Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы металлургии и материаловедения гидродинамика и массообмен в многофазных системах металлургии. Учебное пособие
.pdf
4.1.2. Обтекание твёрдой сферической частицы потоком
реальной жидкости (Re << 1)
Рассмотрим задачу обтекания твёрдой сферической частицы равномерным вдали от неё потоком вязкой несжимаемой жидкости. Она
эквивалентна задаче о движении частицы с постоянной скоростью в
жидкости, неподвижной вдали от частицы.
В процессе решения этой задачи необходимо отделить распределение скоростей и давления в жидкости в окрестностях частицы, а также
силу сопротивления, действующую со стороны жидкости на частицу.
Распределение скоростей необходимо знать для решения задач
тепло- и массообмена между потоком и твердой частицей, распределение давления – для определения результирующей силы сопротивления, а зная силу сопротивления, можно рассчитать скорость
установившегося движения частицы в вязкой жидкости и время пребывания частицы в ней.
Приступим к составлению математической модели изучаемого явления. При Re << 1 обтекание частицы происходит с малой скоростью
(так называемое ползущее движение). При этом велика сила вязкого
трения, но мала сила инерции. В связи с этим в левой части уравнения Навье – Стокса можно не учитывать конвективную составляющую полной производной вектора скорости по времени. Принятое
допущение преобразует уравнение Навье – Стокса из нелинейного в
линейное. Запишем это уравнение в удобной для дальнейших преобразований форме:
Здесь мы предположили, что внешняя массовая сила (сила тяжести), потенциальна и её можно включить в выражение силы давления. Уравнение (4.29), которое называется уравнением Стокса, вместе с уравнением неразрывности
JG
w
w
U P
w
grad .
t
pw
JJG
2
(4.29)
JG
divw (4.30)
0
полностью описывает «ползущее движение» жидкости.
Обозначим через
стему координат, центр которой совпадает с центром частицы, а направление полярной оси с направлением скорости жидкости вдали
от нее. Как отмечалось выше, в этих условиях течение является осе-
r радиус частицы и введём сферическую си-
0
51
симметричным и его параметры являются функциями двух сферических координат: радиуса-вектора
руем граничные условия для системы уравнений.
На поверхности частицы должно выполняться условие прилипания:
G
r
и полярного угла T . Сформули-
JG
.
при
Условия на бесконечности заключаются в том, что поток жидкости вдали от частицы является равномерным. Это обстоятельство
описывается следующим образом:
rr 0w
0
(4.31)
при
Введем в рассмотрение функцию тока\ = \(r, T) и выразим через
нее составляющие скорости жидкости
В случае движения вязкой жидкости закон сохранения импульса
выражается через функцию тока с помощью уравнения
Оператор
r of
w
r
r
2
E в сферической системе координат имеет вид
E
Таким образом, для нахождения поля скоростей жидкости вместо
уравнения Стокса необходимо решить уравнение (4.34) с соответствующими условиями однозначности. Сформулируем последние.
Приступая к решению поставленной задачи, отметим, что согласно (4.33) и (4.31)
при
ww
r
1
2
T
sin
2
wTw w
2
22
w
rr
rr
cos
T
f
w\
;
wT
22
sin 1
w\
0
w
; sinww
w
T
0.\ EE (4.34)
§·
¨¸
wT T wT
sin
©¹
;
0
r
T. (4.32)
Tf
1
w\
Tw
sin
rr
0w\
wT
. (4.33)
(4.35)
.
(4.36)
.
Интегрируя соотношения (4.36) по поверхности сферы, находим,
что
чтобы она обращалась в нуль на оси симметрии. В этом случае
и на поверхности сферы, а граничное условие на поверхности сферы
имеет вид
при
52
const\
при
rr . Обычно функцию тока определяют так,
0
0\
rr
w\
0
w
;
0
r
,0r\T
0
. (4.37)
Из уравнений (4.32) и (4.33) сформулируем граничное условие на
бесконечности
w
22
при
r of
f
sin
\ T. (4.38)
r
2
Вид граничных условий позволяет предположить, что решение
уравнения (4.34) можно представить в виде зависимости
2
sin\ Tfr . (4.39)
В связи с этим определим в явной форме вид функции f(r).
Подставляя (4.39) в уравнение (4.34), записанное в сферической
системе координат, получаем уравнение для определения неизвестной функции :
42
df df df
dr r dr r r
488
42 23 4
dr
, (4.40)
0
общее решение которого имеет вид
где
fCrCrCrCr
(4.41)
,C
,C
C
1,C
1
2
4
42 1
4211
– константы, определяемые из граничных условий.
Из уравнения (4.38) имеем
wr
(4.37) находим
лучаем сле
дующее выражение:
\ T
C
wr r
f
f
1
4
2
ªº
4
§· §·
00
«»
23 sin.
¨¸ ¨¸
«»
©¹ ©¹
¬¼
0C
;
4
3
0
. Таким образом, для функции тока по-
2
rr
rrr
00
w
f
, а из уравнения
C
2
2
§·
¨¸
©¹
2
(4.42)
Отдельные члены этого уравнения описывают, соответственно,
равномерное течение, стоксовское течение и течение от диполя. Завихрённость в потоке генерирует стоксовское течение.
Подставляя (4.42) в формулы (4.33), находим компоненты вектора скорости жидкости:
ªº
w
f
T
w
r
23 cos,
«»
2
«»
¬¼
rr
§·§·
00
¨¸¨¸
rr
©¹©¹
3
(4.43)
53
ªº
w
w
Найдём распределение давления в жидкости у поверхности частицы. Чтобы получить уравнение, выражающее распределение
давления через функцию тока, преобразуем уравнение (4.29) с помощью уравнения неразрывности (4.30). В результате получим
f
T
T
43 sin.
«»
4
«»
¬¼
rr
§·§·
00
¨¸¨¸
rr
©¹©¹
3
(4.44)
где
: – вихрь скорости.
В сферической системе координат вихрь скорости выражается
через функцию тока следующим образом:
тогда из (4.45) имеем
С учётом (4.39) и (4.41) находим значение
2
§·
df f
22212
тогда
\ T T
ECrCr
¨¸
22
dr r
©¹
pp
ww
dp dr d C r C r dr
T PT
r
wwT
TT P T
20 2 sin 20 2 cos .C r Cr d d C r Cr
41 41
grad grad , P :p (4.45)
: \
p
wPw
\
r
wwT
wPw
p
wT T w
2
sin 10 2 sin ,
22
1
sin
T
r
2
r
T
sin
\
sin
10 2 cos
2
,
E
2
E
, (4.46)
2
. (4.47)
E
r
2
E \
:
41
23
41
ªº
¬¼
(4.48)
(4.49)
Подставляя в (4.49) найденные выше значения коэффициентов
3
0 C
и
4
пределения давления:
54
1
rwC
0
f
, получаем следующую формулу для рас-
4
p – давление в невозмущённом потоке.
где
f
Ppp rw
3cos
ff
0
2
T
,
(4.50)
2
r
Остаётся вычислить силу, действующую со стороны жидкости
на частицу. Вследствие симметрии течения, направление этой силы
совпадает с направлением скорости жидкости на бесконечности.
Проекция на полярную ось силы, действующей со стороны потока
жидкости на единицу поверхности частицы (напряжение внешней
поверхностной силы), равна
cos sinW TW T
нт
. Необходимо получить формулы для расчёта нормальных и касательных напряжений,
действующих на элемент поверхности частицы. Для этого воспользуемся обобщенным законом Ньютона.
Согласно обобщённому закону Ньютона нормальная составляю-
щая напряжения поверхностной силы W
W W P
н
p
rr
Радиальная компонента скорости
равна
н
w
w
2
r
. (4.51)
r
w
w
связана с функцией тока \
r
с помощью первой из формул (4.33), а для функции тока используется выражение (4.39). Тогда
f
w
p
W P T
н
4cos
Используя формулы (4.41), и (4.50) получаем окончательно для W
§·
¨¸
w
r
©¹
. (4.52)
2
r
н
после преобразований:
24
W P T pCrCrCr
н
cos 12 6 12
f
41 1
. (4.53)
Выражение для тангенциальной составляющей внешней поверх-
ностной силы в сферической системе координат имеет вид
w
w
r
ww
TT
. (4.54)
w
1
W W P
r
т
§·
T
¨¸
wT w
rrr
©¹
Используя вторую формулу в (4.33), а также (4.41), получаем сле-
дующее выражением для
W
:
т
55
4
6sin
W P T. (4.55)
т
CrC r
41
Результирующая поверхностная сила, действующая на частичку
со стороны потока жидкости, представляет собой интеграл по поверхности частицы:
W TWT S W TWTTT
FdSr d
cos sin 2 cos sin sin
нт нт
³³ ³
(4.56)
W
и
W
Здесь величины
т.е. при
rr. Подставляя (4.53) и (4.55) в (4.56) при 0 rr и вычис-
0
н
вычисляются на поверхности частицы,
т
S
2
0
0
.
ляя интеграл, найдём
Для твёрдой сферической частицы
тельно получаем следующую формулу:
8 SPFC. (4.57)
SP Frw. (4.58)
1
06f
3
1
rwC
0
f
4
и оконча-
Формула (4.58) обычно называется законом Стокса для сопротивления движущейся сферической частички.
Общепринято выражать силы, действующие со стороны жидкости на движущиеся в ней тела, через безразмерный коэффициент
сопротивления C
ствующей на тело, к
екции на плоскость, нормальную к вектору скорости
эта площадь равна
или CX, определяемый как отношение силы, дей-
д
1
2
Sr
2
U w
2
0
и к площади поверхности тела в про-
f
c
JJJG
w
(для сферы
f
). В случае твёрдой сферической частицы,
движущейся в жидкости при малых значениях критерия Рейнольдса,
коэффициент сопротивления рассчитывается по формуле
24
, (4.59)
Re
0
где
Re
2
rw
C
X
1
2
0
f
.
Q
c
F
22
U S
wr
f
c
Если твёрдая частица движется в неподвижной жидкости под
действием силы тяжести с некоторой скоростью
56
u , то при достаточ-
но малых значениях u
сила сопротивления оказывается меньше, чем
сила тяжести (с учётом выталкивающей силы Архимеда). В этом случае частица будет двигаться ускоренно. При увеличении скорости
частицы будет расти и сила сопротивления, и при некотором значении
u
сила сопротивления уравновесит силу тяжести. Начиная с
кр
этого момента, частица будет двигаться с постоянной скоростью, которая называется установившейся (предельной) скоростью падения.
При Re << 1 эту скорость можно вычислить, приравнивая силу, действующую на частицу со стороны жидкости, силе тяжести с учётом
силы Архимеда. В результате получим уравнение для определения и:
4
SP S U U
6
rw r g
сдс
f
00
3
3
,
откуда
2
rg
2
w
f
0
QU
91
U
§·
cc
д
¨¸
©¹
.
(4.60)
Формулы (4.58) и (4.60) получены при условии Re << 1. Однако
сравнение экспериментальных данных с теоретическим расчётом
показывает, что ошибка при определении силы сопротивления по
формуле (4.58) практически незаметна при Re < 0,5. При Re > 0,5
эта формула даёт заниженное значение силы сопротивления, однако
точность остаётся удовлетворительной при Re < 1.
4.1.3. Обтекание капли и маленьких пузырьков газа
при малых значениях критерия Рейнольдса (Re << 1)
Особенность гидродинамики обтекания капель и маленьких пузырьков газа заключается в том, что частицы, расположенные на их
поверхности, под действием сил вязкого трения, создаваемого омывающей жидкостью, приходят в движение и генерируют движение
внутри капли или пузырька.
Рассмотрим установившееся движение капли в другой жидкости. Предполагаем, что две жидкости не смешиваются и что поверхностное натяжение на границе раздела фаз достаточно велико,
чтобы сохранить сферическую форму капли. Сферическая форма
сохраняется, если движение достаточно медленное или если капля
достаточно мала.
57
Предполагаем, что значения критерия Рейнольдса мало (Re << 1)
и для движения жидкостей как вне, так и внутри капли описывается
с помощью уравнения (4.34).
Обозначим через
r радиус капли и введём связанную с каплей
0
сферическую систему координат, центр которой совпадает с центром сферы, а полярная ось имеет направление, противоположное
направлению вектора скорости капли. В этой системе координат
граничные условия на бесконечности имеют вид
1
при
r of
c
22
sin
ur\ T
2
. (4.61)
где и – скорость движения капли.
На поверхности капли должны обращаться в нуль радиальные
компоненты скоростей обеих жидкостей (условие непроницаемости
поверхности раздела). Из этого следует, что
при
при
rr
0
rr 0
0
\
,
0\
c
.
(4.63)
д
(4.62)
Из условия отсутствия на поверхности проскальзывания сред
следует, что на поверхности раздела непрерывны тангенциальные
составляющие векторов скоростей жидкостей снаружи и внутри
капли:
при
rr
w\
0
w\
д
rr
ww
c
. (4.64)
Кроме того, на границе раздела должно оставаться непрерывным
касательное напряжение, т.е.
при
rr
сд
W W. (4.65)
0
тт
С учётом (4.62) и (4.63) условие (4.65) преобразовывается к виду
rr
при
0
ww
P P
сд
rr rr
ww ww
w\
11
§·
¨¸
rr
©¹
с
22
w\
§·
¨¸
д
. (4.66)
©¹
58
Сформулированных граничных условий достаточно для опреде-
ления функций тока
\ и д\
с
. Для нахождения этих функций вос-
пользуемся решением уравнения (4.34), найденным ранее (формулы
4.39 и 4.41). В результате получим
42 12
\ TCr Cr CrC r
\ TCr Cr CrC r
дддд
4211
д
42 12
сссс
4211
с
sin ,
sin .
(4.67)
(4.68)
Определим константы этих уравнений.
Условие (4.61) даёт
с
C
4
0;
при
r of
1
с
Cu
2
2
. (4.69)
Поскольку компоненты скорости жидкости не могут принимать
бесконечные значения в центре капли, будем иметь:
при r = 0
д
C
1
д
0;
0
C . (4.70)
1
Оставшиеся константы уравнений (4.67) и (4.68), а именно
ддсc
;;; ,
CCCC
421 1
найдём с помощью граничных условий (4.62) –
(4.66). Подставляя в эти условия выражения (4.67) и (4.68) для функций тока, получим систему алгебраических уравнений, имеющую
следующее решение:
u
д
C
4
4
P
с
2
r
PP
сд
0
д
;
2
uCP
с
4
PP
сд
;
с
C
1
Таким образом:
\ T
2
§·
ur
3
PP
¨¸
0
4
PP
P
urr
д
4
PP
сд
3
©¹
сд
2
ªº
§· §·
r
c
0
«»
¨¸ ¨¸
rr
«»
сд
00
©¹ ©¹
¬¼
с
C
;
1
42
4
3
ur
P
д
0
PP
сд
2
sin ;
.
(4.71)
(4.72)
59
ªº
2
«»¨¸
ur r
\ T
c
4
§· §·
00
rr
«»
23 sin.
¨¸ ¨¸
rrr
«»
0cɞ 0 ɫɞ
©¹ ©¹
«»
¬¼
§·
2
§·
2
P P
c ɞ
¨¸
3
©¹
¨¸
PP PP
¨¸
¨¸
©¹
P
§·
ɞ
¨¸
©¹
2
(4.73)
ɂɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (4.72) ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɬɟɱɟɧɢɟ ɜɧɭɬɪɢ ɤɚɩɥɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɫɮɟɪɢɱɟɫɤɢɣ ɜɢɯɪɶ ɏɢɥɥɚ. ȿɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ ɬɨɤɚ ɢɦɟɟɬ ɬɚɤɨɣ ɜɢɞ, ɬɨ ɨɛɪɚɳɚɸɬɫɹ ɜ ɧɭɥɶ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɢ ɜɹɡɤɢɟ ɢ ɢɧɟɪɰɢɨɧɧɵɟ ɱɥɟɧɵ ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɯ ɞɜɢɠɟɧɢɹ
ɠɢɞɤɨɫɬɢ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɧɟɬ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɠɢɞɤɨɫɬɢ ɜɧɭɬɪɢ ɤɚɩɥɢ ɦɟɞɥɟɧɧɨɟ. Ⱦɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɢɬɶ, ɱɬɨ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɧɟɛɪɟɱɶ ɢɧɟɪɰɢɨɧɧɵɦɢ ɱɥɟɧɚɦɢ ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɯ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɠɢɞɤɨɫɬɢ ɜɧɟ ɤɚɩɥɢ.
Ʉɚɪɬɢɧɚ ɥɢɧɢɣ ɬɨɤɚ ɤɚɤ ɜɧɟ, ɬɚɤ ɢ ɜɧɭɬɪɢ ɤɚɩɥɢ ɩɨɤɚɡɚɧɚ ɧɚ ɪɢɫ. 4.4.
Ɋɢɫ. 4.4. Ɉɛɬɟɤɚɧɢɟ ɤɚɩɥɢ ɧɟɫɠɢɦɚɟɦɨɣ ɜɹɡɤɨɣ ɠɢɞɤɨɫɬɶɸ ɩɪɢ ɦɚɥɵɯ
ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɱɢɫɥɚ Ɋɟɣɧɨɥɶɞɫɚ
ɋɢɥɭ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɭɸ ɧɚ ɤɚɩɥɸ ɫɨ ɫɬɨɪɨɧɵ ɩɨɬɨɤɚ
ɠɢɞɤɨɫɬɢ, ɜɵɱɢɫɥɢɦ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɮɨɪɦɭɥɵ (4.57), ɡɚɦɟɧɹɹ ɜ ɧɟɣ
P
ɢ C ɧɚ
c
60
c
C :
1
P
ɧɚ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]