. Определить вероятность того, что
цифра три появится 20 раз.
12. Выпуск прибора высшего качества характеризуется вероятностью 0,95.
Определить вероятность того, что среди 1 000 выбранных наугад изделий бракованных изделий будет меньше 50?
13. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд четыре шара, при-
чем каждый вынутый шар возвращался в урну перед извлечением следующего
52
шара. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров будет ровно два
белых?
14. Вероятность появления некоторого события А равна 0,4. Какова веро-
ятность того, что при 10 испытаниях событие А произойдет не более трех раз?
15. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет
три девочки и два мальчика.
16. Монета подбрасывается восемь раз. Найти вероятность того, что шесть
раз она упадет гербом вверх.
17. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. Учитель задал три вопроса и на
каждый вопрос ответил один ученик. Какова вероятность того, что отвечали два
мальчика и одна девочка?
18. Игральный кубик подбрасывают 35 раз. Каково наивероятнейшее
число появления грани с единицей?
19. Изделия содержат 5 % брака. Найти вероятность того, что среди пяти
выбранных изделий нет бракованных.
20. Найти вероятность того, что при 6 000 бросаний игрального кубика
грань с цифрой два выпадет 900 раз.
вариант
номера заданий
1
1, 5, 10, 14, 18
2
2, 6, 11, 13, 17
3
3, 7, 12, 16, 18
4
4, 8, 13, 15, 17
5
5, 9, 14, 15, 19
6
6, 10, 13, 16, 20
7
5, 7, 12, 15, 17
8
6, 8, 11, 14, 18
9
7, 9, 10, 12, 19
10
2, 8, 10, 13, 20
53
5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
5.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Случайная величина — это одно из основных понятий теории вероятностей. Случайной величиной называют такую величину, которая в результате ис-
пытания может принимать одно и только одно числовое значение из возможных
значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин, которые зара-
нее не могут быть учтены.
Случайные величины бывают дискретные и непрерывные. Дискретной
случайной величиной называют такую величину, которая с определенными ве-
роятностями может принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга
значения. Этих значений может быть конечное или бесконечное число.
Примером дискретной случайной величины может быть число родившихся
мальчиков из 50 новорожденных в некотором родильном доме. Эта случайная
величина, которая может принимать одно из следующих значений: 0, 1, 2, …, 50.
Так как дискретная случайная величина может принимать изолированные
друг от друга значения, то эти значения можно пронумеровать. Поэтому случай-
ные величины обозначают большими буквами, а их возможные значения маленькими буквами с индексом, например, Х: х1, х2,…,х
п
.
Непрерывной случайной величиной называют такую величину, которая с
определенными вероятностями может принимать все значения из некоторого
промежутка. Число значений непрерывной случайной величины бесконечно, так
как в любом промежутке имеется бесконечное число точек.
Примером непрерывной случайной величины может быть расстояние, ко-
торое пролетит снаряд при выстреле из орудия. Эта случайная величина может
принимать одно из значений из некоторого интервала (а ; в).
Для полной характеристики случайной величины нужно указать не только
ее возможные значения, а и закон, по которому находят вероятности каждого
значения. Запись, например, р(Х = 3) = 0,2 для случайной величины означает,
что случайная величина Х принимает значение три с вероятностью 0,2.
Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень всех ее значений с их вероятностями. Самой простой формой закона распределения дискретной случайной величины является ряд распределения, т.е.
таблица, в которой указаны в первой строке всевозможные значения случайной
величины, а во второй строке их вероятности, причем значения случайной вели-
чины располагают в порядке возрастания.
54
Х
х1 х2 х3 … х
п
Р(Х)
р(х1)
р(х2)
р(х3)
…
р(хп)
Так как дискретная случайная величина в результате испытания может
принять только одно значение, значит события А = «случайная величина Х примет значение х
1
», В = «случайная величина Х примет значение х2», …, М = «слу-
чайная величина Х примет значение х
n
» образуют полную группу несовместных
событий и сумма их вероятностей равна единице, т.е.
р(х1) + р(х2) + … + р(хп) =
.
Закон распределения дискретной случайной величины можно представить
графически многоугольником распределения или полигоном, если на оси абсцисс
изобразить значения этой величины, а на оси ординат — значения их вероятно-
стей и полученные точки соединить прямыми линиями. График распределения
дискретной случайной величины (многоугольник, полигон) удобно строить ис-
пользуя Excel.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р. Можем найти закон распределения
вероятностей случайной величины Х — число появлений события А в n независимых испытаниях. Значениями этой величины могут быть числа:0, 1,2, ..., n. А
их вероятности можно найти по формуле Бернулли
p
n
(k) =
.
55
Этот закон называют биномиальным законом распределения дискретной
случайной величины.
Если вероятности значений случайной величины вычисляются с помощью
формул Пуассона pn(k) =
, то закон распределения случайной
величины называют законом Пуассона.
Функцией распределения случайной величины называют функцию, кото-
рая для каждого значения случайной величины показывает вероятность того, что
случайная величина принимает значение меньшее заданного, т.е.
.
Понятно, что 0.
Функцию распределения часто называют накопительной или интеграль-
ной. С ее помощью можно найти с какой вероятностью случайная величина по-
падает в некоторый наперед заданный интервал. Для этого находят приращение
функции распределения на интересующем интервале, т.е. р(
.
Непрерывные случайные величины не могут быть заданы с помощью ряда
распределения вероятностей. Зависимость значений случайных величин и их ве-
роятностей можно задать с помощь функции распределения вероятностей
. Производная от функции распределения называется плотно-
стью распределения вероятностей . а тогда
.
Понятно, что функцию
называют интегральной функцией распределения,
а функцию
— дифференциальной функцией распределения.
Вероятность того, что значение, принятое случайной величиной Х, попа-
дает в промежуток (а; b) , определяется равенством р(а < X < b) =
.
График функции f(x) называется кривой распределения. Геометрически ве-
роятность попадания случайной величиной Х в промежуток (а ; b) равен площади
соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми х = а, х = b.
56
Непрерывную случайную величину (для облегчения работы) часто приво-
дят к дискретной случайной величине, разделив промежуток значений случайной величины на равные участки и взяв на каждом участке значение вероятности
в одной из точек.
5.2. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1. Отношение числа благоприятствующих событию случаев к их общему
числу называется:
1 2 3
частотой данного события
относительной частотой
данного события
вероятностью
данного события
2. В формуле полной вероятности события Н
1
, Н2,…, Н
n
называются:
1 2 3
условными вероятностями
случаями
гипотезами
3. Величину, которая в результате испытания может принимать одно и
только одно числовое значение из возможных значений, заранее неизвестное и за-
висящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены, называют:
1 2 3
вероятной величиной
случайной величиной
дискретной величиной
4. Случайная величина, которая с определенными вероятностями может
принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга значения, называется:
1 2 3
вероятной
непрерывной
дискретной
5. Значений дискретной случайной величины может быть:
1 2 3
только конечное число
бесконечное число
конечное
или бесконечное число
57
6. Случайную величину, которая с определенными вероятностями может
принимать все значения из некоторого промежутка, называют:
1 2 3
вероятной
непрерывной
дискретной
7. Значений непрерывной случайной величины может быть:
1 2 3
только конечное число
бесконечное число
конечное
или бесконечное число
8. Запись р(Х = 3) = 0,2 для дискретной случайной величины означает, что
случайная величина Х принимает значение:
1 2 3
три с вероятностью 0,2
0,2 с вероятностью р = 3
три
9. Перечень всех значений дискретной случайной величины с их вероятно-
стями называют:
1 2 3
полигоном распределения
законом распределения
рядом распределения
10. Таблица, в которой указаны в первой строке всевозможные значения
случайной величины, а во второй строке их вероятности, причем значения слу-
чайной величины располагают в порядке возрастания, называют:
1 2 3
полигоном распределения
законом распределения
рядом распределения
11. Если на оси абсцисс изобразить значения случайной величины, а на оси
ординат — значения их вероятностей и полученные точки соединить прямыми
линиями то получим:
1 2 3
полигон распределения
закон распределения
ряд распределения
58
12. Если вероятности значений случайной величины вычисляются по фор-
муле Бернулли, то закон ее распределения называют:
1 2 3
законом Бернулли
законом Пуассона
биномиальным
13. Если вероятности значений случайной величины вычисляются с помо-
щью формул Пуассона, то закон распределения случайной величины называют:
1 2 3
законом Бернулли
законом Пуассона
биномиальным
14. Функцию, которая для каждого значения случайной величины показы-
вает вероятность того, что случайная величина принимает значение меньшее за-
данного, называют:
1 2 3
функцией распределения
дифференциальной
функцией
вероятностной функцией
15. Приращение функции распределения на некотором интервале позво-
ляет найти:
1 2 3
вероятность случайной
величины
с какой вероятностью
случайная величина меняется
на заданном интервале
с какой вероятностью
случайная величина попадает
в заданный интервал
16. Функция распределения может принимать значения:
1 2 3
0
0
17. Зависимость значений случайных величин и их вероятностей можно за-
дать с помощь:
1 2 3
функции распределения
вероятностей
ряда распределения
вероятностей
закона распределения
вероятностей
59
18. Производная от функции распределения вероятностей непрерывной
случайной величины называется:
1 2 3
законом распределения
вероятностей
рядом распределения
вероятностей
плотностью распределения
вероятностей
19. Какая функция непрерывной случайной величины называется диффе-
ренциальной?
1 2 3
плотность распределения
вероятностей
ряд распределения
вероятностей
функция распределения
вероятностей
20. Какая функция непрерывной случайной величины называется инте-
гральной?
1 2 3
плотность распределения
вероятностей
ряд распределения
вероятностей
функция распределения
вероятностей
5.3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Условиями лотереи предусмотрено: один выигрыш 1 000 руб., два выиг-
рыша по 500 руб., восемь выигрышей по 100 руб. и 19 выигрышей по 10 руб.
Составить закон распределения дискретной случайной величины, если продано
1 000 билетов.
Решение.
р(100) =
0,001;
р(500) =
0,002;
р(100) =
0,008;
р(10) =
0,019;
р(0 )=
.
60
Можем проверить:
0,001 + 0,002 + 0,008 + 0,019 + 0,97 = 1.
Составим ряд распределения:
Х
0 1 10
50
100
Р(Х)
0,97
0,019
0,008
0,002
0,001
2. Случайная величина Х задана законом распределения:
значения случайной величины
1 3 5 6 7
вероятности
0,1
0,3
0,1
0,4
0,1
Построить полигон распределения случайной величины
.
Решение. Составим ряд распределения случайной величины
:
Х
1 3 5 6 7
1 9 25
36
49
Р(Х)
0,1
0,3
0,1
0,4
0,1
Построим полигон:
3. Монета брошена четыре раза. Построить полигон распределения веро-
ятностей случайной величины Х — число выпадений герба.
Решение. Величина Х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. По формуле
Бернулли найдем вероятности всех значений:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]